一種改進(jìn)的EKPF算法在固定單站無(wú)源定位中的應(yīng)用

申正義 王晴晴 王洪林 郭 銳

(空軍預(yù)警學(xué)院 武漢 430019)

0 引言

有源雷達(dá)在現(xiàn)代戰(zhàn)爭(zhēng)中面臨著電子干擾、反輻射攻擊、低空超低空突防和隱身技術(shù)等一系列新的威脅。無(wú)源定位系統(tǒng)本身并不向外輻射電磁波，具有受環(huán)境影響小、隱蔽性強(qiáng)和作用距離遠(yuǎn)等優(yōu)點(diǎn)。僅利用單個(gè)固定觀測(cè)站接收目標(biāo)輻射源輻射的信號(hào)來(lái)估計(jì)目標(biāo)位置和運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的過(guò)程稱為固定單站無(wú)源定位與跟蹤。相對(duì)于多站系統(tǒng)，固定單站無(wú)源定位系統(tǒng)只需一個(gè)無(wú)源信號(hào)接收站，且不需要數(shù)據(jù)通信傳輸，具有更強(qiáng)的隱蔽性，且設(shè)備簡(jiǎn)單、系統(tǒng)相對(duì)獨(dú)立，作為目標(biāo)探測(cè)發(fā)展的重要方向和對(duì)有源雷達(dá)系統(tǒng)的完善和補(bǔ)充，將在現(xiàn)代電子戰(zhàn)中發(fā)揮越來(lái)越重要的作用［1-3］。

利用角度、相位差變化率、頻率和多普勒頻率變化率信息實(shí)現(xiàn)固定單站無(wú)源定位，是一種快速高精度的定位方法。但參數(shù)測(cè)量都帶有誤差，為實(shí)現(xiàn)快速高精度的固定單站無(wú)源定位，除了要有高精度的參數(shù)測(cè)量技術(shù)外，還需要研究高性能的跟蹤濾波算法，以便最大限度地利用觀測(cè)量提供的目標(biāo)運(yùn)動(dòng)信息，同時(shí)也可減輕對(duì)參數(shù)測(cè)量技術(shù)的壓力。固定單站無(wú)源定位目標(biāo)跟蹤是典型的非線性濾波過(guò)程，經(jīng)典的濾波算法是擴(kuò)展卡爾曼濾波(Extended Kalman Filter，EKF)，但EKF算法存在線性化誤差大，嚴(yán)重依賴于初始狀態(tài)的選擇，協(xié)方差矩陣易出現(xiàn)病態(tài)等問(wèn)題。特別是當(dāng)系統(tǒng)非線性較強(qiáng)時(shí)，這些問(wèn)題會(huì)導(dǎo)致濾波定位結(jié)果不穩(wěn)定。

針對(duì)強(qiáng)非線性非高斯系統(tǒng)，Gordon等人于1993年提出了粒子濾波(Particle Filter，PF)算法。標(biāo)準(zhǔn)PF算法選擇先驗(yàn)概率密度作為重要密度函數(shù)，沒(méi)有充分考慮當(dāng)前時(shí)刻的觀測(cè)值，存在粒子退化現(xiàn)象［4］。為此，文獻(xiàn)［5］從改進(jìn)重要密度函數(shù)的選擇入手，提出了擴(kuò)展卡爾曼粒子濾波算法(Extended Kalman Particle Filter，EKPF)。針對(duì)實(shí)際系統(tǒng)往往是非高斯非線性的情況，但文獻(xiàn)［5］所描述的EKPF算法的本質(zhì)是在重要性采樣階段用EKF算法對(duì)每個(gè)粒子進(jìn)行更新，這無(wú)疑加大了算法的運(yùn)算量，使算法的實(shí)時(shí)性變差。為此本文提出一種改進(jìn)的EKPF算法，通過(guò)只對(duì)部分粒子進(jìn)行EKF采樣，在保證算法濾波性能基本不變的前提下有效降低了運(yùn)算量。

1 固定單站無(wú)源定位跟蹤原理

二維平面固定單站無(wú)源定位幾何關(guān)系如圖1所示，圖中直角坐標(biāo)系以陣元0中心為原點(diǎn)，陣元0指向陣元1的方向?yàn)閄軸，T(x，y)為目標(biāo)輻射源，v為目標(biāo)輻射源速度矢量，vt為切向速度，vr為徑向速度，ε為目標(biāo)航向，r為目標(biāo)輻射源相對(duì)徑向距離，β為信號(hào)到達(dá)角，d為基線長(zhǎng)度。

圖1 二維平面固定單站無(wú)源定位幾何關(guān)系圖

1.1 目標(biāo)跟蹤狀態(tài)方程

目標(biāo)輻射源最常見(jiàn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)為勻速直線運(yùn)動(dòng)，給定其狀態(tài)向量為，其中x、y表示目標(biāo)位置，x·、y·表示目標(biāo)運(yùn)動(dòng)速度。在二維平面直角坐標(biāo)系下，目標(biāo)跟蹤隨時(shí)間演化的狀態(tài)方程為:

式中，υk-1為狀態(tài)噪聲，包含了控制項(xiàng)的觀測(cè)誤差和系統(tǒng)模型誤差，Γ為干擾轉(zhuǎn)移矩陣，Φk，k-1為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣:

1.2 目標(biāo)跟蹤觀測(cè)方程

本文采用以角度、相位差變化率、多普勒頻率變化率為觀測(cè)量的固定單站無(wú)源定位方法［6］。根據(jù)目標(biāo)狀態(tài)向量與觀測(cè)量之間的關(guān)系，建立系統(tǒng)的觀測(cè)方程如下:

式中Z=(β，φ·，f·d)T為觀測(cè)量，nk為觀測(cè)噪聲，g(·)為狀態(tài)向量到觀測(cè)量的非線性變換函數(shù):

式(4)中，λ表示來(lái)波信號(hào)波長(zhǎng)。

根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)方程和觀測(cè)方程，利用一定的濾波算法對(duì)目標(biāo)狀態(tài)進(jìn)行遞推估計(jì)，就可實(shí)現(xiàn)固定單站對(duì)空中運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的無(wú)源定位與跟蹤。

2 改進(jìn)的EKPF算法描述

2.1 EKPF算法

粒子濾波是一種基于蒙特卡羅思想的非線性、非高斯系統(tǒng)濾波方法，完全突破了卡爾曼濾波理論框架，它對(duì)系統(tǒng)的過(guò)程噪聲和觀測(cè)噪聲沒(méi)有任何限制。PF算法通過(guò)預(yù)測(cè)和更新來(lái)自于系統(tǒng)概率密度函數(shù)的采樣集，來(lái)近似非線性系統(tǒng)的貝葉斯估計(jì)，從而獲得狀態(tài)變量的最小方差估計(jì)［7］。為了方便獲取系統(tǒng)樣本集，通常引入一個(gè)容易獲取樣本的重要密度函數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)PF算法選擇先驗(yàn)概率密度函數(shù)作為重要密度函數(shù)，由于沒(méi)有考慮當(dāng)前的觀測(cè)值，重要性權(quán)值的方差會(huì)隨時(shí)間而隨機(jī)遞增，使得粒子的權(quán)重集中到少數(shù)粒子上，產(chǎn)生粒子退化問(wèn)題［8］。減輕粒子退化的有效方法是選擇合適的重要密度函數(shù)。EKPF算法利用EKF算法對(duì)每個(gè)粒子進(jìn)行更新，將最后得到的近似后驗(yàn)密度作為重要密度函數(shù)，引入了當(dāng)前時(shí)刻的最新觀測(cè)值，在一定程度上避免了粒子退化現(xiàn)象，提高了粒子濾波算法的估計(jì)精度［9］。

EKPF算法的具體運(yùn)算流程如下:

a.初始化粒子

b．用EKF更新粒子

c.重要性權(quán)值計(jì)算

按式(5)計(jì)算粒子的重要性權(quán)值，并進(jìn)行歸一化。

d.重采樣

e.狀態(tài)估計(jì)

2.2 改進(jìn)的EKPF算法

EKPF算法的本質(zhì)是在重要性采樣階段用EKF算法對(duì)每個(gè)粒子進(jìn)行更新，這無(wú)疑加大了算法的運(yùn)算量，使算法的實(shí)時(shí)性變差。為此，本文對(duì)EKPF算法作如下改進(jìn):

a.在EKPF算法第2步中，用EKF算法計(jì)算粒子集的均值和方差時(shí)，只計(jì)算前N/4的粒子的均值和方差。

b.在EKPF算法第2步進(jìn)行重要性采樣時(shí)，從重要密度函數(shù)中采樣產(chǎn)生前N/4的粒子，其余3N/4的粒子仍采用標(biāo)準(zhǔn)粒子算法的先驗(yàn)概率分布作為重要密度函數(shù)進(jìn)行采樣更新。

經(jīng)過(guò)這樣改進(jìn)的算法，既考慮了當(dāng)前時(shí)刻的觀測(cè)值、先驗(yàn)概率對(duì)后驗(yàn)概率分布的影響，又增加了粒子的多樣性，同時(shí)有效降低了計(jì)算量，提高了算法的實(shí)時(shí)性。

改進(jìn)的EKPF算法的運(yùn)算步驟如下:a.初始化粒子

c.重要性采樣

d.重要性權(quán)值計(jì)算

按式(5)計(jì)算粒子的重要性權(quán)值，并進(jìn)行歸一化。

e.重采樣

計(jì)算Neff，若Neff＜Nth，則進(jìn)行重采樣，得到新的粒子集

f.狀態(tài)估計(jì)

按照式(6)求出狀態(tài)估計(jì)值。

3 改進(jìn)算法在該定位跟蹤中濾波性能仿真

3.1 仿真條件

假設(shè)在二維平面內(nèi)，觀測(cè)站在坐標(biāo)原點(diǎn)處，初始位置為(90km，200km)的目標(biāo)，按照V=-300m/s，50m/s的速度勻速運(yùn)動(dòng)，輻射源信號(hào)載頻 fc=10GHz，兩陣元間距d=10m。觀測(cè)間隔1s，觀測(cè)時(shí)間150s。為比較各算法的濾波性能，采用式(18)定義的相對(duì)徑向距離誤差(RPE)來(lái)描述算法的濾波性能［10］。

本文在以下兩種假設(shè)下，分別進(jìn)行100次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)，考察改進(jìn)的EKPF算法相對(duì)于傳統(tǒng)的EKF和EKPF算法的濾波性能。在EKPF及其改進(jìn)算法中，均取粒子數(shù) N=150，重采樣門(mén)限 Nth=50。

假設(shè)一:觀測(cè)量(β，˙φ，˙fd)的觀測(cè)誤差為(4，1，2)，觀測(cè)誤差單位為(mrad，mrad/s，Hz/s)，假設(shè)存在5%和20%的初始誤差;

假設(shè)二:初始值為測(cè)量值［10］，觀測(cè)量(β，˙φ，˙fd)的觀測(cè)誤差為(2，0.4，1)和(5，0.8，2)。

3.2 仿真結(jié)果分析

經(jīng)Matlab軟件仿真，可以得到在假設(shè)一和假設(shè)二的條件下，100次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)中三種算法的收斂次數(shù)和單次濾波所需的時(shí)間如表1所示。

表1 100次實(shí)驗(yàn)中各算法收斂次數(shù)及濾波耗時(shí)對(duì)比

從表中可以看出，隨著初始誤差的增大，EKF算法的收斂次數(shù)明顯下降，而EKPF和改進(jìn)的EKPF算法的收斂次數(shù)下降不明顯。因此，改進(jìn)的EKPF算法與傳統(tǒng)的EKPF算法類(lèi)似，都受初始誤差影響較小，相對(duì)于EKF算法穩(wěn)定性更好。在兩種觀測(cè)誤差條件下，兩種粒子濾波算法的收斂次數(shù)均大于EKF算法，說(shuō)明粒子濾波算法在固定單站無(wú)源定位跟蹤系統(tǒng)中的性能優(yōu)于EKF算法。從單次濾波所需的時(shí)間來(lái)看，EKPF算法明顯高于EKF算法，實(shí)時(shí)性較差，改進(jìn)的EKPF算法相對(duì)于傳統(tǒng)的EKPF算法濾波耗時(shí)明顯下降。

為了提供三種算法更直觀的濾波性能比較，圖2和圖3分別給出了三種算法在假設(shè)一和假設(shè)二條件下RPE的統(tǒng)計(jì)平均曲線。

通過(guò)對(duì)EKPF算法的理論分析和仿真實(shí)驗(yàn)可知，EKPF算法的運(yùn)算量遠(yuǎn)大于EKF算法，這是因?yàn)镋KPF算法需對(duì)每個(gè)粒子進(jìn)行EKF濾波預(yù)測(cè)，其運(yùn)算量約為EKF算法的N倍再加上濾波結(jié)果輸出所需的運(yùn)算量。而改進(jìn)的EKPF算法只有N/4的粒子進(jìn)行了EKF采樣更新，既增加了粒子的多樣性，使粒子集更能體現(xiàn)概率密度函數(shù)的真實(shí)分布，又有效降低了算法的運(yùn)算量。仿真結(jié)果也表明，改進(jìn)的EKPF算法在保證傳統(tǒng)的EKPF算法濾波性能基本不變的前提下，有效降低了的運(yùn)算量，提高了算法的實(shí)時(shí)性。

需要注意的是，從仿真結(jié)果看，相對(duì)于EKPF算法，改進(jìn)的EKPF算法盡管運(yùn)算量大幅下降，但其濾波耗時(shí)仍較高，這是由于計(jì)算機(jī)模擬仿真時(shí)N個(gè)粒子的運(yùn)算是順序處理的。實(shí)際工程應(yīng)用中，在硬件上實(shí)現(xiàn)粒子濾波時(shí)N個(gè)粒子的運(yùn)算是并行處理的，且隨著高速計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)，運(yùn)算速度大幅提高，因此改進(jìn)的EKPF算法仍可滿足系統(tǒng)的實(shí)時(shí)性要求。

圖2 觀測(cè)誤差為(4，1，2)時(shí)三種算法性能比較

圖3 初始值為測(cè)量值時(shí)三種算法RPE曲線

4 結(jié)語(yǔ)

本文首先介紹了以角度、相位差變化率、多普勒頻率變化率為觀測(cè)量的定位與跟蹤的基本原理，然后針對(duì)在固定單站無(wú)源定位目標(biāo)跟蹤中EKPF算法運(yùn)算量大、實(shí)時(shí)性差的問(wèn)題，對(duì)其進(jìn)行了改進(jìn)，提出了改進(jìn)的EKPF算法。改進(jìn)的EKPF算法只對(duì)N/4的粒子進(jìn)行EKF采樣，其余3N/4的粒子仍采用先驗(yàn)概率分布進(jìn)行重要性采樣，這樣既降低了算法的運(yùn)算量，又增加了粒子的多樣性，使粒子集更能體現(xiàn)概率密度函數(shù)的真實(shí)分布。理論分析和仿真結(jié)果表明，改進(jìn)的EKPF算法相對(duì)于傳統(tǒng)的EKPF算法，在保證濾波性能基本不變的前提下，有效降低了算法的運(yùn)算量，具有較好的應(yīng)用價(jià)值。

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