城市客運交通運營者經(jīng)濟決策雙層規(guī)劃模型

胡曉偉，王 健，王 雷（.哈爾濱工業(yè)大學(xué)交通科學(xué)與工程學(xué)院，50090哈爾濱；2.哈爾濱工業(yè)大學(xué)管理學(xué)院，5000哈爾濱）

城市客運交通運營者經(jīng)濟決策雙層規(guī)劃模型

胡曉偉1，2，王 健1，王 雷1
（1.哈爾濱工業(yè)大學(xué)交通科學(xué)與工程學(xué)院，150090哈爾濱；2.哈爾濱工業(yè)大學(xué)管理學(xué)院，150001哈爾濱）

為分析客運經(jīng)濟政策在不同運營者間的作用規(guī)律，應(yīng)用博弈論分析了城市客運交通運營者之間的Nash均衡，構(gòu)建了雙層規(guī)劃模型來描述運營者之間的經(jīng)濟決策行為，分析了不同策略下運營者的效益和社會總成本，包括時間、能源消耗和空氣污染等成本，其中上層模型分析管理者優(yōu)化不同客運方式的費率，下層模型分析運營者在限定費率下確定各自的服務(wù)頻率以獲得最大利潤.采用GAMS和遺傳算法分別構(gòu)建了雙層規(guī)劃模型的求解算法，算例分析驗證了模型的有效性.引入軌道交通服務(wù)，可以提高城市公共交通客運份額，有效降低環(huán)境、能源等外部性成本.

交通運輸經(jīng)濟；城市客運交通；博弈論；雙層規(guī)劃模型；經(jīng)濟決策模型

城市客運交通系統(tǒng)中包含了運營公交、出租車、軌道交通等不同運輸工具，而不同客運方式之間既有合作亦有競爭關(guān)系，與私家車一起構(gòu)成了城市客運交通市場的主要部分.城市客運交通系統(tǒng)的某一均衡狀態(tài)是所有運營者在考慮了其他運營者的策略后的決策結(jié)果所構(gòu)成的穩(wěn)定狀態(tài).

博弈論（game theory）通過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)模型來研究對抗條件下的最優(yōu)決策問題，是研究決策主體行為直接相互作用時的決策及其均衡的數(shù)學(xué)理論和方法.文獻(xiàn)［1］將博弈論引入交通領(lǐng)域，在城市客運交通市場分析中得到了廣泛的應(yīng)用.文獻(xiàn)［2］基于博弈理論分析了城市客運系統(tǒng)一體化運行戰(zhàn)略.文獻(xiàn)［3］采用戰(zhàn)略博弈思想分析了城市公交市場中的競爭關(guān)系.文獻(xiàn)［4］建立了公交競爭中n個參與者的非合作博弈模型，并采用啟發(fā)式算法和靈敏度分析進行求解.文獻(xiàn)［5］則基于博弈論研究了城市公交系統(tǒng)中管理者和運營者的非合作Stackelberg關(guān)系.文獻(xiàn)［6］綜述了博弈理論在交通運輸領(lǐng)域的應(yīng)用.而對城市客運交通經(jīng)濟決策的研究，研究人員多使用雙層規(guī)劃模型.文獻(xiàn)［7-8］利用雙層規(guī)劃和基于靈敏度分析的算法對道路收費問題進行了研究.文獻(xiàn)［9］采用雙層規(guī)劃研究了動態(tài)次優(yōu)收費定價問題，并將其轉(zhuǎn)化為一個非線性規(guī)劃問題，采用松弛方法進行求解.文獻(xiàn)［10］構(gòu)建了多用戶雙層規(guī)劃模型來分析擁擠收費下機場時刻管理問題，目的是降低不同時段航班量的波動和平均延誤時間.這些文獻(xiàn)從不同的角度剖析了城市客運交通市場中存在的博弈行為，但是既有研究不能有效地分析經(jīng)濟政策下不同客運交通運營者的經(jīng)濟決策，難以保證管理者所制定的客運交通經(jīng)濟政策順利執(zhí)行并達(dá)到所預(yù)期的效果.因此本文運用博弈理論研究經(jīng)濟政策在運營者間合作競爭行為的作用過程，構(gòu)建雙層規(guī)劃模型來分析經(jīng)濟政策運營者的經(jīng)濟決策行為.

1 城市客運交通運營者Nash均衡分析

1.1 運營者博弈要素分析

設(shè)每個運營者i有一個合作競爭策略集合Si，對于?i∈｛1，2，…，n｝，每個運營者i同時選擇一個策略si∈Si，并且其支付函數(shù)為ui∈S1× S2×…×Sn→R．

每個運營者的支付函數(shù)ui包括了n個策略，可表示為

式中：Ri（Si）為第i個運營者在策略Si下的乘客數(shù)量；fi為第i個運營者服務(wù)費用（票價）；Ci（Ri）為第i個運營者在乘客數(shù)量Ri下的廣義成本，假設(shè)Ci（Ri）=ciFi［Ri（Si）］，ci為運營者i的基準(zhǔn)廣義運營成本；Fi為基于乘客數(shù)量的服務(wù)頻次，F(xiàn)i=H為運營者i的單位載客量，取整數(shù)．

Nash均衡可定義為一系列的策略｛SN1，SN2，…，SNn｝，且ui（SN1，SN2，…，SNn）≥ui（S1，S2，…，Sn），則

1.2 兩人博弈的Nash均衡分析

城市客運交通運營者兩人博弈的情況，例如城市客運交通市場中除了私家車外，僅有常規(guī)公交和出租車兩種方式為乘客提供服務(wù)，則兩者之間的Nash均衡為

如果忽略廣義成本的影響，假設(shè)f1=f2=f，則式（4）可轉(zhuǎn)化為

1.3 多人博弈的Nash均衡分析

多人博弈的情況與大多數(shù)城市客運交通市場相一致，如除了私家車外，包含常規(guī)公交、軌道交通和出租車服務(wù)的客運市場.這種情形與兩人博弈相類似，但是需要引入一個新的決策量：機會成本.個體運營者將最大化其期望收益，例如最大化期望乘客數(shù)量.根據(jù)式（4）、（5）的含義，說明運營者需要降低值，即在保證載客量一定的情況下降低每次運行成本，或者在保證運行成本不變的情況下，增加載客量．

一種新的交通方式的引入，會為城市客運交通市場提供新的客運服務(wù)和潛在的利潤.文獻(xiàn)［11］的研究發(fā)現(xiàn)需求響應(yīng)交通（demand responsive transportation，DRT）服務(wù)的引入，為城市客運交通市場提供了潛在的利潤業(yè)務(wù).

2 城市客運交通運營者經(jīng)濟決策建模

研究問題描述：城市客運交通市場中存在著公交、軌道交通、出租車3種公共交通方式，私家車是一種個體交通方式.為簡化，每類公共交通方式對應(yīng)于一個獨立的運營者，運營者之間通過競爭將會達(dá)到Nash均衡，即3個運營者在競爭中均不能作為領(lǐng)導(dǎo)者.

2.1 城市客運交通運營者市場份額分析

乘客基于自身的個體經(jīng)濟特性和車輛擁有等情況來選擇不同的客運交通方式來實現(xiàn)自己效用的最大化，此處采用logit模型來分析乘客的方式選擇行為，考慮了乘客的行程時間、等待時間和票價費用.則乘客的效用可表示為

式中：Ui為乘客選擇客運方式i的效用，i=1、2、3、4分別對應(yīng)于公交車、軌道交通、出租車和私家車；tT，i、tW，i分別為乘客選擇客運方式i的行程時間和等待時間；fi為乘客選擇客運方式i的費用，元／次，其中f4為私家車出行時所支付的停車費用、油費和通行費；a1、a2、a3分別為行程時間、等待時間和票價費用參數(shù)．

令Pri為客運方式i的市場份額，根據(jù)文獻(xiàn)［12］的分析，城市客運交通運營者市場份額可表示為

2.2 模型假設(shè)

假設(shè)：1）3類公共交通客運方式對應(yīng)于3個獨立的運營者，運營者之間通過競爭將會達(dá)到Nash均衡，即3個運營者在競爭中均不能作為領(lǐng)導(dǎo)者.2）乘客將有4種客運方式可供選擇，即公交、軌道交通、出租車和私家車.3）雙層規(guī)劃模型中，上層模型是優(yōu)化管理者制定費率，下層模型是運營者在限定費率下確定服務(wù)頻率；在管理者（作為領(lǐng)導(dǎo)者）與運營者（作為追隨者）之間存在著Stackelberg均衡；同時在運營者（作為領(lǐng)導(dǎo)者）與乘客（作為追隨者）之間也存在著Stackelberg均衡.4）采用logit模型分析乘客的方式選擇概率. 5）出租車乘客平均等待時間為6 min.

通過對深圳市3 198輛出租車連續(xù)運營204 h（2011年4月18日0時至4月26日12時）的GPS數(shù)據(jù)分析統(tǒng)計得到的平均值.

2.3 城市客運交通運營者經(jīng)濟決策的雙層規(guī)劃模型

上層模型為社會成本的計算，即

其中：CS為社會成本；CT為出行時間成本；PA為空氣污染成本；CE為能源消耗成本；bij為社會成本指數(shù)，j=1為出行時間指數(shù)，j=2為空氣污染指數(shù)，j=3為能源消耗指數(shù)，i=1、2、3、4分別表示公交車、軌道交通、出租車和私家車；Fi為公交、軌道交通和出租車的服務(wù)頻次；R為乘客總數(shù)，人次；Hi為方式i的座位數(shù)；d為出行起點與終點之間的距離，km.

下層模型為運營者i的利潤，即

其中：ci為每頻次（公交、軌道交通和出租車）的平均運營成本，元／次；式（13）為運營者i提供的座位要大于等于該方式的乘客需求；式（14）為服務(wù)頻次非負(fù)和整數(shù)約束；式（15）為票價非負(fù)和整數(shù)約束；式（16）為發(fā)車頻次與乘客等待時間的關(guān)系．

2.4 模型求解

對雙層規(guī)劃模型的求解，研究人員已提出了一些方法［13-14］，包括分支定界法、互補旋轉(zhuǎn)法、下降法、懲罰函數(shù)法和信任域法.同時，遺傳算法［15-16］和GAMS軟件［17］也被應(yīng)用于雙層規(guī)劃模型的求解.

2.4.1 GAMS求解

一般性代數(shù)仿真系統(tǒng)（the general algebraic modeling system，GAMS）［18］融合了關(guān)系數(shù)據(jù)庫技術(shù)和數(shù)學(xué)規(guī)劃理論，可求解線性規(guī)劃，非線性規(guī)劃和混合整數(shù)規(guī)劃等問題.

在GAMS模型的整體結(jié)構(gòu)中，所需要輸入（inputs）和輸出（outputs）的內(nèi)容主要如下所示：1）sets用來指定數(shù)學(xué)模型中的下標(biāo)，例如本文所構(gòu)建模型中不同的客運交通方式、不同的社會成本等.2）data用來指定數(shù)學(xué)模型中的常量，如本文中的乘客需求、行程時間、等待時間和票價費用參數(shù)等，其具體表示方法有l(wèi)ists、tables和direct assignment 3種形式.3）variables用來表示數(shù)學(xué)模型中的變量，例如所構(gòu)建模型中的不同客運交通方式的發(fā)車頻率、市場占有份額等.4）equations用來表示數(shù)學(xué)模型中方程和約束條件，包括等式和不等式約束，如上層模型和下層模型的目標(biāo)函數(shù)、各約束條件等.5）model and solve用來說明所建立的GAMS模型定義和所采用的求解方法，例如非線性規(guī)劃（nonlinear programming，NLP）方法、混合整數(shù)非線性規(guī)劃（mixed integer nonlinear programming，MINLP）方法.6）display表示模型結(jié)果的輸出，例如在本模型中輸出不同客運方式的市場份額、上層和下層目標(biāo)函數(shù)值等.

在前文所構(gòu)建的城市客運交通運營者雙層規(guī)劃模型中，上層模型是管理者確定每種交通方式的優(yōu)化票價；而在上層模型確定票價之后，下層模型是運營者確定每種交通方式的服務(wù)頻次；之后運營者的服務(wù)頻次將會返回到上層模型中，影響管理者最小化社會成本的目標(biāo).通過迭代的方法將雙層規(guī)劃模型中上層模型目標(biāo)函數(shù)與下層目標(biāo)函數(shù)相互聯(lián)系起來.

2.4.2 遺傳算法（GA）求解

雙層規(guī)劃模型求解中，可以利用下層規(guī)劃模型的K-K-T最優(yōu)性條件代替下層問題，并代入上層規(guī)劃模型.由于遺傳算法對目標(biāo)函數(shù)沒有凸性、可微和連續(xù)的要求，因此采用這種啟發(fā)式算法對求解雙層規(guī)劃模型具有適用性.

階段1 初始化.按照城市客運交通運營者經(jīng)濟決策模型中變量約束范圍，隨機產(chǎn)生一組初始種群.

階段2 選擇.通過對比染色體，并給出一個合適的函數(shù)，來識別解的優(yōu)劣.本文的目標(biāo)函數(shù)被用來作為適應(yīng)度函數(shù)，并且種群的數(shù)量假設(shè)是定值.采用懲罰函數(shù)將下層模型（12）變化為上層模型（8）的目標(biāo)函數(shù).上層優(yōu)化模型可以被簡化為一個廣義的線性約束規(guī)劃模型.適應(yīng)度函數(shù)定義為

其中：?ε是由適應(yīng)度函數(shù)用來選擇的，M為懲罰因子．

此外，采用輪盤賭法選擇染色體作為父本（parents），通過復(fù)制來產(chǎn)生子代（offspring），選擇的概率為

其中：Pr（?εk）為染色體k被選作父本的概率，?εk為染色體k的適應(yīng)度值．

階段3 復(fù)制（交叉和變異）.交叉是通過分配原則進行配對，然后交叉變化隨機產(chǎn)生一組新的解的過程.變異是為保證所有可能的有用信息被復(fù)制和保留，通過改變一個或多個染色體上的基因產(chǎn)生新的個體，每個基因發(fā)生變異的機會是均等的，其概率值變化在0和1之間.

階段4 終止.本文采用固定迭代次數(shù)來作為遺傳算法的終止條件.當(dāng)算法終止時，可行解的最小值即為遺傳算法求得的最優(yōu)解.

3 城市客運交通運營者經(jīng)濟決策算例分析

3.1 基本參數(shù)設(shè)置

本案例假設(shè)出行者起點到終點的距離為10 km，采用公交、軌道交通、出租車和私家車4種交通方式，出行時間成本bi1，空氣污染成本bi2，能源消耗成本bi3，運營成本ci，座位數(shù)Hi，最大服務(wù)頻次Fi，出行時間tT，i各參數(shù)值具體見表1［19-20］．初始出行需求R為每小時4 000位乘客，結(jié)合文獻(xiàn)［15］，將行程時間參數(shù)、等待時間參數(shù)和票價費用參數(shù)分別取值為a1=-0.003，a2=-0.004，a3=-0.02．

表1 初始參數(shù)設(shè)置

3.2 模型求解結(jié)果及分析

采用MATLAB中的遺傳算法工具箱編程求解，結(jié)果分別見圖1、2，其中公交、軌道交通和出租車對應(yīng)的票價分別為2、5、16元.

將參數(shù)代入GAMS中可以得到模型的求解結(jié)果，具體見表2.可以發(fā)現(xiàn)在乘客需求為每小時4 000人次的情況下，整體社會成本遠(yuǎn)高于運營者的收益.公交、軌道交通、出租車和私家車的市場份額比例分別為29.4%、27.7%、22.3%和20.6%，對應(yīng)的票價分別為2、5、16、20元.此情景下社會成本為80 699元／h，運營者收益為5 164元／h.

圖1 基于遺傳算法的不同客運方式票價

圖2 基于遺傳算法的不同客運方式服務(wù)頻次

對比圖1、2和表2可知，采用遺傳算法求得的結(jié)果與采用GAMS求解的結(jié)果一致，驗證了GAMS所求得結(jié)果的準(zhǔn)確性.GAMS由于融合了關(guān)系數(shù)據(jù)庫技術(shù)和數(shù)學(xué)規(guī)劃理論，可以用在雙層規(guī)劃模型的求解中.

表2 引入軌道交通后GAMS模型優(yōu)化結(jié)果

目前我國有12個城市已開通了軌道交通，另有14個城市正在建設(shè)軌道交通，這也意味著部分城市目前只有公交和出租車兩種公共客運交通方式，分析引入軌道交通的影響，首先要計算城市客運交通市場中僅有公交和出租車兩種公共交通方式下的情況（乘客需求和票價不變），結(jié)果見表3，在這種情景下社會成本為102 413元／h，運營者收益為4 478元／h.

對比這兩種情形可見，引入軌道交通可以有效降低社會成本，包括環(huán)境污染和能源消耗成本，降低的比例為21.2%，而運營者的收益得到了提高，提高的比例為15.3%.與此同時，城市客運交通系統(tǒng)中的市場份額發(fā)生了變化，私家車的份額從28.5%下降到20.6%，而公共交通整體從71.5%增加到79.4%，反映了引入軌道交通的效果.

表3 無軌道交通時GAMS模型優(yōu)化結(jié)果

由表2、3對比可見，引入軌道交通這種公共交通方式之后，總的社會成本會顯著下降，而運營者收益之和也會增加，但是對公交和出租車運營者而言，其利潤下降，而新加入的軌道交通運營者收益則是呈增加趨勢.為實現(xiàn)城市客運交通市場的和諧、可持續(xù)和環(huán)保發(fā)展，應(yīng)鼓勵發(fā)展城市軌道交通，以降低社會成本；同時對公交運營企業(yè)和出租車運營企業(yè)可通過補貼的方式彌補其損失.

同時，管理者需要考慮引入軌道交通的機會成本和沉沒成本［2-3］，這是因為軌道交通的巨額投資和較長的施工建設(shè)期所引起的.在管理機構(gòu)制定了公共交通票價（私家車停車費、通行費）之后，運營者可以作出各自的運營服務(wù)頻次決策.而管理機構(gòu)對公共交通的補貼可以吸引乘客選擇公共交通方式，促進城市客運交通方式結(jié)構(gòu)的變化.

4 結(jié) 論

1）基于博弈理論剖析了城市客運交通運營者間的均衡關(guān)系，構(gòu)建了雙層規(guī)劃模型分析運營者的經(jīng)濟決策行為，揭示了客運經(jīng)濟政策在不同運營者間的作用規(guī)律.

2）雙層規(guī)劃模型中，上層模型的目標(biāo)函數(shù)是管理者優(yōu)化不同客運方式的費率實現(xiàn)社會總成本最小化，包括了出行時間成本、空氣污染成本和能源消耗成本；下層模型是運營者在限定費率下優(yōu)化各自的服務(wù)頻率實現(xiàn)收益最大化.

3）采用GAMS和遺傳算法分別設(shè)計了雙層規(guī)劃模型的求解算法，模擬了客運交通市場中是否引入軌道交通下運營者的經(jīng)濟決策行為.未來將考慮政府補貼、出行者不同的出行時間價值等情況，拓展和完善模型，以期最大程度貼合實際中的多變狀況，為運營者的決策實踐提供幫助和參考.

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（編輯 魏希柱）

Econom ic decision-making bi-level programm ing model for urban passenger transportation operators

HU Xiaowei1，2，WANG Jian1，WANG Lei1
（1.School of Transportation Science and Engineering，Harbin Institute of Technology，150090 Harbin，China；2.School of Management，Harbin Institute of Technology，150001 Harbin，China）

To analyze the law of passenger transportation economic policy in different operators，based on game theory to describe the Nash equilibrium among urban passenger transportation operators，a bi-level programmingmodel is proposed tomodel urban passenger transportation operators’economic decision-making，operators’profit and social cost have been discussed，including the travel time cost，air pollution cost and energy consumption cost.The upper-levelmodel describes themanagementauthority’regulation on the fares of each mode，the lower-level model describes the operators’maximum profit by determining the service frequency.Based on GAMS and genetic algorithm，a numerical example verifies the validity of the proposed model.The introduction of subway service will increase the total market share of passenger public transportation，and effectively reduce the external cost，including the environmental emission cost and energy consumption cost.

transportation economy；urban passenger transportation；game theory；bi-level programming model；economic decision-makingmodel

U491

A

0367-6234（2014）12-0059-06

2013-05-02.

國家自然科學(xué)基金（71073035）；中國博士后科學(xué)基金（2013M540299）；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費專項資金（HIT.NSRIF.2015075）.

胡曉偉（1984—），男，講師，博士；王 ?。?974—），男，教授，博士生導(dǎo)師.

胡曉偉，hxwhit＠163.com.