并聯(lián)六自由度機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)標(biāo)定對(duì)比

皮陽軍，王驥，胡玉梅

（重慶大學(xué)機(jī)械傳動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶400044）

并聯(lián)六自由度機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)標(biāo)定對(duì)比

皮陽軍，王驥，胡玉梅

（重慶大學(xué)機(jī)械傳動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶400044）

為了研究并聯(lián)六自由度機(jī)構(gòu)不同標(biāo)定方法的適用性，依據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定和動(dòng)力學(xué)標(biāo)定，分別建立了并聯(lián)六自由度機(jī)構(gòu)的標(biāo)定模型，并通過數(shù)值仿真對(duì)標(biāo)定效果進(jìn)行對(duì)比分析。結(jié)果表明：運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定方法對(duì)提高機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)正解精度更為有效，正解誤差比動(dòng)力學(xué)標(biāo)定的結(jié)果小4.9%，有利于傳統(tǒng)的基于關(guān)節(jié)空間的并聯(lián)機(jī)構(gòu)控制策略；動(dòng)力學(xué)標(biāo)定方法對(duì)提高機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型精度更為有效，關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力誤差比運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定的結(jié)果小5～25 N，更適合基于工作空間的并聯(lián)機(jī)構(gòu)控制策略。

并聯(lián)六自由度機(jī)構(gòu)；結(jié)構(gòu)參數(shù)；標(biāo)定方法；標(biāo)定精度；關(guān)節(jié)空間；動(dòng)力學(xué)標(biāo)定；運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定

隨著并聯(lián)六自由度機(jī)構(gòu)廣泛應(yīng)用于航天航空、艦船模擬器、工業(yè)制造等領(lǐng)域，傳統(tǒng)的PID控制方式已經(jīng)不能滿足人們?cè)趯?shí)際生產(chǎn)活動(dòng)中對(duì)并聯(lián)六自由度機(jī)構(gòu)精度的要求。國(guó)內(nèi)外越來越多的學(xué)者將先進(jìn)的控制理論應(yīng)用到并聯(lián)六自由度機(jī)構(gòu)的控制實(shí)踐上，如魯棒控制［1］、自適應(yīng)控制等［2］。許多控制方法可歸類為基于模型的控制方法，其控制效果在很大程度上受到模型精度的影響。因此，需要提高機(jī)構(gòu)模型精度。目前一種經(jīng)濟(jì)有效的方法就是對(duì)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行標(biāo)定［3］。

并聯(lián)機(jī)器人的控制方式主要有基于關(guān)節(jié)空間和基于工作空間2種方式［4］?；陉P(guān)節(jié)空間的控制方式［5-7］盡管控制算法簡(jiǎn)單，易實(shí)現(xiàn)［8］，但是，對(duì)于解決各驅(qū)動(dòng)桿之間相互耦合以及關(guān)節(jié)空間到工作空間映射誤差的問題，還是存在著一些不足之處。目前，許多學(xué)者提出了基于工作空間的控制方式［9-10］，即通過測(cè)量動(dòng)平臺(tái)的位姿信息作為反饋信號(hào)，然后與動(dòng)平臺(tái)目標(biāo)位姿進(jìn)行對(duì)比，再調(diào)整各缸輸入量，從而控制動(dòng)平臺(tái)跟蹤目標(biāo)軌跡運(yùn)動(dòng)。在基于關(guān)節(jié)空間控制方法中，控制精度除了取決于控制器本身的精度外，還很大程度上依賴于機(jī)構(gòu)正解精度，而正解精度往往取決于機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，因此，需要對(duì)機(jī)構(gòu)模型參數(shù)進(jìn)行標(biāo)定。許多學(xué)者提出了并聯(lián)六自由度機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定方法［11-13］。另一方面，基于工作空間的控制方法需要有較高精度的機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型，文獻(xiàn)［14］提出一種動(dòng)力學(xué)標(biāo)定方法，該方法依據(jù)并聯(lián)六自由度機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型以及關(guān)節(jié)力和廣義力之間的映射關(guān)系，構(gòu)建實(shí)際廣義力與理論廣義力的差值為目標(biāo)函數(shù)，采用最小二乘法求最優(yōu)解的方法標(biāo)定出結(jié)構(gòu)參數(shù)。該方法有效減小了關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力誤差，提高了并聯(lián)六自由度機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型精度。

為比較2種標(biāo)定方法的效果，首先建立了并聯(lián)六自由度機(jī)構(gòu)虛擬樣機(jī)，然后分別對(duì)樣機(jī)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)與運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定，最后對(duì)不同標(biāo)定方法的標(biāo)定效果進(jìn)行對(duì)比分析。

1 并聯(lián)六自由度機(jī)構(gòu)

建立并聯(lián)六自由度機(jī)構(gòu)虛擬樣機(jī)，如圖1所示。圖2為結(jié)構(gòu)示意圖，基坐標(biāo)系O1X1Y1Z1和動(dòng)坐標(biāo)系O2X2Y2Z2分別是基平臺(tái)和動(dòng)平臺(tái)上的坐標(biāo)系，標(biāo)定目標(biāo)參數(shù)θ分別為：上平臺(tái)鉸鏈Pi在動(dòng)坐標(biāo)系中的位置坐標(biāo)b′i；下平臺(tái)鉸鏈Bi在基坐標(biāo)系中的位置坐標(biāo)Bi；各桿的初始長(zhǎng)度q。確定機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)、運(yùn)動(dòng)學(xué)模型時(shí)都需要以上參數(shù)，這些參數(shù)的精確性決定了機(jī)構(gòu)模型的精度。

圖1 并聯(lián)六自由度機(jī)構(gòu)ADAMS模型Fig.1 ADAMS model of the 6-DOF parallel mechanism

圖2 并聯(lián)六自由度機(jī)構(gòu)示意圖Fig.2 Sketch map of the 6-DOF parallel mechanism

2 運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定原理

并聯(lián)機(jī)器人基于關(guān)節(jié)空間控制的理論基礎(chǔ)是并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的逆解算法，即動(dòng)平臺(tái)目標(biāo)位姿通過逆解算法計(jì)算得各桿的桿長(zhǎng)，然后控制各桿運(yùn)動(dòng)至指定位置，從而獲得動(dòng)平臺(tái)位姿。典型的并聯(lián)六自由度機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定方法也是基于并聯(lián)六自由度機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)逆解算法，即動(dòng)平臺(tái)位姿通過逆解算法計(jì)算得相應(yīng)理論桿長(zhǎng)增量，并利用關(guān)節(jié)傳感器獲得實(shí)際的桿長(zhǎng)增量，構(gòu)建實(shí)際桿長(zhǎng)與理論桿長(zhǎng)的差值作為目標(biāo)函數(shù)，最后利用優(yōu)化算法辨識(shí)出機(jī)床的結(jié)構(gòu)參數(shù)。

在動(dòng)坐標(biāo)系中的任一向量R＇可以通過坐標(biāo)變換方法變換到固定坐標(biāo)系中的R［15］：

式中：T為并聯(lián)六自由度機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)位姿的方向余弦矩陣：

C為動(dòng)坐標(biāo)系的原點(diǎn)在固定坐標(biāo)系中的位置矢量：

因此，可以得出上下平臺(tái)各鉸鏈點(diǎn)在固定坐標(biāo)系中的位置向量bi，Bi（i＝1，2，…，6）。此時(shí)，第i根活塞桿桿長(zhǎng)向量li可表示為則桿長(zhǎng)增量Δli＝li－qi。構(gòu)造桿長(zhǎng)增量偏差目標(biāo)函數(shù)Δe＝Δl－Δl′，其中模型桿長(zhǎng)增量Δl＝［Δl1，…，Δl6］T，Δl′是實(shí)際桿長(zhǎng)增量。最后通過最優(yōu)算法解得運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定結(jié)構(gòu)參數(shù)使目標(biāo)函數(shù)e最小。

3 動(dòng)力學(xué)標(biāo)定原理

動(dòng)力學(xué)標(biāo)定是基于并聯(lián)六自由度機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)方程如下：

式中：M為上平臺(tái)的廣義質(zhì)量陣，V為上平臺(tái)非線性科氏向心項(xiàng)系數(shù)矩陣，G為上平臺(tái)重力項(xiàng)，X為上平臺(tái)廣義位姿，F(xiàn)為上平臺(tái)所受廣義力。

同時(shí)，關(guān)節(jié)力f與廣義力F可以通過力雅可比矩陣Jf聯(lián)系起來，即

將式（6）代入式（5），可得

當(dāng)并聯(lián)六自由度機(jī)構(gòu)處于靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)，廣義速度X·和廣義加速度X¨均為零，所以，動(dòng)力學(xué)方程可簡(jiǎn)化為靜力學(xué)方程，可表示為

將力雅可比矩陣表示為關(guān)于結(jié)構(gòu)參數(shù)與機(jī)構(gòu)位姿的函數(shù)，可得到

對(duì)于給定的并聯(lián)六自由度機(jī)構(gòu)，G為常數(shù)向量?？赏ㄟ^關(guān)節(jié)力傳感器測(cè)量機(jī)構(gòu)處于不同位姿X時(shí)各關(guān)節(jié)的驅(qū)動(dòng)力f，通過最優(yōu)算法，如最小二乘法，便可解得動(dòng)力學(xué)標(biāo)定結(jié)構(gòu)參數(shù)θ。

4 標(biāo)定及仿真結(jié)果

4.1 標(biāo)定結(jié)果

在虛擬樣機(jī)仿真中測(cè)量運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定所需的動(dòng)平臺(tái)位姿信息和活塞桿位移量，以及動(dòng)力學(xué)標(biāo)定所需的動(dòng)平臺(tái)位姿和關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力。通過最小二乘法求解得運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定參數(shù)和動(dòng)力學(xué)標(biāo)定參數(shù)。標(biāo)定結(jié)果如表1～4所示。

表1 并聯(lián)六自由度機(jī)構(gòu)實(shí)際結(jié)構(gòu)參數(shù)Table 1 Actual structural parameters of the 6 DOF parallel mechanism m

表2 并聯(lián)六自由度機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)參數(shù)Table 2 Design structural parameters of the 6 DOF parallel mechanism m

表3 并聯(lián)六自由度機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定結(jié)構(gòu)參數(shù)Table 3 Kinematics identified structural parameters of the 6 DOF parallel mechanism m

表4 并聯(lián)六自由度機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)標(biāo)定結(jié)構(gòu)參數(shù)Table 4 Dynamics identified structural parameters of the 6 DOF parallel mechanism m

4.2 仿真結(jié)果

比較運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定與動(dòng)力學(xué)標(biāo)定的正解精度，首先給定6根活塞桿的位移輸入量如下

然后分別測(cè)量實(shí)際以及標(biāo)定后的動(dòng)平臺(tái)位移曲線，如圖3所示，計(jì)算得動(dòng)平臺(tái)位置誤差如圖4所示。由圖可以看出，運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定后動(dòng)平臺(tái)位置誤差小于動(dòng)力學(xué)標(biāo)定后及設(shè)計(jì)模型的動(dòng)平臺(tái)位置誤差。因此，對(duì)于需要提高機(jī)構(gòu)正解精度的情況（基于關(guān)節(jié)空間的控制），運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定更為適用。

圖3 動(dòng)平臺(tái)位移曲線Fig.3 Displacement curves of moving platform

圖4 動(dòng)平臺(tái)位置誤差Fig.4 Position errors of moving platform

為比較2種標(biāo)定方法動(dòng)力學(xué)逆解精度，首先給定動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)曲線方程：

然后分別測(cè)量實(shí)際關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力以及標(biāo)定后的關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力，從而得到關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力誤差曲線，如圖5～7。

圖5 設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)參數(shù)關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力誤差Fig.5 Joint force errors without calibration

圖6 運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定后關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力誤差Fig.6 Joint force errors with kinematic calibration

圖7 動(dòng)力學(xué)標(biāo)定后關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力Fig.7 Joint force errors with dynamic calibration

從圖中可以看出，動(dòng)力學(xué)標(biāo)定后的關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力誤差小于運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定后及設(shè)計(jì)模型的關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力誤差。因此，對(duì)于需要提高機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)逆解精度的情況（基于工作空間的控制），動(dòng)力學(xué)標(biāo)定更加有效。

根據(jù)動(dòng)平臺(tái)位置誤差曲線，以及關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力誤差曲線，可得到運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定和動(dòng)力學(xué)標(biāo)定的誤差值對(duì)比，如表5所示。

表5 2種標(biāo)定方法誤差值對(duì)比Table 5 Comparison of errors in two calibrations

5 結(jié)論

本文通過對(duì)并聯(lián)六自由度機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)標(biāo)定方法進(jìn)行對(duì)比分析，提出了這兩種標(biāo)定方法對(duì)不同控制策略的適用性：1）當(dāng)采用基于關(guān)節(jié)空間的控制方式時(shí)，僅控制各驅(qū)動(dòng)桿的位移量，然后通過運(yùn)動(dòng)正解關(guān)系獲得動(dòng)平臺(tái)位姿，最終控制精度不僅取決于關(guān)節(jié)控制精度，也依賴于機(jī)構(gòu)的正解精度。由仿真結(jié)果可知，基于運(yùn)動(dòng)學(xué)的標(biāo)定方法可以有效提高并聯(lián)六自由度機(jī)構(gòu)的正解精度，該方法適宜于基于關(guān)節(jié)空間的控制方式。2）當(dāng)采用基于工作空間的控制方式時(shí)，直接測(cè)量動(dòng)平臺(tái)的位姿信息作為反饋量，然后通過并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型求得所需關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力，控制精度在很大程度上依賴于動(dòng)力學(xué)模型的精度。仿真結(jié)果表明，采用動(dòng)力學(xué)標(biāo)定后，關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力誤差明顯減小，有效提高了并聯(lián)六自由度機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型精度，該方法更適宜于并聯(lián)機(jī)構(gòu)基于工作空間的控制方式。所得結(jié)論有助于并聯(lián)六自由度機(jī)構(gòu)標(biāo)定方法的選擇以及控制精度的提高。

［1］DONG H K，KANG J Y，LEE K I.Robust tracking control design for a 6 DOF parallel manipulator［J］.Journal of Robotic Systems，2000，17（10）：527-547.

［2］XU Dongguang，DONG Yanliang，WU Shenglin，et al.Nonlinear adaptive controller design for the Stewart platform by hydraulic driven［J］.Chinese Journal of Mechanical Engineering，2007，43（3）：223-227.

［3］彭斌彬，高峰.并聯(lián)機(jī)器人的標(biāo)定建模［J］.機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2005，41（8）：132-135.PENG Binbin，GAO Feng.Modeling for calibration of parallel robot［J］.Chinese Journal of Mechanical Engineering，2005，41（8）：132-135.

［4］吳東蘇.輕型飛行模擬器運(yùn)動(dòng)平臺(tái)先進(jìn)控制技術(shù)研究［D］.南京：南京航天航空大學(xué)，2007：41-43.WU Dongsu.Advanced control technology research of light flight simulator motion platform［D］.Nanjing：Nanjing University of Aeronautics and Astronautics，2007：41-43.

［5］SU Y X，DUAN B Y，ZHENG C H.Nonlinear PID control of a six-DOF parallel manipulator［J］.IEEE Proceedings on Control Theory and Applications，2004，151（1）：95-102.

［6］QU Zhiyong，YE Zhengmao.Optimal joint space control design of a hydraulic Stewart manipulator［C］／／2011 International Conference on Information Technology for Manufacturing Systems.Shanghai，2011：2438-2441.

［7］PI Yangjun，WANG Xuanyin.Observer-based cascade control of a 6-DOF parallel hydraulic manipulator in joint space coordinate［J］.Mechatronics，2010，20（6）：648-655.

［8］GUO Hongbo，LIU Yongguan，LIU Guirong.Cascade control of a hydraulically driven 6-DOF parallel mechanism manipulator based on a sliding mode［J］.Control Engineering Practice，2008，16（9）：1055-1068.

［9］王宣銀，李強(qiáng)，程佳.液壓Stewart平臺(tái)基于工作空間綜合偏差的同步控制［J］.航空學(xué)報(bào)，2009，30（4）：720-725.WANG Xuanyin，LI Qiang CHENG Jia.Synchronous tracking control for hydraulic Stewart platform based on combination tracking errors in operation workspace［J］.Acta Aeronautica et Astronautica Sinica，2009，30（4）：720-725.

［10］ASHRAF O，AYMAN K.Optimal task space control design of a Stewart manipulator for aircraft stall recovery［J］.Aerospace Science and Technology，2011，15（5）：353-365.

［11］高建設(shè).新型五自由度并聯(lián)機(jī)床運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定與驅(qū)動(dòng)輸入選擇研究［D］.秦皇島：燕山大學(xué)，2006：51-69.GAO Jianshe.Research on actuating input selection and kinematic calibration of a novel 5-DOF parallel machine tool［D］.Qinhuangdao：Yanshan University，2006：51-69.

［12］張文昌，梅江平，劉藝，等.基于激光跟蹤儀的Delta并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)誤差標(biāo)定［J］.天津大學(xué)學(xué)報(bào)，2013，46（3）：257-262.ZHANG Wenchang，MEI Jiangping，LIU Yi，et al.Calibration of delta parallel robot kinematic errors based on laser tracker［J］.Journal of Tianjin University，2013，46（3）：257-262.

［13］ZHUANG Hanqi，LIU Lixin.Self-calibration of a class of parallel manipulators［C］／／Proceedings of the IEEE International Conference Robotics and Automation.Minneapolis，USA，1996：994-999.

［14］皮陽軍，王宣銀，胡玉梅.基于關(guān)節(jié)力傳感器的并聯(lián)六自由度機(jī)構(gòu)的標(biāo)定方法［J］.農(nóng)業(yè)機(jī)械學(xué)報(bào)，2012，43（10）：216-218.PI Yangjun，WANG Xuanyin，HU Yumei.Calibration of a 6-DOF parallel mechanism using joint force sensors［J］.Transactions of the Chinese Society for Agricultural Machinery，2012，43（10）：216-218.

［15］黃真，孔令富，方躍法.并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)學(xué)理論及控制［M］.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，1997：37-41.HUANG Zhen，KONG Lingfu，F(xiàn)ANG Yuefa.The parallel robot manipulator mechanism theory and control［M］.Beijing：China Machine Press，1997：37-41.

Comparison of dynamic and kinematic calibrations for the 6-DOF parallel mechanism

PI Yangjun，WANG Ji，HU Yumei
（State Key Laboratory of Mechanical Transmission，Chongqing University，Chongqing 400044，China）

In order to study the usability of different calibration methods for the 6-DOF（six degrees of freedom）parallel mechanism，calibration models of the mechanism were established on the basis of kinematic and the dynamic calibrations.The comparative analyses of kinematic and the dynamic calibrations were done by the numerical simulation.The results showed that the kinematic calibration is more effective in improving forward solution precision of the mechanism.It is also shown that the forward solution error is 4.9%less than that of the dynamic calibration，which is beneficial to the conventional joint-space control of parallel mechanism.The dynamic calibration is more effective in improving dynamic model precision of the mechanism and joint force error is 5～25 N less than that of the kinematic calibration，which is suitable for the task-space control strategy of parallel mechanism.

6－DOF parallel mechanism；structural parameter；calibration method；calibration accuracy；joint spacing；dynamic calibration；kinematic calibration

10.3969／j.issn.1006-7043.201307047

http：／／www.cnki.net／kcms／doi／10.3969／j.issn.1006-7043.201307047.html

TH39

A

1006-7043（2014）11-1422-05

2013-07-16.網(wǎng)絡(luò)出版時(shí)間：2014-09-18.

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（51105389）；中央高校基本業(yè)務(wù)費(fèi)資助項(xiàng)目（CDJZR12280013，CDJRC11280003）.

皮陽軍（1981-），男，副教授，博士.

皮陽軍，E-mail：cqpp＠cqu.edu.cn.