多自由度微陀螺結構參數(shù)對其動態(tài)性能影響分析

郝燕玲，劉博，胡鈺

（哈爾濱工程大學自動化學院，黑龍江哈爾濱150001）

多自由度微陀螺結構參數(shù)對其動態(tài)性能影響分析

郝燕玲，劉博，胡鈺

（哈爾濱工程大學自動化學院，黑龍江哈爾濱150001）

為了解決多自由度微機械陀螺結構設計中存在的參數(shù)耦合問題，提出了一種基于增益和帶寬最優(yōu)化的參數(shù)設定方法。為了從結構設計和參數(shù)限定的角度提高單軸微機械振動陀螺的性能指標，分析了多自由度單軸微機械振動陀螺的參數(shù)對于陀螺性能的影響。為了抑制低頻環(huán)境噪聲對于輸出信號的影響，陀螺的驅動需要在高頻率范圍內(nèi)進行操作。通過理論推演得到在高操作頻率下陀螺結構設計中廣泛存在于峰值間隔頻率、操作頻率、阻尼與陀螺性能之間相互制約的內(nèi)在關系。結合其設計原則，設計出的微機械陀螺帶寬為200 Hz、增益提高了5 dB，能滿足絕大多數(shù)工程應用的要求。關鍵詞：多自由度；微機械陀螺；峰值間隔頻率；操作頻率；空氣阻尼

微機械陀螺以其體積小、重量輕、成本低、可靠性高等特點，在近年來受到了眾多科研人員的關注［1］。在微機械陀螺的結構設計中主要考慮的問題是敏感度和帶寬，以及對環(huán)境變化的魯棒性。

傳統(tǒng)設計采用單自由度振動系統(tǒng)，每個模態(tài)具有各自的共振頻率。理論上在真空中，當驅動模態(tài)和敏感模態(tài)的共振頻率相互匹配時，陀螺的機械敏感度達到最大［2］。雖然這種嚴格匹配的方式能夠獲得理想的陀螺敏感度，但是獲得的系統(tǒng)帶寬卻十分狹窄。實際制造中，通常采用驅動模態(tài)共振頻率和敏感模態(tài)共振頻率具有一定的頻率差的近似匹配的方式來增大陀螺帶寬，所以陀螺的操作方式和最終性能取決于兩模態(tài)的相對位置［2-4］。然而這種模態(tài)匹配的設計方式以犧牲帶寬為代價提高增益，并且陀螺性能易受到結構參數(shù)和環(huán)境變化的影響，需要通過增加模態(tài)的機械自由度的方式增強陀螺的魯棒性［5-7］。在改進微機械陀螺結構設計過程中，通過增加陀螺的機械自由度來提升陀螺帶寬和穩(wěn)定性是十分關鍵的一步［8-9］。多自由度振蕩結構已經(jīng)被引入驅動模態(tài)用于提升陀螺的穩(wěn)定性。典型的自動控制操作環(huán)境中，需要提升操作頻率來抑制環(huán)境噪聲對陀螺輸出的影響［2-3］。

本文為了解決在大氣壓環(huán)境中，陀螺結構參數(shù)的耦合關系與高性能陀螺機械參數(shù)選取的問題。在高操作頻率的條件下，分析了阻尼、峰值間隔頻率、操作頻率等參數(shù)對于系統(tǒng)性能的影響，并基于上述分析將二自由度振蕩結構同時引入驅動模態(tài)和敏感模態(tài)設計了滿足實際工程要求的陀螺系統(tǒng)。

1 多自由度微機械陀螺

1.1 工作原理與結構

如圖1所示，驅動質量m1與解耦質量mf受到設置在驅動質量兩側的驅動電極產(chǎn)生的沿x方向的諧振正弦力Fd的激勵，在驅動方向做單自由度振動。由于單自由度彈性懸梁k4、k5的限制，迫使轉換質量m2和檢測質量m3隨解耦質量mf沿x方向振動。當陀螺有垂直于x-y平面的外部旋轉角速度Ωz輸入時，會在轉換質量和檢測質量上產(chǎn)生沿y方向科里奧利力FC1＝－2m2x·2ΩZ、FC2＝－2m3x·2ΩZ。在科里奧利力的作用下在y方向上轉換質量m2和檢測質量m3產(chǎn)生了相對解耦質量mf的振動。通過對于安放在檢測質量內(nèi)的電極進行檢測，可以反映出科里奧利力的大小，進而得到旋轉角速度Ωz。

圖1 微機械陀螺結構圖Fig.1 Schematics of the MEMS gyroscope

圖2 描述的是陀螺簡化集成動力學模型，與傳統(tǒng)微機械陀螺設計不同：在驅動模態(tài)采用完全二自由度系統(tǒng)，敏感模態(tài)采用二自由度動力消振器結構。

圖2 微機械陀螺動力學模型Fig.2 Lumped dynamics model of the MEMS gyroscope

1.2 多自由度系統(tǒng)動態(tài)模型

根據(jù)圖1、2的微機械陀螺結構，可以得到理想系統(tǒng)的動力學方程：

式中：x1、x2表示驅動質量和解耦質量在驅動方向上的位移，y1、y2表示轉換質量和檢測質量相對于解耦質量在敏感方向上的位移；c1、c2、c3表示驅動質量和解耦質量在驅動方向上受到的阻尼，c4、c5表示解耦質量和檢測質量在敏感方向上受到的阻尼；k1、k2、k3、k4、k5分別表示對應位置彈性懸梁的剛度；Fd為簡諧驅動力，F(xiàn)C1、FC2分別為敏感方向上作用在m2、m3上的科里奧利力。

在式（1）、（2）中，由于Fd的操作頻率選取為幾千赫茲遠遠大于輸入角速度Ωz變化頻率（小于10 Hz）。

傳統(tǒng)單自由度敏感模態(tài)陀螺，設計的關鍵參數(shù)是驅動模態(tài)和敏感模態(tài)的共振頻率，這是由于驅動模態(tài)和敏感模態(tài)的共振頻率的相對位置決定了陀螺最終的增益和輸出［10］。而多自由度陀螺由于引入了額外的質量塊，其機械特性主要取決于3個頻率：操作頻率ωd、敏感模態(tài)低共振頻率ωL、敏感模態(tài)高共振頻率ωH。驅動模態(tài)和敏感模態(tài)被設計成相同的操作頻率（ωd＝ωs），因此二自由度敏感模態(tài)的結構設計是關注的重點，特別是獲得實現(xiàn)所期望敏感模態(tài)共振頻率ωL、ωH所需要的k4、k5、m2和m3等結構參數(shù)的取值。

二自由度敏感模態(tài)存在結構耦合，且操作頻率需要設定在2個共振頻率的平坦區(qū)域之間，所以操作頻率、敏感模態(tài)高、低共振頻率的選定并不是相互獨立的。

從式（2）求得敏感模態(tài)的結構頻率：

式中：ω1和ω2表示m2和m3兩端均固定時的固有結構頻率，ω3表示兩質量塊之間的耦合［11］。利用等式（3），得到二自由度敏感模態(tài)特征方程：

求解上式，得敏感模態(tài)增益最大的共振頻率：

式中：ωH、ωL是由結構頻率ω1、ω2和ω3確定的高、低共振頻率。操作頻率位于兩共振頻率中間，共振頻率的差值為敏感模態(tài)的峰值間隔頻率：

式中：ωd是操作頻率、Δ是敏感模態(tài)的峰值間隔頻率。在系統(tǒng)的結構頻率ω2、ω3存在耦合（＝）：

式中：比例因子ε表示敏感模態(tài)兩質量塊的質量比，也是反映ω2、ω3之間的耦合關系的重要系統(tǒng)參數(shù)。把式（7）代入式（5），可以得到

式中：二自由度敏感模態(tài)結構頻率ω1、ω2可以表示成關于操作頻率ωd、峰值間隔頻率Δ和比例因子ε的設計方程。彈性懸梁彈力值可以通過式（8）、（9）計算得到。

2 性能分析

增加陀螺的自由度可以在2個峰值頻率之間提供一個增益近似為常值的帶寬區(qū)域［12］，這種采用多自由度振蕩系統(tǒng)來拓展帶寬的方法必然會以犧牲系統(tǒng)的增益為代價，同時增加了分析阻尼、操作頻率、峰值間隔頻率對陀螺特性影響的復雜程度［13］。以獲得高增益和寬帶寬為設計目的，下面對阻尼、操作頻率和峰值間隔頻率對敏感模態(tài)的影響進行分析。

2.1 阻尼對敏感模態(tài)的影響

動力學方程組（1）、（2）表示陀螺驅動模態(tài)和敏感模態(tài)的運動特性。在簡諧力Fd的激勵下，系統(tǒng)的位移均按照正弦規(guī)律變化，由拉普拉斯變換可以求出Y2的穩(wěn)態(tài)解：

將s＝jω代入式（10），得到檢測位移穩(wěn)態(tài)解Y2（s）的頻域表達式：

式中：分母為系統(tǒng)方程的特征多項式Δs（ω）＝（ω2－（c4／m2）jω－ω21）（ω2－（c5／m3）jω－ω22）－ω43。檢測質量塊位移的穩(wěn)態(tài)解Y2（ω）用于后續(xù)阻尼對敏感模態(tài)頻率響應影響的分析和仿真。

2.2 敏感模態(tài)的增益和帶寬

驅動模態(tài)和敏感模態(tài)被設計成二自由度振蕩系統(tǒng)，在模態(tài)的2個峰值頻率之間產(chǎn)生具有穩(wěn)定響應的區(qū)域，使得陀螺頻率響應曲線在較寬范圍內(nèi)保持幅值穩(wěn)定。雖然增加自由度提高了陀螺響應的穩(wěn)定性，但是陀螺敏感模態(tài)的參數(shù)選取也變得更為復雜也更為靈活，針對這個問題需要對敏感模態(tài)參數(shù)對陀螺性能的影響進行分析。二自由度系統(tǒng)在零阻尼條件下具有最大的增益和最小的帶寬［14-20］，為了推導操作頻率和峰值間隔頻率對系統(tǒng)增益和帶寬的限制條件，在零阻尼條件下對方程組（2）進行求解，由拉普拉斯變換可以得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：

陀螺性能主要取決于檢測質量的響應特性，以下著重對檢測質量的位移G2（s）進行分析。將式（8）、（9）代入式（13），同時令s＝jω可以得到

上式描述了檢測質量對于不同頻率的響應，反映了多自由度陀螺敏感模態(tài)增益隨驅動頻率變化情況。當驅動頻率與設定的操作頻率相等時，G2（ωb）的值決定了在實際操作頻率下陀螺的標度因子。將ω＝ωd代入式（14）得

從上式可以看到，當陀螺系統(tǒng)在預定的操作頻率下工作時，敏感模態(tài)的增益是只包含峰值間隔頻率和操作頻率的多項式。在實際設計中，操作頻率ωd為幾千赫茲量級、峰值間隔頻率Δ為幾百赫茲級，所以式（15）可以近似化為

在二自由度振蕩系統(tǒng)中，當驅動頻率等于峰值頻率時，系統(tǒng)的增益達到最大。操作頻率位于2個峰值頻率中間，可以近似認為在帶寬范圍內(nèi)對應的增益最小。敏感模態(tài)帶寬范圍定義在增益比最小值提高3 dB的頻率范圍內(nèi)。

求解方程（17）可以得到帶寬的邊界頻率，帶寬即為兩邊界頻率之差：

3 參數(shù)的選取和仿真驗證

3.1 結構參數(shù)的選取

為了驗證本文提出的多自由度微機械振動陀螺參數(shù)對其性能的影響分析方法，同時設計一種綜合考慮陀螺敏感性和魯棒性的陀螺結構，按照性能特征和結構參數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系選取了機械結構參數(shù)。

為了獲得敏感模態(tài)彈性懸梁的表達式，將式（3）代入式（8）、（9）可以得到

從式（19）、（20）可以看出，彈性懸梁的彈力值選取和操作頻率ωd、峰值間隔頻率Δ和比例因子ε有關，當選取比例因子為ε＝0.71時，通過確定質量塊的質量，計算出陀螺敏感模態(tài)結構參數(shù)值。

與敏感模態(tài)類似建立驅動模態(tài)動態(tài)方程可以確定出驅動模態(tài)各彈性懸梁的彈力值：

式中：Δd為驅動模態(tài)的峰值間隔頻率，反映了陀螺驅動模態(tài)的帶寬大小。為了使得陀螺有更長的使用壽命和更簡單的加工工藝，設定陀螺工作在空氣中。微機械陀螺的機械結構參數(shù)見表1。

表1 微機械陀螺陣列的參數(shù)選擇Table 1 Parameters setting of proposed gyroscope array

3.2 參數(shù)限制條件的頻域特性驗證

根據(jù)表1選取的參數(shù)值建立微機械振動陀螺模型，并針對在高操作頻率ωd的條件下，驗證對于峰值間隔頻率Δ、阻尼c對于陀螺性能影響的分析。

圖3描述了微機械陀螺工作環(huán)境從零阻尼到空氣阻尼變化時敏感模態(tài)的頻率響應曲線，從響應結果可以看出，在操作頻率5 kHz周圍阻尼變化對于頻率響應的增益影響不大（小于2 dB），當靠近峰值頻率時，響應的增益變化劇烈（最大波動約為40 dB）。選取預設操作頻率ωd為驅動頻率時，增益對于阻尼的變化具有很強的魯棒性。

圖4為在空氣阻尼環(huán)境中，不同峰值間隔下敏感模態(tài)的頻率響應。隨著峰值間隔頻率的減小，頻率響應的3 dB帶寬減小、增益變大。當峰值間隔頻率小于250 Hz時，由于空氣阻尼的作用敏感模態(tài)增益變化受到強烈的抑制，然而帶寬仍在減小。所以，選取峰值間隔頻率為250 Hz時，敏感模態(tài)具有高增益同時保持了較大的帶寬。

圖3 不同阻尼下敏感模態(tài)的頻率響應Fig.3 Frequency responses for damping in sense-mode

圖4 不同峰值間隔頻率下敏感模態(tài)的頻率響應Fig.4 Frequency response of different peak spacing in sense-mode

圖5 敏感模態(tài)的頻率響應Fig.5 Frequency response of sense-mode

由上述分析，選取操作頻率ωd＝5 kHz和峰值間隔頻率Δ＝250 Hz，圖5對比了按照前文確定的參數(shù)選取原則設計的新參數(shù)結構和經(jīng)驗公式設計的傳統(tǒng)微機械陀螺敏感模態(tài)頻率響應特性。從圖中可以看到，新結構設計增益比傳統(tǒng)設計提高了約5 dB，帶寬為4.84～5.15 kHz之間的310 Hz。

陀螺性能由驅動模態(tài)和敏感模態(tài)共同決定，驅動模態(tài)也采用二自由度振蕩結構。圖6為單自由度和二自由度驅動模態(tài)幅頻特性曲線。如圖所示，二自由度敏感模態(tài)在4.89～5.09 kHz之間提供了200 Hz的3 dB帶寬。在空氣環(huán)境中，通過適當設置微機械陀螺的機械結構參數(shù)可以使二自由度驅動模態(tài)的增益達到與單自由度相當?shù)某潭?，與單自由度驅動模態(tài)相比帶寬大幅度提高了3倍。

圖6 驅動模態(tài)的頻率響應Fig.6 Frequency response of drive-mode

結合圖5、6可以看出，驅動模態(tài)和敏感模態(tài)的操作頻率相互匹配，最終陀螺以5 kHz為中心頻率整體帶寬為200 Hz，增益提高了約5 dB。

4 結論

通過假設系統(tǒng)在零阻尼條件下振動，求解出最大增益和最小帶寬的表達式。當操作頻率遠高于峰值間隔頻率時，推導出增益和帶寬與操作頻率的取值無關的結論。在陀螺結構設計中，增益和帶寬存在著相互制約的關系：當敏感質量比一定時，敏感模態(tài)增益隨著峰值頻率間隔的增大而減小。通過求解多自由度動力學振動方程，建立系統(tǒng)的操作頻率、峰值間隔頻率、阻尼與陀螺系統(tǒng)頻率響應關系，可以在空氣阻尼的環(huán)境中設計出增益響應特性與單自由度陀螺相當、帶寬擴展3倍的驅動模態(tài)。本設計可以應用于穩(wěn)定性要求更為苛刻的環(huán)境中，并且為多自由度陀螺結構的參數(shù)選取指明了方向。

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Analysis of the influence of the multiple degree of freedom MEMS gyroscope structural parameters on the performance

HAO Yanling，LIU Bo，HU Yu
（College of Automation，Harbin Engineering University，Harbin 150001，China）

To solve the problem of structural tradeoff in multiple degrees of freedom（DOF）micro electro mechanical systems（MEMS）gyroscopes，the method of global optimization of gain and bandwidth is provided in this paper.To improve the performance of the MEMS vibratory gyroscopes from the structural design and the limitation of the parameters，the influence of parameters on the performance of the gyroscopes is analyzed.To reduce the effect of the low-frequency environmental noise on the output signal，the gyroscope needs to be driven in the high frequency region.The internal relationships between peak spacing frequency，operating frequency，damping and the performance of the gyroscope were derived by precise theoretical calculations.The proposed gyroscope is designed with the bandwidth of 200 Hz and the gain is increased by 5 dB，which can satisfy the requirements of most practical applications.

multiple degrees of freedom；micro electro mechanical systems（MEMS）；peak spacing；operational frequency；damping

10.3969／j.issn.1006-7043.201307003

http：／／www.cnki.net／kcms／doi／10.3969／j.issn.1006-7043.201307003.html

U666.12

A

1006-7043（2014）11-1378-06

2013-07-05.網(wǎng)絡出版時間：2014-09-18.

國家自然科學基金資助項目（61203225）；中國博士后科學基金面上資助項目（2012M510083）.

郝燕玲（1944-），女，教授，博士生導師.

郝燕玲，E-mail：haoyanling＠herbeu.edu.cn.