3－RPS型并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)正解的研究①

任文博， 顏兵兵， 殷寶麟， 帥俊峰

(佳木斯大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，黑龍江佳木斯 154007)

0 引言

并聯(lián)機(jī)構(gòu)(Parallel Mechanism，簡(jiǎn)稱 PM)[1～3]，可以定義為動(dòng)平臺(tái)和定平臺(tái)通過至少兩個(gè)獨(dú)立的運(yùn)動(dòng)鏈相連接，機(jī)構(gòu)具有兩個(gè)或兩個(gè)以上自由度，且以并聯(lián)方式驅(qū)動(dòng)的一種閉環(huán)機(jī)構(gòu).與串聯(lián)機(jī)器人相比具有無累積誤差、負(fù)載力大、工作空間小，并且結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，動(dòng)態(tài)響應(yīng)好等特點(diǎn)[4～6]，而被學(xué)者廣泛研究.

機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析包括兩種問題，即運(yùn)動(dòng)學(xué)正解和運(yùn)動(dòng)學(xué)反解.運(yùn)動(dòng)學(xué)正解(即已知輸入桿長(zhǎng)參數(shù)求出運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的位置和姿態(tài))是解決機(jī)構(gòu)速度、加速度以及其他的受力分析、工作空間分析和機(jī)構(gòu)綜合等問題的基礎(chǔ)[3，4]，而運(yùn)動(dòng)學(xué)正解卻包含非線性方程組而十分復(fù)雜.求解正解通常采用解析法和數(shù)值法，數(shù)值法多采用Newton－Raphson法、桿長(zhǎng)修正法、同倫連續(xù)法等等[7～9]，但是這種方法不一定能得到運(yùn)動(dòng)學(xué)正解的全部解，而且對(duì)初值的要求較高，解析法包括矢量代數(shù)法、幾何法、矩陣法、對(duì)偶矩陣法、螺旋代數(shù)法、四元素代數(shù)法等等[10～12].

本文對(duì)3－RPS型并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)正解應(yīng)用幾何解析法進(jìn)行了求解，得到全部的位置解，并給出對(duì)應(yīng)空間圖形，驗(yàn)證實(shí)數(shù)解的正確性.

1 建立坐標(biāo)系及約束方程

3－RPS型并聯(lián)機(jī)構(gòu)如圖1所示，由三條結(jié)構(gòu)相同的運(yùn)動(dòng)支鏈連接運(yùn)動(dòng)平臺(tái)與基座.其中第i運(yùn)動(dòng)支鏈(i=1，2，3)與基座Bi點(diǎn)處通過轉(zhuǎn)動(dòng)副Ri連接，與運(yùn)動(dòng)平臺(tái)Mi點(diǎn)處通過球面副Si連接，Ri與Si間通過主動(dòng)移動(dòng)副Pi連接.設(shè)定基座坐標(biāo)系OB－xByBzB，其中OB位于基座形狀中心，xB軸、yB軸處于基座平面內(nèi).設(shè)定基座坐標(biāo)系OM－xMyMzM，其中OM位于基座形狀中心，xM軸、yM軸處于運(yùn)動(dòng)平臺(tái)平面內(nèi).設(shè)定OBBi與xB軸夾角為φBi，且Ri的軸線與 OBBi垂直，OMMi與 xM軸夾角為 φMi..

圖1 3－RPS型并聯(lián)機(jī)構(gòu)

若基座半徑為RB，運(yùn)動(dòng)平臺(tái)半徑為RM，設(shè)定BiMi=li，BiMi與 OBBi間夾角為 θi，則 Bi點(diǎn)在 OB－xByBzB中的坐標(biāo)可表示為

Mi點(diǎn)在OB－xByBzB中的坐標(biāo)可表示為

由于幾何封閉關(guān)系可知，MjMk任意兩點(diǎn)間距離不變，其中下標(biāo)(j，k)=(1，2)，(2，3)，(1，3)，即

式中wjk為BjBk任意兩點(diǎn)間距離可表示為

式(6)中的各項(xiàng)系數(shù)分別為

通過解方程組(6)可求得x1，x2，x3的符號(hào)解，將結(jié)果代入式(5)得θ1，θ2和θ3，進(jìn)一步代入式(2)可求得動(dòng)平臺(tái)上各球鉸在固定坐標(biāo)系的坐標(biāo)以及動(dòng)坐標(biāo)系的回轉(zhuǎn)變換矩陣.

2 數(shù)值實(shí)例

若3－RPS型并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)如下:RB=0.1m，RM=0.05m，l1=0.24m，l2=0.18m，l3=0.2m，φBi= φMi=(i－1).將已知量帶入方程(5)，求得16組解，其中12組實(shí)數(shù)解，4組復(fù)數(shù)解，所得結(jié)果如表1.

表1 非線性方程組的全部解

表2給出了其中12組實(shí)數(shù)解對(duì)應(yīng)的機(jī)構(gòu)第i運(yùn)動(dòng)支鏈與OBBi間的夾角θi.

表2 并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)正解實(shí)數(shù)解(度)

由表1，表2可知16組解中有12組實(shí)數(shù)解，對(duì)應(yīng)于其中的6組解的運(yùn)動(dòng)平臺(tái)位于固定的上方，而對(duì)應(yīng)于另外的6組解的運(yùn)動(dòng)平臺(tái)位于固定平臺(tái)的下方.前6組實(shí)數(shù)解對(duì)應(yīng)空間圖形，如圖2(a)至(f)所示.

圖2 部分實(shí)數(shù)解對(duì)應(yīng)的機(jī)構(gòu)空間圖形

3 結(jié)論

由幾何封閉關(guān)系建立了3－RPS型并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)正解方程，對(duì)所建立的非線性方程組進(jìn)行了求解，獲得運(yùn)動(dòng)學(xué)正解方程全部16組解，其中實(shí)數(shù)解12組，復(fù)數(shù)解4組，并針對(duì)所求得的部分實(shí)數(shù)解進(jìn)行了空間圖形驗(yàn)證.結(jié)果表明，針對(duì)3－RPS型并聯(lián)機(jī)構(gòu)所建立的運(yùn)動(dòng)學(xué)正解方程組求解方法精確、可靠.

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