利用微分求積法分析靜態(tài)圓柱板

高文安，王居林 (山西建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院，太原 030006)

復(fù)合材料圓柱板由于具有易成型、低密度的特點，被廣泛用于大量工程中。一般來說，使用三維彈性方程分析這種結(jié)構(gòu)會設(shè)計到大量的數(shù)學(xué)問題。簡單邊界條件的圓柱板已得到詳細的分析，Ren J G等求出了圓柱板在兩對邊簡支條件下的解析解[1-2]，Varadan T K、Huang N N、Chan-drashekhara K等利用試驗的方法驗證了Ren J G的解析解[3-7]。但在實際工程中簡單邊界條件的圓柱板應(yīng)用較少，相比較而言，復(fù)雜邊界條件的圓柱板得到廣泛的使用，而在文獻中還沒有相關(guān)的文章?；诖?，本文結(jié)合微分求積法和傅立葉級數(shù)分析圓柱板在不同邊界條件下的力學(xué)行為，最后通過數(shù)值計算驗證了該方法的可行性和有效性。

2 圓柱板本構(gòu)方程的建立

圖1 圓柱板及其r，θ，z坐標(biāo)軸

分析一有M層的圓柱板，如圖1所示，每層為均勻的正交各向異性材料，任意一層在參考坐標(biāo)系(r,θ,z)中的本構(gòu)方程為：

(1)

其中，σij，εij分別是應(yīng)力應(yīng)變向量，Cij是材料彈性系數(shù)。在不考慮自重時，板的控制方程為：

(2)

其中，ur，uθ和uz分別表示在r，θ和z方向上的位移；ρ表示板的密度。其應(yīng)變和位移的關(guān)系為：

(3)

板上下表面不受約束，因此有：

σr=qτzr=τrθ=0

(4a)

σr=τzr=τrθ=0

(4b)

假定板一對邊為簡支，該對邊的位置分別為θ=0，θ=θm，則有：

(5)

(6)

dδ/dη=Gδ

(7)

其中，δ和G分別表示狀態(tài)變量矩陣和常系數(shù)矩陣[9]。

式(5)的狀態(tài)變量有下述表達式：

(8)

為了得到板的問題解，對公式(5)的狀態(tài)變量進一步作以下假定：

(9)

(10)

對公式(10)積分得：

(11)

當(dāng)η=ηk，上式可得：

(12)

(13)

把公式(12)代入到公式(13)得：

(14)

對所有M層進行類似公式(12)，公式(13)和公式(14)的分析得：

(15)

其中，S=πexp[Gkhk]是全局轉(zhuǎn)換矩陣。把公式(4)代入到公式(12)得：

[Sij]{δj}={q0 0}T(i=1,5,6;j=2,3,4)

(16)

從公式(16)能解得位移矩陣{δj}，把{δj}和公式(4b)代入到公式(11)，聯(lián)立公式(8)和公式(11)并求解，最后得到圓柱板的應(yīng)力。

(17)

其中，N表示分析點的數(shù)量，gij表示加權(quán)系數(shù)。把公式(17)應(yīng)用到公式(7)中，能得到狀態(tài)方程在分析點xj的狀態(tài)變量：

(18)

同理，可以得到公式(8)中的變量：

(19)

(20)

(21)

應(yīng)用邊界條件z=0,L，可以求解公式(20)得到狀態(tài)變量θk.當(dāng)邊界條件z=0,L時，作如下假定：

(22)

(23)

其中，下標(biāo)b表示狀態(tài)方程考慮了邊界條件。同理，公式(15)考慮到邊界條件可得：

△b(h)=Tb△b(0)

(24)

其中，Tb=πexp[Mbhk]是全局轉(zhuǎn)換矩陣。把公式(4)代入到公式(24)得：

[Tij]{△j}={q0 0}T(i=1,5,6;j=2,3,4)

(25)

2 數(shù)值計算與分析

現(xiàn)分析計算一個三維圓柱板，其坐標(biāo)系為：

板的每層厚度相同，物理屬性為：

為了計算的準(zhǔn)確性和收斂性，圓柱板的每層又劃分成若干層。從圖2可以看出，每一層細劃分至15層時，該方法分析的橫截面剪應(yīng)力接近精確解。圖2-圖6顯示正應(yīng)力，橫截面剪應(yīng)力和沿圓周正應(yīng)力的計算結(jié)果分析圖，與實驗結(jié)果較為吻合[11-16]。從以上的分析可以看出：該方法能夠準(zhǔn)確地求解圓柱板在復(fù)雜邊界條件下的應(yīng)力和應(yīng)變。

圖2 橫截面尺寸S=10，θ=0，z=L/2時的剪應(yīng)力

圖3 橫截面尺寸S=50，θ=0，z=L/2時的正應(yīng)力

圖4 橫截面尺寸S=50，θ=0，z=L/2時的剪應(yīng)力

圖5 橫截面尺寸S=50，θ=0，z=L/2時的沿圓周正應(yīng)力

3 結(jié)論

微分求積法用于對圓柱板在一對邊簡支約束而另一對邊任意約束情況下的靜態(tài)分析，克服了傳統(tǒng)的空間狀態(tài)法不易求解非簡單邊界條件。通過對一個圓柱板的數(shù)值分析，表明該方法能準(zhǔn)確地分析圓柱板在不同邊界條件下的力學(xué)行為。

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