整合類型，以通用模式突破應用題難點

黃新慶

初中階段的新教材中，實際應用問題指的是方程（組）、不等式（組）或者函數(shù)在實際生活中的應用問題，本文探討和研究的范圍只包括一次的方程、函數(shù)和一元一次不等式或不等式組、反比例函數(shù)等知識的實際應用問題，不包括二次方程、二次函數(shù)。

通過本文的探討和研究，希望能達到以下兩個目標：一、為教師和學生提供一種切實可行的，無論是教還是學，都易于上手操作的解題模式；二、整合各種方程和函數(shù)的實際應用問題，把它們統(tǒng)一到同一種通用的分析模式之下，大大地減輕學生的學習負擔。切實可行的，易于上手操科作的解題模式究竟是什么樣的呢？簡而言之，在這樣的一個模式的指引下，學生讀完題目后，就應該知道首先能做什么，怎么做；接下來又應該做什么，怎么做。就是把整個解題的過程分解成較為固定的，容易上手操作的細小步驟，讓大多數(shù)學生有可能按照這個指引，把整道題慢慢地“蠶食”掉。這樣的一個目標是很有針對性的，因為在實際的教學中發(fā)現(xiàn)很多學生讀完題目后就顯得有點手足無措，但當教師引導他們完成了最初的幾步后，他們一般就能自己把剩下的步驟完成，所以學生需要的不是高度概括的總結，而是可行的操作指引。

例題是教材向?qū)W生輸送知識的窗口，學生應該能通過例題理解和掌握相關知識的使用技巧，觸類旁通從而達到舉一反三的效果。毫無疑問，無論新舊教材里所選的例題都是相當?shù)湫偷摹５趯嶋H使用中發(fā)現(xiàn)，不管是解答前的分析，還是解答過程本身，每一道例題基本上是相對獨立的，上一道題的分析解答對下一道題并沒有產(chǎn)生什么借鑒作用，在這一點上，例題并沒有起到讓學生觸類旁通的作用。

在實際教學中，我們發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)的實際應用問題的題目面貌各異，但實質(zhì)幾乎都是一樣的。譬如，下面這兩道一元一次方程和反比例函數(shù)的應用問題：

一元一次方程：把一些圖書分給某班同學閱讀，如果每人分3本，則剩余20本；如果每人分4本，則還缺25本。這個班有多少學生？

反比例函數(shù)：碼頭工人以每天30噸的速度往一艘輪船上裝載貨物，裝載完畢恰好用了8天時間。（1）輪船到達地后開始卸貨，卸貨速度v（單位：噸/天）與卸貨時間t（單位：天）之間有怎樣的函數(shù)關系？（2）由于遇到緊急情況，船上的貨物必須在不超過5天內(nèi)卸載完畢，那么平均每天至少多少噸貨物？

從兩個方面來進行比較我們就可以看出它們的類似之處：

（一）從每個問題的的結構上來看，它們都敘述了兩種情況。（見表1）

（二）從每種情況所涉及到數(shù)量來看，它們都用到了三個數(shù)量，而且這個三個數(shù)量中一般有一個是已知的，有一個是題目要求解的，可以設為未知數(shù)，第三個則可以前兩個來表示。（見表2）

再仔細比較一下，就可以發(fā)現(xiàn)三個數(shù)量的敘述格式幾乎都是一致的：每個單位是多少，有幾個單位，共有多少。

接下來我們只需要把這三個問題中的相等或不等關系找出來就可列出方程（組）或不等式（組），從而解決問題了。判斷一個問題中的相等或不等關系可以通過尋找題目中的特征詞句來得到基本解決。分類歸納后我們可以得到這樣的一個常見的特征詞句表。（見表3）

只要我們在題目中找到表示類似意思的詞句，就可以大體上確定相等或不等關系，從而確定應該用方程（組）或是用不等式（組）來解決了。

綜上所述，我們可以得到一個通用的分析模式：第一步，通讀題目后，找出題目中所敘述的兩種情況（當然也會有只出現(xiàn)一種情況的情形，但那樣的問題一般都很簡單，所以不把它列入探討的范圍）。第二步，按照基本一致的格式“每個單位是多少，有幾個單位，共有多少”寫出每種情況所涉及到的三個數(shù)量，三個數(shù)量中一般有一個是已知的，有一個是題目要求解的，可以設為未知數(shù)，第三個則可以前兩個來表示。第三步，根據(jù)題意或特征詞句找出相等或不等關系，再根據(jù)相等或不等關系確定方程（組）或不等式（組）。

在綜合復習階段，這種通用模式的優(yōu)勢更加明顯。因為在單元學習時，基本不會存在要區(qū)分一個問題用方程（組）還是不等式（組）的問題。但綜合復習，特別是在考試的時候?qū)W生就很可能面對這樣的一個問題了。掌握了通用模式后，這個問題基本就不存在了。

我們來看這樣的一道題：把一些書分給幾個學生，如果每人分3本，那么剩余8本；如果每人分5本，那么最后一人就分不到3本。這些書有多少本？學生有多少人？

在學習一元一次方程時也有一個高度相似的問題：把一些圖書分給某班同學閱讀，如果每人分3本，則剩余20本；如果每人分4本，則還缺25本。這個班有多少學生？

歷年總有不少學生把這兩道題搞混了，經(jīng)常列方程組來解決這個問題。但在通用的分析模式下，就很少出現(xiàn)這種情況了，因為只要按部就班地做完分析過程，最后只能得到不等式組。

由于這個模式的分析過程對思維能力的要求不高，而且模式比較固定，所以對于一個學有余力的學生來說，這樣的一個模式可能是沒有什么必要的，但對于一個學習能力不太強的學生來說，可能就是一個重塑學習信心的驚喜。當然，有利必有弊，這是千古不變的真理，關鍵是如何在使用中不斷地改進，不斷地完善它。

責任編輯 徐國堅endprint

初中階段的新教材中，實際應用問題指的是方程（組）、不等式（組）或者函數(shù)在實際生活中的應用問題，本文探討和研究的范圍只包括一次的方程、函數(shù)和一元一次不等式或不等式組、反比例函數(shù)等知識的實際應用問題，不包括二次方程、二次函數(shù)。

通過本文的探討和研究，希望能達到以下兩個目標：一、為教師和學生提供一種切實可行的，無論是教還是學，都易于上手操作的解題模式；二、整合各種方程和函數(shù)的實際應用問題，把它們統(tǒng)一到同一種通用的分析模式之下，大大地減輕學生的學習負擔。切實可行的，易于上手操科作的解題模式究竟是什么樣的呢？簡而言之，在這樣的一個模式的指引下，學生讀完題目后，就應該知道首先能做什么，怎么做；接下來又應該做什么，怎么做。就是把整個解題的過程分解成較為固定的，容易上手操作的細小步驟，讓大多數(shù)學生有可能按照這個指引，把整道題慢慢地“蠶食”掉。這樣的一個目標是很有針對性的，因為在實際的教學中發(fā)現(xiàn)很多學生讀完題目后就顯得有點手足無措，但當教師引導他們完成了最初的幾步后，他們一般就能自己把剩下的步驟完成，所以學生需要的不是高度概括的總結，而是可行的操作指引。

例題是教材向?qū)W生輸送知識的窗口，學生應該能通過例題理解和掌握相關知識的使用技巧，觸類旁通從而達到舉一反三的效果。毫無疑問，無論新舊教材里所選的例題都是相當?shù)湫偷?。但在實際使用中發(fā)現(xiàn)，不管是解答前的分析，還是解答過程本身，每一道例題基本上是相對獨立的，上一道題的分析解答對下一道題并沒有產(chǎn)生什么借鑒作用，在這一點上，例題并沒有起到讓學生觸類旁通的作用。

在實際教學中，我們發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)的實際應用問題的題目面貌各異，但實質(zhì)幾乎都是一樣的。譬如，下面這兩道一元一次方程和反比例函數(shù)的應用問題：

一元一次方程：把一些圖書分給某班同學閱讀，如果每人分3本，則剩余20本；如果每人分4本，則還缺25本。這個班有多少學生？

反比例函數(shù)：碼頭工人以每天30噸的速度往一艘輪船上裝載貨物，裝載完畢恰好用了8天時間。（1）輪船到達地后開始卸貨，卸貨速度v（單位：噸/天）與卸貨時間t（單位：天）之間有怎樣的函數(shù)關系？（2）由于遇到緊急情況，船上的貨物必須在不超過5天內(nèi)卸載完畢，那么平均每天至少多少噸貨物？

從兩個方面來進行比較我們就可以看出它們的類似之處：

（一）從每個問題的的結構上來看，它們都敘述了兩種情況。（見表1）

（二）從每種情況所涉及到數(shù)量來看，它們都用到了三個數(shù)量，而且這個三個數(shù)量中一般有一個是已知的，有一個是題目要求解的，可以設為未知數(shù)，第三個則可以前兩個來表示。（見表2）

再仔細比較一下，就可以發(fā)現(xiàn)三個數(shù)量的敘述格式幾乎都是一致的：每個單位是多少，有幾個單位，共有多少。

接下來我們只需要把這三個問題中的相等或不等關系找出來就可列出方程（組）或不等式（組），從而解決問題了。判斷一個問題中的相等或不等關系可以通過尋找題目中的特征詞句來得到基本解決。分類歸納后我們可以得到這樣的一個常見的特征詞句表。（見表3）

只要我們在題目中找到表示類似意思的詞句，就可以大體上確定相等或不等關系，從而確定應該用方程（組）或是用不等式（組）來解決了。

綜上所述，我們可以得到一個通用的分析模式：第一步，通讀題目后，找出題目中所敘述的兩種情況（當然也會有只出現(xiàn)一種情況的情形，但那樣的問題一般都很簡單，所以不把它列入探討的范圍）。第二步，按照基本一致的格式“每個單位是多少，有幾個單位，共有多少”寫出每種情況所涉及到的三個數(shù)量，三個數(shù)量中一般有一個是已知的，有一個是題目要求解的，可以設為未知數(shù)，第三個則可以前兩個來表示。第三步，根據(jù)題意或特征詞句找出相等或不等關系，再根據(jù)相等或不等關系確定方程（組）或不等式（組）。

在綜合復習階段，這種通用模式的優(yōu)勢更加明顯。因為在單元學習時，基本不會存在要區(qū)分一個問題用方程（組）還是不等式（組）的問題。但綜合復習，特別是在考試的時候?qū)W生就很可能面對這樣的一個問題了。掌握了通用模式后，這個問題基本就不存在了。

我們來看這樣的一道題：把一些書分給幾個學生，如果每人分3本，那么剩余8本；如果每人分5本，那么最后一人就分不到3本。這些書有多少本？學生有多少人？

在學習一元一次方程時也有一個高度相似的問題：把一些圖書分給某班同學閱讀，如果每人分3本，則剩余20本；如果每人分4本，則還缺25本。這個班有多少學生？

歷年總有不少學生把這兩道題搞混了，經(jīng)常列方程組來解決這個問題。但在通用的分析模式下，就很少出現(xiàn)這種情況了，因為只要按部就班地做完分析過程，最后只能得到不等式組。

由于這個模式的分析過程對思維能力的要求不高，而且模式比較固定，所以對于一個學有余力的學生來說，這樣的一個模式可能是沒有什么必要的，但對于一個學習能力不太強的學生來說，可能就是一個重塑學習信心的驚喜。當然，有利必有弊，這是千古不變的真理，關鍵是如何在使用中不斷地改進，不斷地完善它。

責任編輯 徐國堅endprint

初中階段的新教材中，實際應用問題指的是方程（組）、不等式（組）或者函數(shù)在實際生活中的應用問題，本文探討和研究的范圍只包括一次的方程、函數(shù)和一元一次不等式或不等式組、反比例函數(shù)等知識的實際應用問題，不包括二次方程、二次函數(shù)。

通過本文的探討和研究，希望能達到以下兩個目標：一、為教師和學生提供一種切實可行的，無論是教還是學，都易于上手操作的解題模式；二、整合各種方程和函數(shù)的實際應用問題，把它們統(tǒng)一到同一種通用的分析模式之下，大大地減輕學生的學習負擔。切實可行的，易于上手操科作的解題模式究竟是什么樣的呢？簡而言之，在這樣的一個模式的指引下，學生讀完題目后，就應該知道首先能做什么，怎么做；接下來又應該做什么，怎么做。就是把整個解題的過程分解成較為固定的，容易上手操作的細小步驟，讓大多數(shù)學生有可能按照這個指引，把整道題慢慢地“蠶食”掉。這樣的一個目標是很有針對性的，因為在實際的教學中發(fā)現(xiàn)很多學生讀完題目后就顯得有點手足無措，但當教師引導他們完成了最初的幾步后，他們一般就能自己把剩下的步驟完成，所以學生需要的不是高度概括的總結，而是可行的操作指引。

例題是教材向?qū)W生輸送知識的窗口，學生應該能通過例題理解和掌握相關知識的使用技巧，觸類旁通從而達到舉一反三的效果。毫無疑問，無論新舊教材里所選的例題都是相當?shù)湫偷摹５趯嶋H使用中發(fā)現(xiàn)，不管是解答前的分析，還是解答過程本身，每一道例題基本上是相對獨立的，上一道題的分析解答對下一道題并沒有產(chǎn)生什么借鑒作用，在這一點上，例題并沒有起到讓學生觸類旁通的作用。

在實際教學中，我們發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)的實際應用問題的題目面貌各異，但實質(zhì)幾乎都是一樣的。譬如，下面這兩道一元一次方程和反比例函數(shù)的應用問題：

一元一次方程：把一些圖書分給某班同學閱讀，如果每人分3本，則剩余20本；如果每人分4本，則還缺25本。這個班有多少學生？

反比例函數(shù)：碼頭工人以每天30噸的速度往一艘輪船上裝載貨物，裝載完畢恰好用了8天時間。（1）輪船到達地后開始卸貨，卸貨速度v（單位：噸/天）與卸貨時間t（單位：天）之間有怎樣的函數(shù)關系？（2）由于遇到緊急情況，船上的貨物必須在不超過5天內(nèi)卸載完畢，那么平均每天至少多少噸貨物？

從兩個方面來進行比較我們就可以看出它們的類似之處：

（一）從每個問題的的結構上來看，它們都敘述了兩種情況。（見表1）

（二）從每種情況所涉及到數(shù)量來看，它們都用到了三個數(shù)量，而且這個三個數(shù)量中一般有一個是已知的，有一個是題目要求解的，可以設為未知數(shù)，第三個則可以前兩個來表示。（見表2）

再仔細比較一下，就可以發(fā)現(xiàn)三個數(shù)量的敘述格式幾乎都是一致的：每個單位是多少，有幾個單位，共有多少。

接下來我們只需要把這三個問題中的相等或不等關系找出來就可列出方程（組）或不等式（組），從而解決問題了。判斷一個問題中的相等或不等關系可以通過尋找題目中的特征詞句來得到基本解決。分類歸納后我們可以得到這樣的一個常見的特征詞句表。（見表3）

只要我們在題目中找到表示類似意思的詞句，就可以大體上確定相等或不等關系，從而確定應該用方程（組）或是用不等式（組）來解決了。

綜上所述，我們可以得到一個通用的分析模式：第一步，通讀題目后，找出題目中所敘述的兩種情況（當然也會有只出現(xiàn)一種情況的情形，但那樣的問題一般都很簡單，所以不把它列入探討的范圍）。第二步，按照基本一致的格式“每個單位是多少，有幾個單位，共有多少”寫出每種情況所涉及到的三個數(shù)量，三個數(shù)量中一般有一個是已知的，有一個是題目要求解的，可以設為未知數(shù)，第三個則可以前兩個來表示。第三步，根據(jù)題意或特征詞句找出相等或不等關系，再根據(jù)相等或不等關系確定方程（組）或不等式（組）。

在綜合復習階段，這種通用模式的優(yōu)勢更加明顯。因為在單元學習時，基本不會存在要區(qū)分一個問題用方程（組）還是不等式（組）的問題。但綜合復習，特別是在考試的時候?qū)W生就很可能面對這樣的一個問題了。掌握了通用模式后，這個問題基本就不存在了。

我們來看這樣的一道題：把一些書分給幾個學生，如果每人分3本，那么剩余8本；如果每人分5本，那么最后一人就分不到3本。這些書有多少本？學生有多少人？

在學習一元一次方程時也有一個高度相似的問題：把一些圖書分給某班同學閱讀，如果每人分3本，則剩余20本；如果每人分4本，則還缺25本。這個班有多少學生？

歷年總有不少學生把這兩道題搞混了，經(jīng)常列方程組來解決這個問題。但在通用的分析模式下，就很少出現(xiàn)這種情況了，因為只要按部就班地做完分析過程，最后只能得到不等式組。

由于這個模式的分析過程對思維能力的要求不高，而且模式比較固定，所以對于一個學有余力的學生來說，這樣的一個模式可能是沒有什么必要的，但對于一個學習能力不太強的學生來說，可能就是一個重塑學習信心的驚喜。當然，有利必有弊，這是千古不變的真理，關鍵是如何在使用中不斷地改進，不斷地完善它。

責任編輯 徐國堅endprint