圓環(huán)形活塞聲源的輻射阻抗

曹 輝，張吉偉，白鈞元

(陜西師范大學(xué)陜西省超聲重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西西安 710100)

超聲聚焦技術(shù)在超聲診斷、超聲探傷以及超聲檢測中的應(yīng)用已受到人們的廣泛關(guān)注[1]。在超聲聚焦技術(shù)中，若沿著一條直線實(shí)現(xiàn)點(diǎn)的聚焦，就可以采用由同心圓環(huán)形活塞聲源構(gòu)成的聚焦陣，因此對同心圓環(huán)形活塞聲源的輻射聲場特性的研究就不可避免。在一個聲學(xué)振動系統(tǒng)中，對聲源輻射聲場的研究主要有輻射聲壓指向特性和輻射阻抗特性兩方面的內(nèi)容。對于圓環(huán)形活塞輻射聲源來說，文獻(xiàn)[2－3]已經(jīng)對其聲場的指向特性做了詳細(xì)的研究。另外，輻射阻抗是評價一個振動系統(tǒng)聲學(xué)特性的重要參量，常被用來評價聲學(xué)系統(tǒng)對外界的輻射聲功率和估計(jì)聲源的同振質(zhì)量等[4]，因此研究同心圓環(huán)形活塞聲源的輻射阻抗在實(shí)際中具有重要意義。

本文以同心圓環(huán)形活塞聲源為研究對象，根據(jù)同心圓環(huán)形活塞聲源表面的幾何關(guān)系，利用微元法計(jì)算出了一定尺寸圓環(huán)形活塞聲源振動時的輻射阻抗的理論值。并分析了在ω＜8.5kHz范圍內(nèi)活塞聲源的各參量與圓環(huán)形活塞聲源的輻射阻抗之間的關(guān)系，得出了一定尺寸同心圓環(huán)形活塞聲源的同振質(zhì)量和平均輻射聲功率。為進(jìn)一步研究圓環(huán)形活塞聲源聚焦技術(shù)奠定了理論基礎(chǔ)。

1 輻射阻抗

如圖1所示，同心圓環(huán)形活塞聲源的內(nèi)徑為a，外徑為b，圓心都為o。圓環(huán)形活塞聲源振動時會向周圍的媒質(zhì)輻射聲波，從而在周圍的媒質(zhì)中就會產(chǎn)生輻射聲場。由于圓環(huán)形活塞聲源本身也處于自身所輻射的聲場之中，所以圓環(huán)形活塞聲源本身就必然受到輻射聲場的反作用。圓環(huán)形活塞聲源振動時，表面附近各處的聲壓是不均勻的，因此活塞表面各處所受到輻射聲場的作用也不相等。根據(jù)輻射阻抗的定義

可知，只需求得輻射聲場的反作用力就可計(jì)算出圓環(huán)形活塞聲源的輻射阻抗的大小。式(1)中Zr為輻射阻抗，F(xiàn)為輻射聲場的反作用力，u=uaejωt為振元的振速。將圓環(huán)形活塞表面分割成無限多個小面元，如圖1所示。

圖1 圓環(huán)形活塞積分示意圖Fig.1 The integral schematic diagram of ring piston

設(shè)面元ds的振動在面元ds'附近的媒質(zhì)中產(chǎn)生的聲壓為dp。若面元ds與面元ds'之間的距離為h，則聲壓

式中:k為波數(shù)，ρ0為媒質(zhì)密度，c0為聲波在媒質(zhì)中的傳播速度，ω為角頻率。

根據(jù)式(2)可知，圓環(huán)形活塞上所有面元在ds'附近產(chǎn)生的總聲壓為

因此面元ds'受到輻射聲場的反作用力f為

dF=－pds'， (4)式(4)中的負(fù)號表示dF的方向與ds'的運(yùn)動方向相反。將式(3)代入式(4)，并對ds'積分，得到整個圓環(huán)形活塞表面受到自身輻射聲場的反作用力為

根據(jù)式(5)分析可知，活塞上每一對面元(面元ds與面元ds')的相互作用力會出現(xiàn)兩次:一次是由于ds'振動在ds上產(chǎn)生的力;一次是由于ds振動在ds'上產(chǎn)生的力。由于這兩個力大小相等，所以我們只考慮這一對面元之間相互作用力中的一個，然后再乘以2即可。

如圖1所示，h為面元ds與面元ds'之間的距離，ρ為圓環(huán)極徑，θ為直線h與通過ds'的一條直徑之間的夾角，φ為極徑ρ和圓心o與面元ds'連線的夾角。根據(jù)以上幾何關(guān)系可得如下關(guān)系:ds=hdhdθ，ds'= ρdρdφ。積分上下限為:≤ h≤2ρcosθ，a≤ρ≤b，0≤φ≤2π。由上述分析可知，對面元ds與面元ds'積分之后，再乘以2就可得到輻射聲場的反作用力f為

對上式(6)逐次積分可求得f的值為

式(7)中，K1(x)是一階修正貝塞爾函數(shù)，J1(x)是一階柱貝塞爾函數(shù)。由于式(7)中包含貝塞爾函數(shù)，結(jié)果較為繁瑣不便于分析，所以引入兩個新函數(shù)

于是上式(7)可以簡化為

從上式(10)可以看出，聲場的反作用力與活塞聲源的振動頻率、活塞聲源的尺寸(包括活塞的內(nèi)徑尺寸、外徑尺寸)密切相關(guān)。

對式(10)進(jìn)一步簡化，在ω ＜8.5kHz范圍內(nèi)，根據(jù)圓環(huán)形活塞聲源的大小(內(nèi)徑 a=0.01m，外徑b=0.02m)和函數(shù)R(x)、X(x)的性質(zhì)，可得函數(shù)R(x)和X(x)的取值表達(dá)式為

因此，綜合式(10)，(11)，可得圓環(huán)形活塞聲源受到輻射聲場的反作用力為

再根據(jù)式(1)中輻射阻抗的定義就可計(jì)算出圓環(huán)形活塞聲源的輻射阻抗為

2 特性分析

由式(13)可知圓環(huán)形活塞聲源系統(tǒng)的輻射阻抗由實(shí)部和虛部組成，分別稱其為輻射阻Rr和輻射抗Xr，并將頻率ω與波數(shù)k的關(guān)系ω=kc0代入式(13)就可以得到輻射阻和輻射抗表達(dá)式

進(jìn)一步可求得圓環(huán)形活塞聲源的同振質(zhì)量為

圓環(huán)形活塞聲源的平均輻射聲功率為

由式(13)和(14)分析可知，在媒質(zhì)條件一定時，圓環(huán)形活塞聲源的輻射阻抗與活塞聲源的尺寸和振動頻率密切相關(guān)。

根據(jù)圓環(huán)形活塞聲源的輻射阻抗的表達(dá)式(14)，若已知圓環(huán)形活塞聲源的尺寸a=0.01m，b=0.02m，則圓環(huán)形活塞聲源的輻射阻抗與振源頻率ω之間的關(guān)系如圖2所示。

圖2 圓環(huán)形活塞的輻射阻抗與振源頻率之間的關(guān)系Fig.2 The relationship between radiation impedance from ring piston and frequency of vibration source

若已知圓環(huán)形活塞聲源的內(nèi)徑a=0.01m和圓環(huán)形活塞聲源的振動頻率ω=3.4kHz(經(jīng)計(jì)算在其他ω＜8.5kHz的時頻率也有相似規(guī)律)，則圓環(huán)形活塞聲源的輻射阻抗與圓環(huán)形活塞聲源的外徑b之間的關(guān)系如圖3所示。

圖3 圓環(huán)形活塞的輻射阻抗與聲源外徑b之間的關(guān)系Fig.3 The relationship between radiation impedance from ring piston and external radius b

若已知圓環(huán)形活塞聲源的外徑b=0.02m和圓環(huán)形活塞聲源的振動頻率ω=3.4kHz，則圓環(huán)形活塞聲源的輻射阻抗與圓環(huán)形活塞聲源的外徑a之間的關(guān)系如圖3所示。圖1、圖2、圖3中Z'表示圓環(huán)形活塞聲源的輻射阻抗的相對值。

圖4 圓環(huán)形活塞的輻射阻抗與聲源內(nèi)徑a之間的關(guān)系Fig.4 The relationship between radiation impedance from ring piston and insiade radius a

從而進(jìn)一步分析，當(dāng)圓環(huán)形活塞聲源的大小一定時，其輻射阻抗只與振源的振動頻率有關(guān)，由圖2可知:圓環(huán)形活塞聲源的輻射阻和輻射抗都隨著振源頻率的增大而增大，其中輻射抗隨振源頻率的增加比輻射阻隨頻率的增加更快，說明圓環(huán)形活塞聲源的輻射抗比輻射抗受頻率的影響更大。當(dāng)圓環(huán)形活塞聲源的振動頻率和內(nèi)徑一定時，由圖3可知:圓環(huán)形活塞聲源的輻射阻和輻射抗都隨著活塞聲源外徑的增大而增大，并且輻射抗的值大于輻射阻的值。當(dāng)圓環(huán)形活塞聲源的振動頻率和外徑一定時，由圖4可知:圓環(huán)形活塞聲源的輻射阻和輻射抗都隨著活塞聲源內(nèi)徑的增大而減小，并且輻射阻的值小于輻射抗的值。綜合圖3和圖4可看出，a或b的變化實(shí)際上就是圓環(huán)形活塞聲源的環(huán)寬的變化，輻射阻抗隨環(huán)寬的增大而增大，反之亦然。因此，圓環(huán)形活塞聲源的環(huán)寬和振動頻率是決定其輻射阻抗的關(guān)鍵參量。若假設(shè)圓環(huán)形活塞聲源的內(nèi)徑a為0，則其變?yōu)榘霃綖閎的圓形活塞聲源。經(jīng)計(jì)算此時的圓形活塞的輻射阻為和輻射抗為與文獻(xiàn)[4]中的結(jié)果相符。

3 結(jié)語

聲源的輻射阻抗是評價一個振動系統(tǒng)聲學(xué)特性的重要參量，研究同心圓環(huán)形活塞聲源的輻射阻抗在實(shí)際中具有重要意義。本文以同心圓環(huán)形活塞聲源為研究對象，在ω＜8.5kHz范圍內(nèi)，根據(jù)同心圓環(huán)形活塞聲源表面的幾何關(guān)系，利用微元法計(jì)算出了一定尺寸圓環(huán)形活塞聲源振動時的輻射阻抗的理論值。并分析了影響圓環(huán)形活塞聲源的輻射阻抗的因素，結(jié)果表明:圓環(huán)形活塞聲源的輻射阻抗與聲源的振動頻率、活塞聲源的外徑和內(nèi)徑密切相關(guān)。輻射阻抗隨著振動頻率的增大而增大;隨內(nèi)徑a的增大而減小;隨外徑b的增大而增大。并且輻射抗的值大于輻射阻的值，上述參量的變化對輻射抗的影響較大。最后得出了一定尺寸同心圓環(huán)形活塞聲源的同振質(zhì)量和平均輻射聲功率。為進(jìn)一步研究圓環(huán)形活塞聲源聚焦技術(shù)奠定了理論基礎(chǔ)。

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