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    磁偶極子遠(yuǎn)場(chǎng)的嚴(yán)格數(shù)學(xué)處理

    2014-06-09 08:05:14劉國(guó)松
    關(guān)鍵詞:偶極矩磁偶極子載流

    劉 瑩,劉國(guó)松

    (長(zhǎng)春工程學(xué)院理學(xué)院,長(zhǎng)春130012)

    0 引言

    電偶極子和磁偶極子是介質(zhì)電磁屬性描述和研究的重要模型。相對(duì)而言,磁偶極子模型的處理和應(yīng)用遠(yuǎn)較電偶極子復(fù)雜,原因主要在于磁場(chǎng)的無(wú)(散度)源、有旋性。電、磁偶極模型在普通物理課程中均以典型例題的面目出現(xiàn)在教科書和教學(xué)過程中[1],卻沒有深入闡述其對(duì)于介質(zhì)電磁場(chǎng)研究的重要性,更談不上在介質(zhì)場(chǎng)處理中的應(yīng)用。

    由于介質(zhì)場(chǎng)對(duì)勢(shì)函數(shù)的貢獻(xiàn)歸根結(jié)底來(lái)源于電、磁偶極子,即分子偶極矩,而分子尺度在連續(xù)介質(zhì)理論中相對(duì)于連續(xù)介質(zhì)微元總可以認(rèn)定為充分小量,所以無(wú)論是電極化強(qiáng)度,還是磁化強(qiáng)度,都可以用大量偶極矩貢獻(xiàn)的宏觀平均描述,故而遠(yuǎn)場(chǎng)表達(dá)是很好的重要近似。

    對(duì)于磁偶極子遠(yuǎn)場(chǎng)的計(jì)算,眾多教科書中都有涉及[2]。通行的處理方法是將給定半徑的載流圓環(huán)置于歐氏空間的x-y平面且使其環(huán)心與坐標(biāo)原點(diǎn)重合,在z-x平面上選取任意充分遠(yuǎn)點(diǎn),采取一階近似,得到遠(yuǎn)場(chǎng)表達(dá)式,再利用偶極子場(chǎng)關(guān)于z軸的對(duì)稱性,得到空間任意遠(yuǎn)點(diǎn)偶極場(chǎng)[3],最后一步推廣到磁偶極子位于空間任意位置、偶極矩空間指向任意情形下,距其充分遠(yuǎn)點(diǎn)磁矢勢(shì)的嚴(yán)格表達(dá)。這種方法雖然得到了可靠的結(jié)果,但是操作過程復(fù)雜,而且從數(shù)學(xué)上來(lái)說(shuō)是不嚴(yán)格的。

    下文首先對(duì)通行處理做一簡(jiǎn)要回顧,然后再介紹嚴(yán)格的處理過程。

    圖1 磁偶極子遠(yuǎn)場(chǎng)一般處理模型

    如圖1所示,選回路中心為球面坐標(biāo)的原點(diǎn),有關(guān)源坐標(biāo)的物理量是帶撇的。在此情況下,可做某些近似計(jì)算。考慮體系具有軸對(duì)稱性,對(duì)稱軸為z坐標(biāo)軸,顯然磁矢勢(shì)的模與場(chǎng)點(diǎn)的角位置φ無(wú)關(guān),為了方便,在z-x平面內(nèi)選取任意遠(yuǎn)點(diǎn)進(jìn)行磁矢勢(shì)計(jì)算。在載流環(huán)上選取任意載流微元Idl′=Iadφ′eφ,其對(duì)場(chǎng)點(diǎn)的磁矢勢(shì)貢獻(xiàn)為

    因此,場(chǎng)點(diǎn)處的磁矢勢(shì)為

    利用遠(yuǎn)場(chǎng)條件,r>>a,進(jìn)行如下泰勒級(jí)數(shù)展開得到:

    對(duì)于任意載流微元Idl,都存在與其對(duì)稱的微元,它們對(duì)磁矢勢(shì)的貢獻(xiàn)在x方向相互抵消。這里需要注意:矢量積分過程中方向的判斷問題。所以

    該處理過程雖然得到的結(jié)果是正確的,但是推理過程嚴(yán)格性存在缺陷。嚴(yán)格的處理應(yīng)當(dāng)將磁偶極子置于坐標(biāo)系中的一般位置、偶極矩指向任意,且場(chǎng)點(diǎn)選擇任意。另外從球坐標(biāo)表達(dá)式(2)到矢量乘積表達(dá)式(3)的過渡處理過程難以令人信服。

    1 磁偶極子遠(yuǎn)場(chǎng)的嚴(yán)格處理

    載流環(huán)位于歐氏空間任意位置,其環(huán)心位置矢量為r′,以該矢端為參考點(diǎn)的載流微元相對(duì)位矢為r″,遠(yuǎn)場(chǎng)點(diǎn)位矢為r,則任意載流微元Idr″的位置矢量為r′+r″,如圖2所示。

    圖2 磁偶極子遠(yuǎn)場(chǎng)嚴(yán)格處理模型

    進(jìn)行一階展開得到

    則根據(jù)式(1)矢勢(shì)微元

    根據(jù)矢量運(yùn)算恒等式

    故而

    所以

    這樣就在坐標(biāo)系無(wú)關(guān)的前提下得到了磁偶極子遠(yuǎn)場(chǎng)的嚴(yán)格表達(dá)式。

    2 磁偶極子遠(yuǎn)場(chǎng)結(jié)論的重要地位

    正如同在電介質(zhì)靜電場(chǎng)中電偶極矩有著重要地位一樣[4],在描述和研究磁介質(zhì)磁化機(jī)理以及計(jì)算介質(zhì)磁場(chǎng)時(shí),磁偶極子模型是不二選擇,不僅使問題得以簡(jiǎn)化,而且形象易懂,表達(dá)嚴(yán)格[5]。介質(zhì)的磁化源于磁場(chǎng)對(duì)電子運(yùn)動(dòng)的作用,電子有兩種基本運(yùn)動(dòng)方式,一是軌道運(yùn)動(dòng),二是自旋。無(wú)論哪種運(yùn)動(dòng)都可以用一個(gè)等效磁矩(分子磁矩)來(lái)描述。普通介質(zhì)(順磁質(zhì)、抗磁質(zhì))在沒有外場(chǎng)條件下,每個(gè)分子磁矩的空間指向具有隨機(jī)性,全部分子磁矩的矢量和為0,對(duì)空間任意一點(diǎn)的磁矢勢(shì)貢獻(xiàn)抵消,從而不呈現(xiàn)宏觀磁屬性;在外磁場(chǎng)當(dāng)中,無(wú)論是抗磁質(zhì),還是順磁質(zhì),分子磁矩的空間排布都將具有傾向性,從而凈磁矩不為0,空間一般點(diǎn)的總磁矢勢(shì)貢獻(xiàn)不為0,介質(zhì)呈現(xiàn)磁屬性。因而磁介質(zhì)的磁化程度,完全可以用凈磁偶極矩密度刻畫。據(jù)此,在宏觀充分小(刻畫空間各點(diǎn))、微觀足夠大(磁偶極子足夠多,取平均,結(jié)果更可靠)的介質(zhì)區(qū)域內(nèi)將全部磁偶極矩矢量加和,除以該體積微元的體積,得到單位體積內(nèi)的平均磁偶極矩,它可以準(zhǔn)確地描述介質(zhì)受外場(chǎng)的影響程度,此即為磁化強(qiáng)度[6]。

    而且對(duì)于任意介質(zhì)微元dV,其凈磁偶極矩可以用磁化強(qiáng)度M(r′)和體積微元dV之乘積表達(dá),如圖3所示,它實(shí)際上就是一個(gè)磁矩為M(r′)dV的磁偶極子。依據(jù)上述推理結(jié)果,直接得到該“磁偶極子”對(duì)空間一點(diǎn)的磁矢勢(shì)貢獻(xiàn)

    圖3 磁偶極子模型在磁介質(zhì)場(chǎng)中的應(yīng)用

    依據(jù)磁化強(qiáng)度空間分布函數(shù)進(jìn)行積分,就可以得到空間磁矢勢(shì)分布的介質(zhì)貢獻(xiàn)。

    實(shí)際上,磁偶極模型不僅是磁介質(zhì)場(chǎng)研究的基礎(chǔ)模型,也是宏觀復(fù)雜載流體的分解模型。茲以圖4中的簡(jiǎn)單載流體為例予以簡(jiǎn)單說(shuō)明。圖中的平面矩形閉合回路長(zhǎng)為a,寬為b,則其總磁矩為Iab,矢量表達(dá)為

    顯然可以將該回路按如圖4方式無(wú)窮剖分,由于每相鄰子回路的邊界積分抵消,故而

    因而宏觀導(dǎo)體閉合回路仍然可以用磁偶極子模型(分解)表達(dá)。

    需要指出分解表達(dá)可以在以載流閉合回路為邊界的任意單通開曲面上進(jìn)行,這是由旋量場(chǎng)的屬性決定的。由于無(wú)窮剖分下的偶極微元可以是任意形狀的矢量微元,在前述嚴(yán)格處理中采用了圓環(huán)偶極子模型。

    圖4 磁偶極模型的宏觀導(dǎo)體回路應(yīng)用

    3 結(jié)語(yǔ)

    本文先采用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推理,給出了磁偶極子遠(yuǎn)場(chǎng)的數(shù)學(xué)表達(dá)形式。較為詳細(xì)地討論了磁偶極子遠(yuǎn)場(chǎng)模型在磁學(xué)研究分析中的基礎(chǔ)地位,為電磁場(chǎng)理論的教學(xué)和研究工作提供了一種借鑒思路。

    [1]趙近芳.大學(xué)物理學(xué)[M].北京:北京郵電大學(xué)出版社,2011:6-7.

    [2]Cheng David K.電磁場(chǎng)與電磁波[M].北京:清華大學(xué)出版社,2013:162-164.

    [3]葉齊政,陳德智.電磁場(chǎng)教程[M].北京:高等教育出版社,2012:158-160.

    [4]歐陽(yáng)金華.介質(zhì)極化教學(xué)的幾個(gè)問題[J].電氣電子教學(xué)學(xué)報(bào),2008,30(2):1-3.

    [5]李靜.微小電流環(huán)與磁偶極子[J].重慶師范大學(xué)學(xué)報(bào),2010,27(4):1-3.

    [6]趙凱華.電磁學(xué)[M].北京:高等教育出版社,1985:551-552.

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