水下攝影測量共線理論與相機(jī)標(biāo)定方法

欽桂勤， 張永生， 黃桂平， 范亞兵， 陳 錚

（1.信息工程大學(xué)，河南鄭州 450001； 2.華北水利水電大學(xué)，河南鄭州 450011；3.61363部隊，陜西西安 710054； 4.66444部隊，北京 100042）

水下攝影測量共線理論與相機(jī)標(biāo)定方法

欽桂勤1， 張永生1， 黃桂平2， 范亞兵3， 陳 錚4

（1.信息工程大學(xué)，河南鄭州 450001； 2.華北水利水電大學(xué)，河南鄭州 450011；3.61363部隊，陜西西安 710054； 4.66444部隊，北京 100042）

基于攝影光學(xué)理論，分析了相機(jī)在空氣中和水下成像基點位置關(guān)系，提出水下攝影三點共線理論，并推導(dǎo)出相機(jī)在水下主距變化模型；分析了相機(jī)水下攝影視場和畸變大小的變化，設(shè)計了水下攝影測量相機(jī)標(biāo)定方法；最后通過水下攝影試驗標(biāo)定，驗證了水下攝影三點共線理論的正確性和水下相機(jī)標(biāo)定方法的實用性。

計量學(xué)；水下攝影測量；三點共線理論；水下相機(jī)標(biāo)定；相機(jī)主距；基點位置

1 引 言

水下攝影測量是雙介質(zhì)攝影測量的一種，屬于一種非常規(guī)攝影測量［1，2］。傳統(tǒng)觀點認(rèn)為，雙介質(zhì)攝影測量中，鏡頭的攝影中心位置同單介質(zhì)攝影時相同，只是由物點發(fā)出的光線在界面處發(fā)生折射，從而導(dǎo)致物點、攝影中心和相應(yīng)像點三點不再共線［1～9］。雙介質(zhì)攝影測量的這種折射理論，對于被測物和相機(jī)不在同一介質(zhì)中（如在水面上對水下物體進(jìn)行攝影）的情況是合理的，許多學(xué)者對此作了大量的研究［2～5］。對于攝影相機(jī)和被測物均在水下的測量，對此感興趣的學(xué)者們也從折射的角度出發(fā)進(jìn)行了大量的研究［6～9］。水下攝影測量成像系統(tǒng)與空氣中成像系統(tǒng)不完全相同，目前有水下專用可與水直接接觸的測量相機(jī)（鏡頭前有一塊防水光學(xué)玻璃），也有將常規(guī)測量相機(jī)密封在相機(jī)防護(hù)裝備中，因此相機(jī)水下防護(hù)裝備也成為水下成像系統(tǒng)的一個組成部分［10］。關(guān)于水下相機(jī)標(biāo)定方法，目前國內(nèi)文獻(xiàn)提到不多［11］；國外Fraser和Fryer的文章中提到采用解析鉛垂線法和自檢校方法［6］，Lavest提出可以通過水上標(biāo)定的結(jié)果預(yù)測水下相機(jī)標(biāo)定參數(shù)的初值［9］。

本文從攝影光學(xué)理論出發(fā)，詳細(xì)分析了相機(jī)在空氣中和水下成像特點以及成像系統(tǒng)基點位置關(guān)系，推導(dǎo)出“水下攝影三點共線”理論和主距變化關(guān)系；對相機(jī)水下攝影視場和畸變進(jìn)行研究，總結(jié)出水下攝影測量相機(jī)標(biāo)定模型和方法；最后通過試驗對水下攝影測量相機(jī)進(jìn)行標(biāo)定，試驗結(jié)果驗證了本文提出的“水下攝影三點共線”理論的正確性和水下相機(jī)標(biāo)定方法的實用性。

2 水下攝影測量共線理論

相機(jī)在水下成像過程同在空氣中相似，但相機(jī)在水下成像時，由于物方空間介質(zhì)與像方空間介質(zhì)不一樣，因此不能完全利用空氣中相機(jī)成像模型和數(shù)據(jù)對水下攝影進(jìn)行處理。

2.1 相機(jī)水下成像系統(tǒng)基點位置關(guān)系

成像光學(xué)系統(tǒng)的特性不僅與構(gòu)成該系統(tǒng)的各個透鏡組的結(jié)構(gòu)有關(guān)，還與該光學(xué)系統(tǒng)的物方和像方所處介質(zhì)的折射率有關(guān)［12，13］。當(dāng)透鏡結(jié)構(gòu)一定時，成像光學(xué)系統(tǒng)基點位置和焦距（相關(guān)術(shù)語名稱參看文獻(xiàn)［13］）與物方空間和像方空間的折射率有關(guān)。相機(jī)在空氣中攝影，也就是常規(guī)攝影，節(jié)點J（J′）與相應(yīng)主點S（S′）重合，物鏡的主點具有節(jié)點的特性——過主點的共軛光線彼此平行，物方焦距f和像方焦距f′大小相等［12，13］，如圖1所示。當(dāng)相機(jī)位于水下攝影時，節(jié)點與相應(yīng)主點不重合，但是過節(jié)點的共軛光線仍然彼此平行，物方焦距和像方焦距大小不相等，如圖2所示。

圖1 空氣中成像系統(tǒng)的基點位置關(guān)系

2.2 相機(jī)水下成像系統(tǒng)焦距變化

相機(jī)在水下進(jìn)行攝影時，鏡頭前通常存在一平面殼窗玻璃，無論鏡頭在空氣中還是在水中，鏡頭的像方焦距不變。因為從無窮遠(yuǎn)處平行透鏡光軸的光線垂直于殼窗表面入射，如圖3（a），而垂直入射光不偏折，所以光線通過殼窗不變。因此無論鏡頭在空氣中還是在水中，像方焦點f′位置不變，像方主平面H′和像主點S′位置也不會發(fā)生改變，因此鏡頭的像方焦距f′大小也不變，同空氣中一樣大小。

圖2 水中成像系統(tǒng)的基點位置關(guān)系

但是相機(jī)在水中同在空氣中其物方焦點和物方主平面將會發(fā)生變化。因為像方從無窮遠(yuǎn)處沿透鏡光軸的光線平行進(jìn)入透鏡，并以傾斜的角度通過殼窗玻璃，如圖3（b）。殼窗玻璃左邊物方空間在水中和在空氣中時，將會產(chǎn)生不同的效果。如果物方仍然為空氣，物方焦點仍然在原處，圖3（b）中虛線交點處（忽略殼窗平面玻璃的光學(xué)作用［10，11，14］）；如果物方為水，經(jīng)過鏡頭出射的光線在殼窗處會再次發(fā)生折射進(jìn)入水中，其光線將會明顯相對空氣中發(fā)生折射。物方焦點將向物體方向離開原空氣中焦點的位置，而物方主點將會向像方空間離開原空氣中主點的位置。

圖3 鏡頭在水中焦點和主點位置變化

同一相機(jī)浸入水中和置于空氣中，所構(gòu)成的成像系統(tǒng)的參數(shù)滿足下面的關(guān)系［12，13］：

式中：fa、f′a為相機(jī)在空氣中的物方焦距和像方焦距；fw、f′w為同一相機(jī)在水中的物方焦距和像方焦距；nw為水相對空氣的折射率。

相機(jī)鏡頭與殼窗玻璃構(gòu)成的光學(xué)系統(tǒng)，其像方焦距、像方主點位置與物方空間折射率無關(guān)，即該成像系統(tǒng)在空氣中的像方焦距、像方主點與在水中相等；但物方焦距、物方主點位置、物方節(jié)點和像方節(jié)點位置均與空氣中不同。水下相機(jī)在空氣中構(gòu)成的光學(xué)系統(tǒng)對應(yīng)主點和節(jié)點重合，在水下構(gòu)成的光學(xué)系統(tǒng)對應(yīng)主點和節(jié)點不重合。

2.3 水下攝影測量“三點共線”理論

攝影物鏡成像時，物點發(fā)出許多光線，相應(yīng)像點是這些光線相交的結(jié)果。如圖4，物點A發(fā)出許多光線，經(jīng)攝影物鏡會聚后成像于a點。在這些光線中有一條光線通過節(jié)點，它由物點發(fā)出向物方節(jié)點方向投射，再經(jīng)像方節(jié)點沿平行于入射方向射出，過節(jié)點的光線方向不會發(fā)生改變［13］。攝影測量中“三點共線”理論就是利用過節(jié)點的光線通過針孔成像模型建立物鏡成像時的物像位置關(guān)系。如圖5（a），A1、A2為物點，a1、a2為其對應(yīng)的像點，P為像平面，J、J′為前節(jié)點和后節(jié)點，該圖中物點和對應(yīng)像點間的幾何位置關(guān)系通過過節(jié)點的光線來表示。

圖4 攝影物鏡成像光線

圖5 過節(jié)點的光線表示的物像關(guān)系

如果將圖5（a）中像方節(jié)點連同像平面一起平移到物方節(jié)點，使像方節(jié)點與物方節(jié)點重合，當(dāng)作一個點看待，那么物點、像點和節(jié)點都在一條直線上，類似于針孔成像，重合的節(jié)點為投影中心，也就是鏡頭中心。此時物點、像點和投影中心三點共線，這就是常規(guī)攝影測量中的經(jīng)典“三點共線”理論［1，15，16］。

常規(guī)攝影時，物鏡的節(jié)點正好與其對應(yīng)主點重合，綜合圖1中節(jié)點和主點位置關(guān)系以及圖5中節(jié)點關(guān)系，可以得到“重合的主點就是攝影中心”的推論。在實際攝影測量中，更多地稱攝影物鏡的主點為鏡頭中心［1，15］，因為常規(guī)攝影測量主要是指空氣中攝影測量。

水下攝影測量的成像幾何關(guān)系仍然可以利用針孔成像模型來描述，水下攝影測量的投影中心位置，為攝影物鏡在水中構(gòu)成的光學(xué)系統(tǒng)兩節(jié)點的等效；像點仍然為物點和投影中心的連線與像平面的交點；物點和對應(yīng)的像點以及投影中心三點共線；但水下攝影測量的投影中心與主點不重合［16］。

2.4 相機(jī)水下成像系統(tǒng)主距變化

大多數(shù)攝影測量，如航空攝影測量、近景攝影測量，成像位置可近似認(rèn)為在透鏡像方焦平面上，即相機(jī)鏡頭的像平面聚焦在焦平面［12，13］上。常規(guī)攝影測量中，當(dāng)物體在鏡頭前10倍焦距以外，成像位置就可近似認(rèn)為在透鏡像方焦平面上。因此在近景攝影測量（包括水下攝影）中，一般可以將相機(jī)的像距近似看成投影中心（兩節(jié)點的等效點）到像方焦點的距離，又稱作相機(jī)主距。由文獻(xiàn)［13］中牛頓公式可知，相機(jī)在空氣中構(gòu)成的光學(xué)系統(tǒng)主距f0a可近似為：

相機(jī)在水中構(gòu)成的光學(xué)系統(tǒng)主距f0w為：

這里主距和焦距的符號只表示大小，不表示方向。綜合式（1）～式（4）可得：

從而可得出同一攝影物鏡水下攝影時相機(jī)主距近似等于空氣中攝影主距與水的折射率的乘積，標(biāo)準(zhǔn)狀況下水的折射率為1.333。水下攝影相機(jī)標(biāo)定過程中，可以通過這種關(guān)系獲取相機(jī)主距的初值，后面的試驗將驗證該推導(dǎo)的合理性。

3 水下攝影相機(jī)視場和畸變變化

相機(jī)浸入水中成像系統(tǒng)主距發(fā)生變化，也必然導(dǎo)致相機(jī)在水下視場發(fā)生變化。相機(jī)的像平面尺寸（CCD大小未變）沒有發(fā)生變化，因此同一相機(jī)在水中的視場顯然比在空氣中?。?］，如圖6所示。

假設(shè)水中和空氣中成像沒有任何畸變或者對畸變進(jìn)行了改正，則同一物體的影像尺寸在水中應(yīng)是空氣中的1.333倍，即

式中：u為空氣介質(zhì)中某點的影像值，du為對應(yīng)點的畸變改正值；同樣uw為水中某點的影像值，duw為對應(yīng)點的畸變改正值。

圖6 空氣中和水中相機(jī)視場變化

4 水下攝影測量相機(jī)標(biāo)定

相機(jī)在水下成像也存在畸變，水下影像的畸變并不影響一般的水下觀察任務(wù)，但對于水下測量或精確定位導(dǎo)航，則必須對水下影像畸變的系統(tǒng)誤差進(jìn)行校正。

4.1 相機(jī)標(biāo)定數(shù)學(xué)模型

前面分析表明，水下攝影時，物方點（X，Y，Z）、鏡頭中心（XS，YS，ZS）（水下攝影時，攝影中心位置為節(jié)點J和J′的等效，與主點不重合，本文按常規(guī)方式以主點表示投影中心）和相應(yīng)像點（x，y）三點共線，它們滿足共線條件方程。事實上由于各種干擾因素的存在，使得像點在焦平面上相對其理論位置存在偏差（Δx，Δy），實際像點偏差的共線條件方程式為［11］：

無論是常規(guī)攝影還是水下攝影，實際像點的偏差具有一定的規(guī)律性和重復(fù)性，是成像過程中諸多干擾因素影響的結(jié)果，如像機(jī)鏡頭的畸變、攝影材料的系統(tǒng)變形以及采用的內(nèi)方位元素不準(zhǔn)確等。而且這些像點坐標(biāo)誤差成系統(tǒng)性，故稱之為像點的系統(tǒng)誤差。原則上講，像點的系統(tǒng)誤差是像點坐標(biāo)的函數(shù)，由于這種函數(shù)關(guān)系很難得知，所以存在許多不同的選擇方案?？梢詮囊鹣到y(tǒng)誤差的物理因素出發(fā)，也可以用一般的數(shù)學(xué)模型去擬合［11］。

本文采用最常見的10參數(shù)模型建立像點系統(tǒng)誤差，包含了徑向畸變、偏心畸變、像平面畸變和內(nèi)方位元素誤差的影響，可寫成如下矩陣形式［11］：

式中：V為像點坐標(biāo)殘差；X1、X2和X3分別為外方位元素、物方點坐標(biāo)和內(nèi)部參數(shù)，X1、X2、A1、A2和L的值參見文獻(xiàn)［11］，X3和A3分別為：

X3即為待標(biāo)定的參數(shù)，共有10個未知數(shù)，故將式（8）～式（10）稱為數(shù)字像機(jī)標(biāo)定的10參數(shù)模型，在實際應(yīng)用中可以根據(jù)精度需要選擇全部或部分參數(shù)進(jìn)行標(biāo)定。

4.2 水下攝影測量相機(jī)標(biāo)定方法

水下攝影相機(jī)標(biāo)定的方法和步驟與空氣中相似，但在具體實現(xiàn)時，水下攝影相機(jī)標(biāo)定存在以下特點：（1）試驗場布置困難，需要布設(shè)在水下；（2）攝影設(shè)備必須能夠在水下操作，設(shè)備狀態(tài)應(yīng)和具體攝影測量時一致；（3）水下攝影過程較空氣中困難、復(fù)雜。

相機(jī)標(biāo)定場和測量目標(biāo)不在同一地點時，會帶來很大的麻煩。考慮到以上因素，水下相機(jī)標(biāo)定最好能夠在線標(biāo)定，而且在每次測量過程中都能進(jìn)行自檢校。本文采用光束法自標(biāo)定對水下攝影相機(jī)進(jìn)行標(biāo)定，并且采用了水下相機(jī)主距與空氣中相機(jī)主距的關(guān)系，根據(jù)空氣中的相機(jī)標(biāo)定結(jié)果對水下攝影相機(jī)主距賦初值。

光束法自標(biāo)定對水下攝影相機(jī)標(biāo)定的步驟：（1）在空氣中對水下攝影設(shè)備進(jìn)行光束法自標(biāo)定；（2）水下攝影相機(jī)主距初值的計算；（3）獲取水下控制架的影像數(shù)據(jù)；（4）利用物點對應(yīng)不同影像上像點的關(guān)系建立像機(jī)標(biāo)定的10參數(shù)模型，利用光束法平差進(jìn)行解算。

非線性系統(tǒng)的最優(yōu)解對初值很敏感，光束法自標(biāo)定時必須考慮相機(jī)內(nèi)參數(shù)的初值。無論在水上或水下，一般將畸變參數(shù)初值設(shè)為零，主點坐標(biāo)初值也設(shè)為（0，0）；空氣中相機(jī)主距初值設(shè)為其焦距值（鏡頭出廠標(biāo)示值），水下相機(jī)主距初值設(shè)為空氣中標(biāo)定值的1.333倍。

5 水下攝影相機(jī)標(biāo)定試驗與結(jié)果

利用水下攝影測量共線理論與相機(jī)水下標(biāo)定方法，對室內(nèi)活動三維控制架進(jìn)行3種不同的試驗。（1）直接用尼康D700相機(jī)在空氣中對控制架進(jìn)行攝影測量；（2）將該相機(jī)安裝到相機(jī)防護(hù)罩中在空氣中對控制架進(jìn)行攝影測量；（3）將該相機(jī)安裝到相機(jī)防護(hù)罩中在水下對控制架進(jìn)行攝影測量。每種試驗獲取3組數(shù)據(jù)，所有測量結(jié)果均用光束法自標(biāo)定方法計算得到。

5.1 試驗環(huán)境

三維控制架采用鋁合金材料制成，其結(jié)構(gòu)如圖7（a），尺寸為0.8 m×0.5 m×0.5 m，中間有多個支架加固，可以認(rèn)為是剛性的，即該天線放在水上和水下的形態(tài)一樣，理論上不發(fā)生形變。

在控制架三個相互平行的平面上共布設(shè)了78個反光標(biāo)志，標(biāo)志點坐標(biāo)采用專業(yè)測量相機(jī)INCA3獲取影像數(shù)據(jù)，并通過美國GSI公司的工業(yè)攝影測量系統(tǒng)V-STARS測出這些標(biāo)志點的三維坐標(biāo)，其測量精度優(yōu)于0.03 mm［17］。因此將INCA3相機(jī)測量的標(biāo)志點作為后續(xù)外部檢核精度的控制點。

試驗采用尼康D700相機(jī)，如圖7（c）；鏡頭為尼康A(chǔ)F尼克爾21 mm／2.8D，其視場角為81°×60°。相機(jī)防護(hù)罩為水下攝影測量專門研制的“水下精密攝影測量防水箱系統(tǒng)”［10］，防水箱玻璃窗口采用的是5 mm厚的K9玻璃，安裝時讓相機(jī)的鏡頭剛好貼緊石英硅玻璃，同時相機(jī)閃光燈也透過石英硅玻璃窗口，如圖7（d）。

拍攝過程中相機(jī)設(shè)置是固定的，即相機(jī)焦距、光圈系數(shù)、曝光時間在水下和空氣中設(shè)置不變，但閃光燈輸出強(qiáng)度水下設(shè)置較水上大。

空氣中相機(jī)標(biāo)定在室內(nèi)一平地面上，水中相機(jī)標(biāo)定試驗在塑料大桶中進(jìn)行，桶高1.85 m，內(nèi)徑1.55 m，桶中水的深度為1.5 m，圖7（b）所示。

5.2 試驗過程

步驟（1）：直接用相機(jī)對空氣中控制架進(jìn)行攝影，分別在7個攝站位置對控制架共拍攝了23張像片，攝站位置示意如圖7（f）。再用同樣方法重復(fù)拍攝2組數(shù)據(jù)。

步驟（2）：將相機(jī)安裝到相機(jī)防護(hù)罩中在空氣中對控制架進(jìn)行攝影，攝站位置和姿態(tài)基本同步驟（1），共拍攝3組數(shù)據(jù)。

圖7 水下攝影試驗相關(guān)圖片

步驟（3）：將控制架放入桶底，向桶中注水，水位到達(dá)1.5 m即可，這樣可以保證最小攝影距離為0.8m。利用上述步驟（2）中安裝好的成像設(shè)備，對水下控制架進(jìn)行攝影，采取同步驟（1）中類似的位置和姿態(tài)共拍攝23張像片。注意水中拍攝像片時，將緊貼鏡頭一面的防護(hù)裝備沒入水中2～6 cm，保證鏡頭在水下，如圖7（e），拍攝3組數(shù)據(jù)。

5.3 試驗數(shù)據(jù)處理

利用10參數(shù)模型根據(jù)光束法自標(biāo)定算法計算出空氣中相機(jī)參數(shù)；根據(jù)空氣中相機(jī)標(biāo)定的主距值，利用相機(jī)水下和空氣中主距關(guān)系，獲取水下相機(jī)主距初值，再通過10參數(shù)模型獲取水下相機(jī)參數(shù)。

每個試驗中有3組數(shù)據(jù)，任選一組試驗數(shù)據(jù)列入表中。重復(fù)精度為每個試驗中任選兩組數(shù)據(jù)解算出的標(biāo)志點坐標(biāo)與第3組數(shù)據(jù)解算的結(jié)果差值的均方根。因此，每個試驗中有2組重復(fù)精度，表中任列出一組作為代表。測量精度為通過本試驗獲取的控制架反光標(biāo)志點坐標(biāo)與在水上通過INCA3相機(jī)其測量值之間差值的均方根，每個試驗有3組值，表中任列出1組作為代表。

5.4 試驗結(jié)果與分析

3種試驗自標(biāo)定結(jié)果見表1。從表1可以看出，在空氣中，相機(jī)安裝防護(hù)罩，相機(jī)內(nèi)參數(shù)會發(fā)生變化，但是相機(jī)主距值只發(fā)生微小變化，這是由相機(jī)本身的穩(wěn)定性和防護(hù)罩的影響造成的。相機(jī)安裝上防護(hù)罩后，其測量精度降低，這主要是由于加裝防護(hù)罩后攝影系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)變復(fù)雜、穩(wěn)定性降低所致。

表1 相機(jī)光束法自標(biāo)定結(jié)果mm

水中相機(jī)主距的標(biāo)定值（29.3 mm）為空氣中加防護(hù)罩（22.0mm）的1.332倍，幾乎等于水的折射率（1.333），充分驗證了文中推導(dǎo)的主距變化關(guān)系。相機(jī)在水中測量精度（0.096 7mm）同空氣中加裝防護(hù)罩后測量精度（0.099 4 mm）接近，從而也驗證了本文提出的水下攝影測量共線理論的正確性。

6 結(jié) 論

由于水對光的影響和水下攝影環(huán)境的不同，在水下獲取的影像質(zhì)量比空氣中差一些，因此水下測量精度應(yīng)該比空氣中略低，但本試驗結(jié)果卻相反。分析原因，這是由于相機(jī)在水下主距增大導(dǎo)致測量精度提高的緣故。同樣測量條件下，理論上相機(jī)焦距越大，其測量精度越高。從而可以這樣推論，只要減小或消除相機(jī)防護(hù)罩對測量精度的影響并保證水下成像質(zhì)量，同等條件下對同一物體測量，水下測量精度可以超過水上測量精度。本文推導(dǎo)的水下攝影測量共線理論，只適用于整個物方空間均在水下的攝影測量，不包括物方空間一部分在空氣里另一部分在水下的情況。另外相機(jī)在水下，只需鏡頭的最前端沒入水中即可，水下攝影測量“三點共線”理論成立。

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Collinearity Theory and the Camera Calibration Method of Underwater Photogramm etry

QIN Gui-qin1， ZHANG Yong-sheng1， HUANG Gui-ping2， FAN Ya-bing3， CHEN Zheng4
（1.Information Engineering University，Zhengzhou，Henan 450001，China；
2.North China University ofWater Resources and Electric Power，Zhengzhou，Henan 450011，China；
3.Troops 61363，Xi'an，Shaanxi710054，China； 4.Troops 66444，Beijing 100042，China）

With a brief introduction of optical theory of photogrammetry，the relation of the location of datum marks is described in camera lens system between air and underwater.The collinearity theory of underwater photogrammetry is proposed，and the variety of principal distance of underwater camera is illustrated.After the analysis of distortion and view of underwater photography，the camera underwater calibration method is described.One calibration test on underwater camera was done.The results indicate that the collinearity theory of underwater photogrammetry is right and themethod of underwater camera calibration is suitable.

Metrology；Underwater photogrammetry；Collinearity theory of three points；Camera underwater calibration；Principal distance of camera；Location of datum marks

TB96

A

1000-1158（2014）02-0133-06

10．3969／j．issn．1000-1158．2014．02．08

2011-03-09；

2013-12-02

國家863計劃（2008AA042410）

欽桂勤（1977－），女，湖北隨州人，信息工程大學(xué)講師，博士，主要從事視覺測量及傳感器技術(shù)研究。qinguiqin＠sohu.com