二維精密工作臺離散點測量結(jié)果誤差分離的新方法研究

郭天太， 王曉曉， 洪 博， 趙 軍， 孔 明， 高思田

（1.中國計量學院，浙江杭州 310018； 2.中國計量科學研究院，北京 100013）

二維精密工作臺離散點測量結(jié)果誤差分離的新方法研究

郭天太1， 王曉曉1， 洪 博1， 趙 軍1， 孔 明1， 高思田2

（1.中國計量學院，浙江杭州 310018； 2.中國計量科學研究院，北京 100013）

針對測量結(jié)果中包含的誤差，提出一種能夠分離精密工作臺系統(tǒng)誤差的方法。首先利用輔助測量柵格板和二維精密工作臺的不同位置進行測量，然后根據(jù)柵格板上標記點的測量數(shù)據(jù)和標稱值建立誤差分離的數(shù)學模型，最終實現(xiàn)對測量結(jié)果的誤差分離。通過仿真驗證了算法的有效性。仿真結(jié)果表明：當不存在測量噪聲時，能夠?qū)崿F(xiàn)誤差的完全分離；當存在測量噪聲時，計算值與給定值標準差的相對誤差在X軸和Y軸上分別為1.95%和1.52%。對于不同幅度的噪聲，工作臺系統(tǒng)誤差計算值穩(wěn)定。該算法對噪聲不敏感，表現(xiàn)出很好的魯棒性，可用于測量結(jié)果和儀器性能的評價。

計量學；誤差分離；二維精密工作臺；系統(tǒng)誤差；測量結(jié)果；標準不確定度

1 引 言

誤差分離技術最初由青木保雄等人提出［1］，并應用于圓度誤差的精密測量，通過對傳感器輸出的信號進行分析和運算，分離出回轉(zhuǎn)軸運動誤差和被測截面圓度誤差。此后，該技術擴展至多步法和多點法圓度誤差分離技術［2，3］。國內(nèi)外研究主要集中于圓度及圓柱度等的誤差分離。近年來對精密工作臺定位精度的校準受到重視［4］，J.Ye根據(jù)測量數(shù)據(jù)建立數(shù)學模型，并采用傅里葉變換算法計算工作臺系統(tǒng)誤差［5～7］，該方法計算過程較為復雜，實際應用較少。朱煜、朱立偉等提出利用非線性優(yōu)化法對二維超精密工作臺運動建立測量模型［8～12］，并未給出合理的迭代初始值求解方法。在此基礎上崔繼文等利用二維迭代模型來實現(xiàn)對二維工作臺系統(tǒng)誤差的分離［13］。但以上方法均存在模型求解復雜、不便于實用的問題。

本文提出一種針對精密儀器二維精密工作臺離散點測量結(jié)果的誤差分離方法，通過利用不同位置的測量數(shù)據(jù)來實現(xiàn)對測量結(jié)果的誤差分離，為后續(xù)的誤差修正提供依據(jù)。由于算法是對離散的點進行運算，給出的誤差分離結(jié)果也是離散點的誤差，因此，可把離散點及其附近區(qū)域看作是系統(tǒng)誤差近似相等，即每一點的系統(tǒng)誤差成分是低頻的，利用離散點測量結(jié)果的不確定度來評價該方法的有效性。

2 誤差分離方法

2.1 變量定義

二維精密工作臺離散點誤差分離方法的基本原理如下：借助于輔助測量柵格板（其精度可低于測量儀器的精度），當柵格板置于工作臺不同位置時，測量數(shù)據(jù)中包含不同誤差項。通過測量儀器讀取輔助測量柵格板上標記點的測量數(shù)據(jù)，將測量數(shù)據(jù)、標記點標稱值和相應的誤差建立數(shù)學模型，利用最小二乘法對模型進行運算，最終分離出二維工作臺測量點的系統(tǒng)誤差和柵格板標記點的系統(tǒng)誤差。

圖1 誤差分離算法變量示意圖

首先建立坐標系（見圖1）并定義變量。圖1（a）表示工作臺坐標系中測量點與實際位置的偏離（系統(tǒng)誤差）以及坐標之間的關系，Gx（i）、Gy（i）分別為工作臺第i個測量點系統(tǒng)誤差值在X軸和Y軸方向的偏移量。圖1（b）表示輔助測量柵格板標記點與實際位置的偏離（系統(tǒng)誤差）及坐標之間的關系，Ax（i）、Ay（i）分別為第i個標記點系統(tǒng)誤差值在X軸和Y軸方向的偏移量，Nx（i）、Ny（i）分別為柵格板第i個標記點的標稱值。

為了建立數(shù)學模型，需要將圖1所示的不同坐標系中的各變量統(tǒng)一于同一個定義坐標系中，如圖2所示。圖中包含3個坐標系：定義坐標系XOY、工作臺坐標系XGOGYG、柵格板坐標系XAOAYA。后兩個坐標系相對于定義坐標系的旋轉(zhuǎn)角度分別記為θg和θa，其坐標原點相對于定義坐標系原點的偏移量分別記為（Vg，Wg）和（Va，Wa）。對于輔助柵格板上的標記點A，向量OP為其理想坐標值，向量PA為其系統(tǒng)誤差；對于工作臺上同一位置處的測量點A，向量AM為其系統(tǒng)誤差。

圖1和圖2中理想坐標系的選取不是任意的，需滿足下列條件［5，6］：

圖2 定義坐標系及坐標系之間的轉(zhuǎn)換

式中：N為方形柵格板一列點的個數(shù)；i為總測量點數(shù)，即標記點數(shù)，i＝1，2，…，N2。

2.2 數(shù)學模型

輔助測量柵格板固定在二維平面工作臺上，通過精密儀器測得柵格板上標記點i的坐標測量值，記為Mx（i）和My（i）。根據(jù)圖2中向量之間的關系，有

寫成矩陣形式可得：

根據(jù)式（1）～（8），可以得到誤差分離的數(shù)學模型：

式中：Qx為測量值在X軸方向的分量；Qy為測量值在Y軸方向的分量；I為N2階單位矩陣；Ic為元素均為1的單列矩陣；o為零矩陣；Nx、Ny均為N2列單行矩陣，其元素為標記點的標稱值，符號依據(jù)坐標系而定；［·］T表示轉(zhuǎn)置矩陣。

式（9）是1個位置的情況，方程中的未知量為4N2＋3個，已知量為2N2＋7個。通常N≥2，未知量的個數(shù)大于已知量的個數(shù)，方程的解不定。為了得到可靠的估計值，應使已知量的個數(shù)大于未知量的個數(shù)，所以需要增加位置數(shù)。結(jié)合數(shù)學模型采用平移、旋轉(zhuǎn)等不同位置來獲得多組測量數(shù)據(jù)，如圖3所示，其中虛線表示理想柵格板，實線表示輔助柵格板，圓點表示標記點。

對于3位置的數(shù)學模型，方程中的未知量為4N2＋9個，已知量為6N2－2N＋7個，已可保證已知量的個數(shù)大于未知量的個數(shù)。為了得到最佳估計值，本文采用最小二乘法對數(shù)據(jù)進行處理。

根據(jù)圖3所示不同位置標記點坐標值的變化，由式（9）可得到3位置時的誤差分離數(shù)學模型：

式中：上標1、2、3表示測量位置；I90為順時針旋轉(zhuǎn)90°后對應的系數(shù)矩陣；Id、Ie、If、Nf、Ng均為柵格板向x軸正向平移一個柵格后所產(chǎn)生的系數(shù)矩陣；其他矩陣意義同式（9）。

圖3 誤差分離3位置示意圖

式（10）左側(cè)為已知量，簡記為Q，右側(cè)的關系矩陣記為T，最右側(cè)一列為待分離量，簡記為X。于是，式（10）可改寫為：

根據(jù)式（11），利用最小二乘公式：

可得到誤差分離結(jié)果的最佳估計值為：

式（13）即為待分離的所有誤差項的計算結(jié)果，即最佳估計值?？梢姡撜`差分離方法能將二維工作臺的系統(tǒng)誤差分離出來。

3 仿真分析

為了驗證該誤差分離算法的有效性進行了計算機仿真。仿真流程如圖4所示。輔助測量柵格板標記點為4×4，即N＝4，相鄰兩個標記點間距d為10 mm。根據(jù)上文提到的條件即式（1）～（5），隨機生成測量數(shù)據(jù)、工作臺、輔助測量柵格板的系統(tǒng)誤差數(shù)據(jù)。設置工作臺測量點和柵格板標記點的系統(tǒng)誤差標準差均為0.1μm。經(jīng)過最小二乘法計算，得到測量數(shù)據(jù)中包含的測量點系統(tǒng)誤差和標記點系統(tǒng)誤差以及偏移量。通過標準差和標準不確定度來比較與給定值的偏差。

圖4 仿真流程圖

考慮到實際測量環(huán)境中無法避免外界的干擾，即存在隨機誤差的影響，在仿真過程中針對有、無隨機噪聲兩種情況進行了誤差分離。

3.1 無隨機噪聲的情況

當無隨機噪聲時，誤差分離計算值與給定值相同，如圖5所示，圓點表示計算值得到的標記點位置，虛線表示計算值和給定值無偏差，實線表示計算值和給定值的偏差。在無隨機噪聲影響的情況下，對于每個工作臺測量點和柵格板標記點，誤差給定值與計算值相同，該算法能完全分離出二者的系統(tǒng)誤差。

3.2 有隨機噪聲的情況

當加入隨機噪聲時（本文取隨機噪聲的幅度為0.1 000μm），測量數(shù)據(jù)經(jīng)利用誤差分離算法處理后，得到的誤差給定值與計算值數(shù)據(jù)如表1所示，兩者的誤差偏離如圖6所示，其中圓點表示計算值得到的標記點位置，虛線表示計算值和給定值無偏差，實線表示計算值和給定值的偏差。

圖5 無隨機噪聲時的仿真結(jié)果

表1 有隨機噪聲時的誤差給定值與計算值μm

圖6 有隨機噪聲仿真結(jié)果

由表1和圖6可以看出，在有隨機噪聲的情況下，工作臺測量點誤差分離結(jié)果與給定值雖有偏差，但其標準差的相對誤差在X軸和Y軸分別為1.95%和1.52%，如表2所示。

表2 有隨機噪聲時的標準差和標準不確定度

由于在實際操作中，噪聲對測量結(jié)果有一定的影響，為了驗證該算法對噪聲的抑制能力，對噪聲參數(shù)給出具體的數(shù)值，根據(jù)噪聲大小的不同，仿真結(jié)果，如表3所示。噪聲與工作臺的系統(tǒng)誤差相比，前者在數(shù)量級上明顯小于后者，因此選取噪聲幅度0.100 0μm作為上限。從表3可以看出，隨著噪聲數(shù)量級上的增大，計算值與給定值的標準差并沒有隨之而增大，在一個很小的范圍內(nèi)波動，比較穩(wěn)定，即該算法對噪聲有抑制能力，表現(xiàn)出較好的魯棒性。

表3 不同噪聲參數(shù)的仿真結(jié)果比較μm

4 結(jié) 論

本文提出一種精密儀器二維精密工作臺離散點測量結(jié)果誤差分離的新方法，建立了誤差分離數(shù)學模型，并對算法進行了仿真驗證。仿真結(jié)果表明：當無隨機噪聲存在時，該算法能夠?qū)崿F(xiàn)誤差的完全分離；當加入幅度為0.100 0μm的隨機噪聲時，系統(tǒng)誤差的計算值和給定值的標準差的相對誤差在X軸和Y軸分別為1.95%和1.52%。該方法既可用于測量設備的性能評價，也能夠用于測量結(jié)果的修正，從而得到更準確的測量結(jié)果。

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A New Error Separation Method for Measurement Results of Discrete Points of 2D Precision Stage

GUO Tian-tai1， WANG Xiao-xiao1， HONG Bo1， ZHAO Jun1， KONG Ming1， GAO Si-tian2
（1.China Jiliang University，Hangzhou，Zhejiang 310018，China；2.National Institute of Metrology，Beijing 100013，China）

To separate the system error of precision stage，a new method for separation was put forward.Firstly different positions of auxiliarymeasuring grid plate and 2D-stageweremeasured.Then according to themeasurement data of mark points on the grid plate and their corresponding nominal values，a mathematical model for error separation was established，which could separate errors from themeasured results.The effectiveness of the algorithm was verified through simulation.Simulation results showed thatwhen therewas nomeasurementnoise，the algorithm could realize completeerror separation，while in the case of the presence ofmeasurement noise，the relative error of standard deviation of calculated values and the given values were 1.95%and 1.52%inX-axis andY-axis respectively.For noises with different amplitudes，the calculated values of system errorswere stable.The algorithm is not sensitive to noise and can be very useful in evaluation ofmeasurement results and instrument performances.

Metrology；Error separation；2D precision stage；System error；Measurement results；Uncertainty

TB92

A

1000-1158（2014）02-0113-07

10．3969／j．issn．1000-1158．2014．02．04

2013-05-10；

2013-07-25

國家自然科學基金（11172287）；國家重大科學儀器設備開發(fā)專項（2011YQ03011208）

郭天太（1968－），男，甘肅莊浪人，中國計量學院副教授，博士。主要研究方向為精密儀器與現(xiàn)代傳感技術。teampaper209＠cjlu.edu.cn