基于Zernike矩的模糊與仿射混合不變量研究

蔡小帥,張榮國,李富萍,劉小君

(1.太原科技大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,太原030024;2.合肥工業(yè)大學(xué)機(jī)械與汽車工程學(xué)院,合肥230009)

基于Zernike矩的模糊與仿射混合不變量研究

蔡小帥1,張榮國1,李富萍1,劉小君2

(1.太原科技大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,太原030024;2.合肥工業(yè)大學(xué)機(jī)械與汽車工程學(xué)院,合肥230009)

Zernike矩作為形狀描述子,其信息冗余度低且對(duì)噪聲不敏感,在圖像特征提取和模式識(shí)別中得到了廣泛應(yīng)用。為提高Zernike矩對(duì)含有模糊和仿射圖像的形狀描述能力,提出一種基于Zernike矩的形狀描述子,該描述子使用規(guī)范化方法構(gòu)造Zernike矩的仿射不變量,結(jié)合Zernike矩的模糊不變量得到Zernike矩的模糊和仿射混合不變量。將該矩混合不變量作為形狀描述子描述圖像的形狀特征,并與幾何矩模糊和仿射混合不變量進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn),結(jié)果表明,Zernike矩的模糊和仿射混合不變量在混合形變下形狀描述能力較強(qiáng),具有不變性,并且對(duì)噪聲的魯棒性較好。

Zernike矩;形狀描述子;規(guī)范化方法;點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù);仿射不變量;模糊不變量

1 概述

在圖像的實(shí)際采集過程中,由于對(duì)焦錯(cuò)誤、設(shè)備移動(dòng)、環(huán)境及其他方面的影響,使采集到的圖像往往有不同程度降質(zhì),其中包括模糊形變和仿射形變。傳統(tǒng)的形狀描述子對(duì)這類圖像的描述能力弱,因此對(duì)這些降質(zhì)圖像中物體的形狀描述成為計(jì)算機(jī)視覺、模式識(shí)別及醫(yī)學(xué)成像等領(lǐng)域的重要任務(wù)。近年來,國內(nèi)外對(duì)模糊和仿射形變圖像的形狀描述及識(shí)別方法研究較為廣泛和深入的是矩不變量方法［1］。對(duì)于仿射不變量,文獻(xiàn)［2］采用代數(shù)不變量的理論獲得了幾何矩仿射不變量;文獻(xiàn)［3］提出了采用規(guī)范化方法構(gòu)建仿射不變量。在模糊不變量方面,文獻(xiàn)［4］引入點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)法得到幾何矩模糊不變量。后來,文獻(xiàn)［5］提出利用點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)的相關(guān)理論得到同時(shí)對(duì)模糊和仿射變換具有不變性的矩混合不變量;文獻(xiàn)［6］采用直接構(gòu)造法和規(guī)范化方法得到了幾何矩模糊和仿射混合不變量。然而幾何矩都是非正交的,有一定的信息冗余且噪聲敏感度高。文獻(xiàn)［7］認(rèn)為正交矩的形狀描述能力強(qiáng)、噪聲魯棒性好且信息冗余度低。因此,文獻(xiàn)［8］提出了Legendre矩的模糊和仿射混合不變量;文獻(xiàn)［9］構(gòu)造了一種Techebichef矩的模糊和仿射混合不變量。雖然Zernike矩的各階矩相互獨(dú)立、信息冗余度小且抗噪能力強(qiáng),得到了廣泛的應(yīng)用和研究。但除了文獻(xiàn)［10］提出的Zernike矩的模糊和旋轉(zhuǎn)混合不變量和文獻(xiàn)［11］介紹的Zernike矩的相似和模糊混合不變量外,還沒有看到同時(shí)對(duì)模糊和仿射形變具有不變性的不變量的相關(guān)報(bào)道,因此構(gòu)造相應(yīng)的Zernike矩不變量處理含有混合形變的圖像有一定的研究價(jià)值。

在上述研究工作的基礎(chǔ)上,本文提出一種基于Zernike矩的形狀描述子,該描述子采用規(guī)范化方法消除仿射變換中仿射參數(shù)的影響,利用點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)相關(guān)理論得到模糊不變量,通過兩者結(jié)合得到同時(shí)對(duì)模糊和仿射變換具有不變性的Zernike矩,并通過實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了驗(yàn)證。

2 Zenike矩和幾何矩介紹

2.1 Zernike矩的定義

p階的Zernike多項(xiàng)式為定義在極坐標(biāo)系下單位圓上的復(fù)數(shù)多項(xiàng)式Vpq(x,y),表達(dá)式如下:

令k=p-2s,Rpq(ρ)關(guān)于ρ的冪級(jí)數(shù)形式如下:

其中,(n-k)為偶數(shù)。

以正交Zernike多項(xiàng)式為核的階數(shù)為p,重復(fù)度為q的Zernike矩的定義為:

由式(4)和式(3)可以得到Zernike矩與幾何矩的關(guān)系如下［12］:

其中,t=(k-q)/2,且p-k為偶數(shù)。

2.2 幾何矩的定義

令f(x,y)為圖像的密度函數(shù),則它的(p+q)階幾何矩函數(shù)的定義如下:

(p+q)階中心矩表示為:

其中,p,q=0,1,…,∞且x0=m10/m00,y0=m01/m00。

3 基于Zernike矩的模糊和仿射混合不變量

3.1 Zernike矩的模糊不變量

圖像的模糊形變過程可以表示為原圖像f(x,y)和一個(gè)任意中心對(duì)稱的點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)(PFS)h(x,y)的卷積,即:

該點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)h(x,y)具有如下性質(zhì):

針對(duì)這個(gè)點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù) h(x,y),可以構(gòu)造出Zernike矩的模糊不變量,表示如下［11］:

3.2 Zernike矩的仿射不變量

仿射變換是一種從空間坐標(biāo)(x,y)變換到新的坐標(biāo)(u,v)的線性變換,可寫成如下矩陣表示形式:

本文運(yùn)用中心矩代替幾何矩消除平移變換的影響,然后運(yùn)用由Rothe提出的XSR分解法把矩陣A分解成為1個(gè)x剪切矩陣,1個(gè)均勻縮放矩陣和1個(gè)旋轉(zhuǎn)矩陣3個(gè)矩陣,其表示如下:

(1)x剪切不變量

(2)均勻縮放不變量

(3)旋轉(zhuǎn)不變量

把下面的方程規(guī)范化為0得到變換參數(shù)θ:

3.3 Zernike矩模糊和仿射混合不變量

仿射不變量的任意線性函數(shù)仍是仿射不變的。使用式(15)替代式(9)中的Zernike矩函數(shù),即可獲得 Zernike矩模糊和仿射混合不變量,表示如下:

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

下面的實(shí)驗(yàn)用來說明并驗(yàn)證本文所提出的Zernike矩模糊和仿射混合不變量(ZCMI)的圖像描述能力、對(duì)模糊和仿射變換的不變性及噪聲魯棒性。

4.1 圖像描述能力分析

本文實(shí)驗(yàn)平臺(tái)為:Windows XP,Matlab R2012(a), CPU:Intel Celeron(R),1.86 GHz,ROM:1 GB。

首先測(cè)試ZCMI對(duì)于退化圖像(包括仿射和模糊)的描述性能,如圖1、圖2所示。圖像lena和圖像birthday,圖1(a)和圖2(a)為圖像的原始圖像,圖1(b)和圖2(b)為僅發(fā)生了仿射變換后的圖像,圖1(c)～圖1(e)和圖2(c)～圖2(e)為不僅發(fā)生了仿射變換并且分別同時(shí)加入了模糊參數(shù)為［3 3］的平均模糊、模糊參數(shù)為［5 5］的高斯模糊、模糊參數(shù)為5的圓形區(qū)域均值模糊及模糊參數(shù)為9的運(yùn)動(dòng)模糊,其中仿射變換中仿射矩陣各元素值為a11=1.483,a12=2,158,a13= -0.723,a14= 0.850。為了測(cè)試ZCMI對(duì)退化圖像的描述能力,將分別通過對(duì)圖1和圖2中各圖的矩不變量值對(duì)此予以驗(yàn)證。表 1和表 2分別為圖 lena和圖birthday各變換圖像的8個(gè)矩不變量值,其中,μ代表6幅圖像各階矩的矩平均值,σ代表平均誤差, σ/μ(%)代表平均誤差率。從表1和表2可以看出,經(jīng)過模糊和仿射變換的各圖像的矩不變量值并不是恒定不變的,而是在一定的范圍內(nèi)波動(dòng),但平均誤差率低,整體較為穩(wěn)定,說明這些矩不變量值的波動(dòng)程度是可以接受的,驗(yàn)證了ZCMI對(duì)退化的圖像具有較好的形狀描述能力。

圖1 圖像lena的仿射和模糊圖像

圖2 圖像birthday的仿射和模糊圖像

表1 圖像lena的ZCMI矩不變量

表2 圖像birthday的ZCMI矩不變量

4.2 不變性驗(yàn)證及噪聲魯棒性

本文實(shí)驗(yàn)用來驗(yàn)證ZCMI對(duì)模糊和仿射形變的不變性以及對(duì)噪聲的魯棒性。實(shí)驗(yàn)圖像為圖像lena,圖1(a)為原始圖像,圖1(c)～圖1(f)分別對(duì)圖像加入了仿射和模糊形變。為了測(cè)試本文提出的描述子對(duì)噪聲的魯棒性,圖 1(c),圖 1(d)和圖1(e),圖1(f)中分別加入了不同密度的高斯噪聲和椒鹽噪聲,其噪聲密度為0.01～0.20;兩幅圖像的矩不變量值之間的相對(duì)誤差可以表示為:

其中,f和g分別用來表示原始圖像和其發(fā)生某種形變后的圖像。相對(duì)誤差在此用來衡量形狀描述子的不變性。其中,~(p)及I(p)為向量;,,p≥ 0,且I(p,q)在式(16)中已給出定義。

圖3為分別使用本文提出ZCMI和Zhang等提出的幾何矩模糊和仿射不變量(GCMI)計(jì)算出的原始圖像和形變圖像的矩不變量值之間相對(duì)誤差的變化情況。圖3的2條曲線分別表示使用GCMI和本文提出的ZCMI獲得的相對(duì)誤差。由圖3(a)、圖3(c)、圖3(d)可以看出,在圖像包含有仿射形變和不同模糊形變的條件下,加入不同密度的噪聲時(shí),與GCMI相比,隨著噪聲密度的增大,ZCMI仍能夠獲得較小的相對(duì)誤差;雖然圖3(b)中出現(xiàn)個(gè)別不穩(wěn)定現(xiàn)象,但整體相對(duì)誤差仍然相對(duì)較小。因此,實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明在不同的混合形變和不同的噪聲作用下,與GCMI相比,本文提出ZMCI不變性及噪聲的魯棒性較好。

圖3 不同矩混合不變量的相對(duì)誤差

5 結(jié)束語

本文提出一種基于Zernike矩的模糊和仿射形變具有不變性的形狀描述子。該描述子采用規(guī)范化方法消除仿射變換的影響,得到Zernike矩仿射不變量;將其與用中心對(duì)稱點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)方法得到的Zernike矩模糊不變量相結(jié)合構(gòu)造出Zernike矩模糊和仿射混合不變量。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,與幾何矩模糊和仿射混合不變量相比,本文提出的Zernike矩模糊和仿射不變量描述能力強(qiáng)、不變性好,且對(duì)噪聲敏感度小。

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編輯 索書志

Study on Blur and Affine Combined Invariants Based on Zernike Moment

CAI Xiaoshuai1,ZHANG Rongguo1,LI Fuping1,LIU Xiaojun2
(1.School of Computer Science and Technology,Taiyuan University of Science and Technology,Taiyuan 030024,China;
2.School of Mechanical and Automotive Engineering,Hefei University of Technology,Hefei 230009,China)

Zernike moment,as a shape descriptor,has been widely used in image characteristics extraction and pattern recognition.It is low information redundancy and not sensitive to noise.To improve the shape description capability of the images which are degraded by combined blur and affine transformation,a new shape descriptor based on Zernike moment is proposed.The normalization method is used to construct affine invariants of Zernike moment.The combined blur and affine moment invariants of Zernike moment is achieved by the help of the blur invariants.The combined moment invariants is used as the shape descriptor to describe the shape feature of images,and is implemented comparison with the combined affine and blur invariants based on geometric moment with relative error.Experimental results show that the combined blur and affine invariants of Zernike moment can get better shape description and invariance in combined degrades,and robustness to noise.

Zernike moment;shape descriptor;normalization method;point spread function;affine invariant; blur invariant

1000-3428(2014)11-0215-05

A

TP391

10.3969/j.issn.1000-3428.2014.11.042

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51075113);山西省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2013011017);高等學(xué)校博士基金資助項(xiàng)目(20122025);太原科技大學(xué)校研究生創(chuàng)新基金資助項(xiàng)目(20125024)。

蔡小帥(1987-),女,碩士研究生,主研方向:圖形圖像處理;張榮國,教授;李富萍,講師;劉小君,教授、博士生導(dǎo)師。

2013-11-05

2013-12-31E-mail:zhrgty@163.com

中文引用格式:蔡小帥,張榮國,李富萍,等.基于Zernike矩的模糊與仿射混合不變量研究［J］.計(jì)算機(jī)工程,2014, 40(11):215-219.

英文引用格式:Cai Xiaoshuai,Zhang Rongguo,Li Fuping,et al.Study on Blur and Affine Combined Invariants Based on Zernike Moment［J］.Computer Engineering,2014,40(11):215-219.