基于模糊C均值聚類算法的金剛石砂輪磨粒邊緣檢測

高 琦， 崔長彩， 胡 捷， 葉瑞芳， 黃 輝

（華僑大學機電及自動化學院，福建廈門 361021）

基于模糊C均值聚類算法的金剛石砂輪磨粒邊緣檢測

高 琦， 崔長彩， 胡 捷， 葉瑞芳， 黃 輝

（華僑大學機電及自動化學院，福建廈門 361021）

基于模糊C均值（FCM）聚類算法將金剛石砂輪表面檢測數(shù)據(jù)劃分成金剛石和結(jié)合劑兩個類別，以數(shù)據(jù)的質(zhì)心初始化聚類中心，用迭代的方法分別求出相應的最優(yōu)聚類中心和隸屬度矩陣，通過選取合適的隸屬度閾值以及兩個聚類中心的歐氏距離閾值來區(qū)分金剛石和結(jié)合劑，確定磨粒邊緣。為驗證方法的可行性，對多組數(shù)據(jù)進行檢測，并用模擬的砂輪表面形貌對此方法進行了評定，評定結(jié)果與設定值誤差不超過2.0%。

計量學；邊緣檢測；模糊C均值聚類算法；金剛石砂輪；磨粒

1 引 言

準確地評價砂輪表面形貌對磨削機理研究、磨削過程優(yōu)化及建模與仿真等具有重要意義，而準確的磨粒識別是砂輪形貌評價的關(guān)鍵［1］。磨粒的邊緣檢測在磨粒特征參數(shù)提取中起著重要的作用［2］，只有選用合適的方法將磨粒的邊緣從測量數(shù)據(jù)中檢測出來才能對一些重要的參數(shù)（如磨粒面積、等效粒徑等）進行準確、有效的分析。金剛石砂輪表面形貌復雜，結(jié)合劑和金剛石磨粒形狀及分布具有隨機性和不規(guī)則性，因此識別金剛石和結(jié)合劑的邊緣比較困難。

文獻［3］應用數(shù)字圖像識別技術(shù)識別砂輪磨粒，通過對CCD采集到的金剛石磨粒數(shù)字圖像進行圖像增強、二值化、濾波等圖像處理，最終實現(xiàn)邊界檢測。文獻［4］應用區(qū)域增長的方法，解決了數(shù)字圖像識別方法中因磨粒反光強度不同造成的邊緣數(shù)據(jù)丟失的問題。數(shù)字圖像識別方法實時性好，易于計算，但識別磨粒邊界是通過對物體和背景在圖像特性上的某些差異（灰度、顏色等）來實現(xiàn)的［5］，而現(xiàn)在常用的三維測量方法，如觸針式輪廓儀［6］，給出的測量結(jié)果多是砂輪表面高度，而不包含磨粒的顏色、紋理等能與結(jié)合劑相互區(qū)別的特征，因此數(shù)字圖像識別方法在砂輪磨粒邊緣檢測中的應用有待改進。文獻［1］應用數(shù)字濾波消除砂輪表面三維數(shù)字信息中的高頻分量，然后提取金剛石磨粒的幾何特征，提出了依據(jù)磨粒輪廓頻率特征、磨粒間距和磨粒曲率半徑識別金剛石磨粒的方法。該方法精度較高，但砂輪表面磨粒的形態(tài)有不確定性，有些磨損磨粒的特征條件達不到要求時會被忽略（如由于磨損而高度降低的磨粒），因此不能完整的反映磨粒邊緣信息。

聚類分析是多元分析的一種，也是非監(jiān)督模式識別的一個重要分支［7］。它將一個沒有類別標記的樣本按某種規(guī)則劃分成若干個子集（類），相似的樣本盡可能歸為一類，而不相似的樣本盡量劃分到不同類中［8］。模糊聚類分析是聚類的研究主流，它得到的是樣本屬于某個類別的不確定程度［9］。磨粒和結(jié)合劑的形態(tài)具有不確定性，磨粒與結(jié)合劑的界限較為模糊，利用模糊理論能較好地描述砂輪磨粒與結(jié)合劑邊緣不確定性的特點。

本文采用模糊C均值（Fuzzy C-means，F(xiàn)CM）聚類算法對三維數(shù)字信息進行處理分析，首先得到單數(shù)據(jù)行二維輪廓特征向量，并計算兩個聚類中心（結(jié)合劑中心和磨粒中心），根據(jù)二維輪廓數(shù)據(jù)間的相似度，將具有相同屬性的元素進行聚類劃分，與磨粒屬性差異大的數(shù)據(jù)對磨粒聚類中心隸屬度較低的歸為結(jié)合劑，對磨粒中心隸屬度高的數(shù)據(jù)則歸為磨粒，同時計算兩個聚類中心的距離，距離小于設定閾值的被歸為結(jié)合劑，區(qū)分了單行數(shù)據(jù)中的結(jié)合劑和磨粒。通過對每行數(shù)據(jù)進行分析得到砂輪三維表面形貌中多顆磨粒的邊緣。該方法能夠得到較為精確和完整的磨粒邊緣，對于磨損的磨粒同樣具有很好的檢測效果。

2 FCM聚類算法原理

FCM聚類算法是一種代表性的模糊聚類算法，分類數(shù)給定，首先初始化聚類中心，計算樣本中每個元素對于聚類中心的隸屬度，然后通過若干次迭代反復修改聚類中心和隸屬度矩陣，最終算法的迭代序列或其子序列收斂到目標函數(shù)的局部極小點，得到每個元素相對于某個聚類中心的最終隸屬度，并以此尋找出對事物的最佳分類方案。

式中：n是樣本元素個數(shù)；s是數(shù)據(jù)的維數(shù)；c是聚類中心數(shù)；m是模糊指數(shù)；dtj是樣本點aj和聚類中心vt的歐氏距離；utj是第j個樣本屬于第t個聚類中心的隸屬度，t＝1，2，…c；U是隸屬度矩陣，V是聚類中心矩陣。FCCA就是求使聚類目標函數(shù)最小化的模糊劃分矩陣U和聚類中心V。

在迭代求目標函數(shù)J的過程中，可通過以下公式（5）和（6）不斷更新隸屬度和聚類中心矩陣。

具體算法步驟如下［10］：1）根據(jù)具體問題，確定c，初始化vt，確定m的值；2）根據(jù)公式（4）計算dtj并計算U以及初始的目標函數(shù)值J（0）；3）根據(jù)公式（6），計算新的聚類中心，根據(jù)公式（4），（5）分別計算新的歐氏距離和隸屬度函數(shù)，根據(jù)公式（1）計算新的目標函數(shù)值J（k），k為迭代次數(shù)，初始值為1；4）若||J（k）－J（k－1）||＜ε（允許誤差），算法停止，否則返回步驟3），繼續(xù)迭代，令k＝k＋1。

3 金剛石砂輪磨粒邊緣檢測

3.1 金剛石砂輪表面數(shù)據(jù)過程特征及提取

選用SDC120（120粒度）青銅結(jié)合劑金剛石砂輪，規(guī)格為100 D×10 T×5 X×31.75 H；測量儀器選用LSM700共聚焦顯微鏡，采樣數(shù)據(jù)總數(shù)為508× 508，X與Y方向的采樣間隔均為1.25μm。圖1為共聚焦顯微鏡所測到的金剛石砂輪表面形貌的三維輪廓圖（a）和俯視圖（b）。

圖1 砂輪表面三維輪廓圖和俯視圖

砂輪表面三維形貌可用Z（x，y）表示（x，y）坐標處的輪廓高度值。其中x、y是相互獨立的變量，表示該表面的采樣點坐標。為使閾值的選取更具有普遍適用性，先對高度數(shù)據(jù)進行歸一化處理。

由圖1（a）可知，砂輪表面磨粒和結(jié)合劑各自的輪廓高度變化規(guī)律是不相同的，是區(qū)分金剛石磨粒和結(jié)合劑的依據(jù)。因此選取表面二維高度、高度變化速度和加速度這3項為表面數(shù)據(jù)的過程特征向量。過程特征向量的求解方法如下：

假設砂輪表面某行第n點處高度數(shù)據(jù)的數(shù)值為h（n），n＝1，…，N，N為采樣點數(shù)，N＝508。第n點處高度數(shù)據(jù)的變化率為h′（n）（即變化速度），h＇″（n）為變化加速度，則金剛石砂輪表面數(shù)據(jù)過程特征［11］可表示為：

其中T表示向量的轉(zhuǎn)置。

第（n＋δ）個掃描點處的數(shù)據(jù)可近似地用n處的過程特征表示：

其中e（δ）為估計誤差。根據(jù)估計誤差最小的原則，應使在掃描點n附近的e2（δ）最小。

為減少程序的運算量，選取窗函數(shù)w（δ）來計算誤差平方和，取δ∈［－l，l］，l為正整數(shù)，則加窗目標函數(shù)G為：

這是一個最優(yōu)化問題，解得，

其中，

l的取值對特征過程向量有很大的影響。l較大，G的值越接近真實的誤差平方和e2（δ），特征向量能較好地反映數(shù)據(jù)變化過程，但運行量較大；l較小，造成估計誤差數(shù)據(jù)截取的誤差加大，過程特征向量受隨機誤差干擾較大。l＝3時所得特征向量如圖2所示。

隨機提取一行（圖1（b）x＝130行）高度數(shù)據(jù)，如圖2（a）所示，較高的為磨粒部分，較低的為結(jié)合劑，由圖2（a）、圖2（b）、圖2（c）可知，此行磨粒和結(jié)合劑在高度數(shù)據(jù)以及高度數(shù)據(jù)變化速度、加速度上存在著明顯的不同，在圖2（d）中，數(shù)據(jù)明顯分成了兩個部分，根據(jù)數(shù)據(jù)特點可知原點附近的部分為結(jié)合劑，遠離原點的部分為磨粒，表明所選特征向量能很好地反映表面數(shù)據(jù)的變化規(guī)律。

3.2 聚類中心的確定

選取見圖1（b）中第130行數(shù)據(jù)，由公式（10）、（11）、（12）求得特征向量H＝［h1，h2，h3…h(huán)N］3×N，并且初始聚類中心矩陣V＝［v1，v2］3×2，H是包含磨粒高度、高度變化速度以及加速度信息的特征過程向量集合，v1，v2分別是結(jié)合劑、磨粒的聚類中心。由聚類分析可知，隨機選取不同的聚類中心，將會得到不同的聚類結(jié)果［12］，而且迭代結(jié)果易陷入局部極小的問題。為提高算法準確性，分別求取磨粒和結(jié)合劑部分數(shù)據(jù)的質(zhì)心作為初始化的v1，v2。此方法有目的和有規(guī)則地初始化聚類中心，能在一定程度上避免隨機初始化聚類中心所造成的算法收斂于局部極小的問題。

圖2 圖1（b）中第130行數(shù)據(jù)特征向量圖

模糊指數(shù)m控制分類矩陣的模糊程度，但m的選取尚缺乏理論指導。本文采用文獻［13］提出的基于目標函數(shù)拐點的方法來確定m的取值。文獻［13］提出目標函數(shù)存在拐點，并驗證了該拐點對應的m值可作為合適的模糊指數(shù)，目標函數(shù)的拐點恰好是目標函數(shù)導數(shù)的極小值點。由公式（14）、（15）計算數(shù)據(jù)對于初始化的聚類中心的dtj和U＝［utj］2×N，根據(jù)公式（13）構(gòu)造目標函數(shù)，計算Jd＝?J（U，V）／?m的值，其中m≥1，計算結(jié)果如圖3所示，最終第130行數(shù)據(jù)合適的m值為2．5。

同理計算所有行的最優(yōu)m值，最終確定m值的區(qū)間為［2，3．5］。為使參數(shù)更具有適用性，同時考慮文獻［14］所提出的m最佳取值區(qū)間為［1.5，2.5］，最終選擇m＝2.5為統(tǒng)一參數(shù)值。

砂輪磨粒的邊緣檢測的關(guān)鍵就是尋找最優(yōu)的聚類中心V，使其滿足目標函數(shù)J為最小。

圖3 圖1（b）中第130行數(shù)據(jù)拐點法所求m值

式中：1≤t≤2；1≤j≤N。

由公式（14）、（15）計算dtj和U＝［utj］2×N，根據(jù)U和公式（16）獲得新的聚類中心，將公式（13）、（14）、（15）、（16）進行迭代計算解決目標函數(shù)最優(yōu)化問題，為簡化計算，給定允許誤差ε＝0.00001，在滿足||v（k）－v（k－1）||＜ε時停止迭代。圖4為圖1（b）中第130行數(shù)據(jù)的允許誤差與目標函數(shù)迭代結(jié)果圖，目標函數(shù)在經(jīng)過4～6次迭代后迅速收斂，而允許誤差迭代完成時目標函數(shù)已經(jīng)收斂。最終計算得到兩個最優(yōu)聚類中心。

圖4 允許誤差與目標函數(shù)迭代結(jié)果圖

通過循環(huán)運算，得到每一行的最優(yōu)聚類中心，并分別計算每行數(shù)據(jù)點對于兩個聚類中心的隸屬度，為后續(xù)邊緣檢測做準備。

圖5和圖6中標記了數(shù)據(jù)特征向量最優(yōu)聚類中心以及作為初始化聚類中心的質(zhì)心，計算得到的兩個聚類中心在特征向量圖的位置與質(zhì)心的坐標基本一致。圖7為圖1（b）第90行和第130行數(shù)據(jù)隸屬度曲線，由圖可知，結(jié)合劑聚類中心隸屬度曲線與磨粒聚類中心隸屬度曲線正好相反，如圖7（a）和（b）、圖7（c）和（d），因此只分析數(shù)據(jù)相對磨粒聚類中心的隸屬度曲線。

圖5 圖1（b）中第90行數(shù)據(jù)質(zhì)心和最優(yōu)聚類中心

3.3 邊緣檢測原則和結(jié)果分析

砂輪表面每一個數(shù)據(jù)點分別對于結(jié)合劑和金剛石兩個聚類中心存在著隸屬關(guān)系，因砂輪表面磨粒和金剛石的差異，隸屬關(guān)系比較明顯，故選取隸屬度的閾值成為區(qū)分金剛石磨粒和結(jié)合劑的第一原則。

圖6 圖1（b）中第130行數(shù)據(jù)質(zhì)心和最優(yōu)聚類中心

對于只存在結(jié)合劑的數(shù)據(jù)行，如圖1（b）第310行，由于數(shù)據(jù)分布比較集中，只有一個質(zhì)心，最終只有一個聚類中心生成，見圖8。圖9是所有行磨粒與結(jié)合劑聚類中心的dtj示意圖，從圖中可以看出，由于金剛石砂輪表面磨粒和結(jié)合劑高度分布的隨機性，每行兩個聚類中心的dtj是不一致的，觀察發(fā)現(xiàn)當磨粒高度較低時，聚類中心的dtj較小，而對于只存在結(jié)合劑的行由于只有一個聚類中心，dtj為0。因此，兩類聚類中心的dtj成為除去結(jié)合劑行數(shù)據(jù)的干擾的第二原則。

由于金剛石砂輪表面磨粒的形態(tài)與分布的隨機性以及結(jié)合劑不規(guī)則形狀的影響，精確定位磨粒的邊緣很困難?；谝陨蟽蓚€原則，通過對實驗結(jié)果的觀察和分析來找到區(qū)分磨粒和結(jié)合劑的兩個閾值可以較為準確的確定磨粒邊緣。

如圖7所示，圖1（b）第90行數(shù)據(jù)點對于結(jié)合劑和磨粒的隸屬關(guān)系的區(qū)分比較明顯；第130行存在一顆較大的磨粒和另一顆因磨損而存在較緩邊緣的磨粒，磨粒較緩變化的邊緣部分因高度、高度變化速度和加速度均較小，會出現(xiàn)對磨粒隸屬度較低的問題，因此必須選取合適的閾值來區(qū)分磨粒和結(jié)合劑。

經(jīng)過大量實驗并分析，初步選定閾值為0.8，當數(shù)據(jù)點對于磨粒聚類中心隸屬度大于0.8時，可判定數(shù)據(jù)點所在的位置完全屬于磨粒部分，當數(shù)據(jù)點對于磨粒聚類中心隸屬度小于0.2時，判定數(shù)據(jù)點所在的位置屬于結(jié)合劑；對兩類聚類中心的隸屬度閾值0.2和0.8之間的部分，考慮到由磨粒頂部到結(jié)合劑并不是一個突變過程，均存在一定的斜率，而且還會存在磨粒磨損造成的斜率很小的漸變過程，因此可以判定0.2和0.8中間的部分是磨粒，應該與磨粒相關(guān)聯(lián)。綜上所述，磨粒與結(jié)合劑的邊界應是隸屬度為0.2的數(shù)據(jù)點的位置，每行數(shù)據(jù)點對于本行磨粒聚類中心隸屬度大于0.2的均認為是磨粒，由此區(qū)分磨粒與結(jié)合劑。

圖9中第206、300、450行附近dtj最小，并存在dtj＝0的情況，因此可以斷定是結(jié)合劑行，從圖中數(shù)據(jù)點206行數(shù)值選定dtj閾值為0.17，dtj小于0.17均為結(jié)合劑行。

圖7 圖1（b）數(shù)據(jù)選擇行隸屬度曲線

圖8 圖1（b）第310行數(shù)據(jù)質(zhì)心和聚類中心

綜上所述，區(qū)分磨粒和結(jié)合劑的閾值選擇是：（1）表面高度數(shù)據(jù)對磨粒聚類中心隸屬度大于0.2；（2）所在行兩類聚類中心dtj大于0.17。

將符合條件的數(shù)據(jù)點的值置1，其余置0，生成二值圖像，見圖10；繪制二值圖像輪廓即可得到邊緣，見圖11。

為驗證方法的可行性，選取多組采樣數(shù)據(jù)進行磨粒邊緣處理。第一組砂輪磨粒表面形貌及其磨粒邊緣輪廓如圖12、13所示。第二組砂輪磨粒表面形貌及其磨粒邊緣處理輪廓如圖14、15所示。

圖9 磨粒與結(jié)合劑聚類中心的dtj

圖10 圖1對應的磨粒邊緣二值圖像

圖11 圖1對應的磨粒邊緣輪廓圖

圖12 砂輪表面形貌俯視圖

4 實驗驗證

采用模擬砂輪表面的方法，模擬120＃金剛石砂輪，基粒尺寸為125～100μm，將磨粒簡化為球形，用高度在0～5μm范圍的隨機表面模擬砂輪表面結(jié)合劑，參數(shù)是：（1）表面面積：823μm×823μm，磨粒粒徑100μm；（2）結(jié)合劑高度變化是0～5μm的

圖13 與圖12對應的邊緣輪廓圖

圖14 砂輪表面形貌俯視圖

圖15 與圖14對應的邊緣輪廓圖

隨機值，磨粒出露高度20μm；磨粒間距100μm。

圖16為未加噪聲的形貌圖，由16個半球組成陣列，模擬砂輪磨粒。圖17為加噪聲后的形貌圖表面，所加高度一定的隨機信號模擬結(jié)合劑，由于隨機表面高度變化已知，半球的模型參數(shù)已知，因此可以計算出結(jié)合劑最高點處模擬磨粒邊緣所圍成的面積，通過理論面積和實際面積的比較，來計算算法的誤差。圖18是算法檢測到的磨粒邊緣和分布。

圖16 未加噪聲的形貌圖

圖17 加噪聲后的形貌圖

圖18 檢測到的磨粒邊緣和分布

理論上每顆磨粒邊緣圍成的面積為5 026.55 μm2；通過程序檢測到的每顆磨粒的面積為5013 μm2。16個模擬磨粒經(jīng)邊緣檢測后得到的面積及誤差見表1。由表1知，邊緣檢測得到的最大面積為4 987μm2，誤差為0.52%，最小面積4 931μm2，誤差為1.64%，在一定程度上說明了算法的精度。

表1 檢測結(jié)果

5 結(jié) 論

本文將模糊C均值聚類算法應用到砂輪表面磨粒的邊緣檢測，直接對測量儀器產(chǎn)生的三維數(shù)據(jù)進行處理，并且適用于磨損后的砂輪表面，能有效地區(qū)分磨粒與結(jié)合劑。但由于砂輪表面情況較為復雜，加上表面形貌檢測儀器的各種誤差，實際檢測到的邊緣與實際砂輪的邊緣會有一些出入。同時，由于應用了聚類的方法，將表面數(shù)據(jù)強制分為了兩類，這在隸屬度閾值選取上難免存在偏差。但在實際應用中此種方法檢測出磨粒的邊緣與實際測量到的基本接近，并能檢測出普通方法不能很好識別的較緩的邊緣。

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Grain Edge Detection of Diam ond Grinding Wheel Based on a Fuzzy C-m eans C lustering Algorithm

GAO Qi， CUIChang-cai， HU Jie， YE Rui-fang， HUANG Hui
（College of Mechanical Engineering and Automation，Huaqiao University，Xiamen，F(xiàn)ujian 361021，China）

Based on a fuzzy C-means（FCM）clustering algorithm，the height data set of ameasured grinding wheel surface is classified into two fuzzy clusters，which are named as“grain”and“bond”respectively.The clusters centers are initialized with the centroids of the classified data first，and then the most optimal cluster centers and the membership matrix are obtained with an iterative strategy.By choosing appropriate thresholds of the membership degree and the Euclidean norm of the two cluster centers，the edge of grains is determined.Themethod is validated with experiment.For further analysis，an evaluation is carried out by applying thismethod to a simulated grinding wheel surface，the results of which show that the error of thismethod is less than 2.0%.

Metrology；Edge detection；Fuzzy C-means clustering algorithm；Diamond grinding wheel；Grain

TB92

A

1000-1158（2014）04-0315-08

10．3969／j．issn．1000-1158．2014．04．03

2013-05-21；

2013-11-12

國家自然科學基金（51235004，51075160）；教育部新世紀優(yōu)秀人才支持計劃（NCET-10-0116）

高琦（1987－），男，河北保定人，華僑大學碩士研究生，主要研究方向為智能測控儀器與測控方法。qingtongjian1987＠163.com崔長彩為通訊作者。cuichc＠hqu.edu.cn