復(fù)合評定法在三維粗糙表面評定中的應(yīng)用

任志英， 高誠輝， 林建興， 申 丁， 黃健萌

復(fù)合評定法在三維粗糙表面評定中的應(yīng)用

任志英1，2， 高誠輝1，2， 林建興1， 申 丁1， 黃健萌1，2

（1.福州大學(xué)機械工程及自動化學(xué)院，福建福州 350108；2.福州大學(xué)摩擦學(xué)研究所，福建福州 350002）

提出一種將雙樹復(fù)小波與分形理論相結(jié)合的復(fù)合評定方法。即利用雙樹復(fù)小波近似的平移不變性和方向性好等優(yōu)點，將信號分解成更為細膩的低頻和高頻信號，同時根據(jù)多尺度下信號分形維數(shù)的不變性，利用圖像灰度值自相關(guān)求得高低頻信號的分形維數(shù)，通過計算高低頻信號分形維數(shù)之間的差值（即分形維數(shù)距）來確定雙樹復(fù)小波的分解尺度。仿真結(jié)果表明復(fù)合評定法可以較好地提取基準面，且分形維數(shù)距確定分解層數(shù)的準確性通過均方根Sq值得到了驗證；兩個實例均說明，復(fù)合評定法可以很好地提取具有分形特征的納米級三維粗糙表面基準或波紋度，為實際工程表面評定提供了可靠的理論基礎(chǔ)。

計量學(xué)；粗糙表面；分形理論；雙樹復(fù)小波；復(fù)合評定

1 引 言

工程表面的粗糙度、波紋度以及表面不規(guī)則分布的溝槽、凹坑、凸臺、劃痕等多尺度形貌特征［1.2］等因素將直接影響工程表面的機械、物理特性。因此，準確地分離出表面的各種成分對于表面的功能評定將起到很大的作用。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，一般要求對表面在三維空間上進行分析［3，4］，小波變換因具有多尺度性質(zhì)等，在三維表面粗糙度評定中得到了廣泛的應(yīng)用，但其存在平移變動性與方向性差等缺點［5］?；谛〔ê头中蔚谋砻娲植诙确治鲅芯恳恢钡玫接嘘P(guān)學(xué)者的重視［6］，目前用小波變換來提取表面形貌的分形維數(shù)已經(jīng)取得了較好的效果［7，8］，但如何選取最優(yōu)小波基以及小波分解尺度的確定依然是表面分析中的難點。

本文提出將雙樹復(fù)小波與分形理論相結(jié)合的復(fù)合評定法用于三維表面粗糙度的提取，即通過利用雙樹復(fù)小波克服傳統(tǒng)小波分析中平移變動性與方向性差的問題，采用原子力顯微鏡等所得到的圖像灰度值自相關(guān)函數(shù)來計算在各個尺度下基準面（或波紋度面）和粗糙度面的分形維數(shù)，并將各尺度下基準面（或波紋度面）的分形維數(shù)與粗糙度面的分形維數(shù)之差定義為分形維數(shù)距，通過計算比較分形維數(shù)距來確定雙樹復(fù)小波的分解尺度。最后將復(fù)合評定理論對具有分形特征的仿真粗糙表面和實際工程表面進行粗糙度評定，實驗結(jié)果表明基于雙樹復(fù)小波與分形理論的復(fù)合評定法用于分形粗糙表面具有一定的可行性。

2 復(fù)合評定基礎(chǔ)理論

2.1 雙樹復(fù)小波

雙樹復(fù)小波［9］（簡稱DT-CWT），它通過離散小波變換DWT實現(xiàn)，一個DWT產(chǎn)生實部，另一個DWT產(chǎn)生虛部，即上下兩棵樹。通過高度對稱性的變換可實現(xiàn)兩棵樹的互相補償。DT-CWT變換為克服odd／even濾波器的缺點，采用了Q-shift濾波器。該濾波器在兩棵樹的第二層及其以后的各層均為偶長度，具有近似理想的平移不變性。對于二維信號f（s）的復(fù)小波變換，可表示為二維尺度函數(shù)和6個高頻方向小波函數(shù)的組合［10］：

式中：s＝（x，y），x、y分別代表不同方向的二維信號；aJ，l和dj，l分別代表信號的光滑與細節(jié)部分；B＝｛±15°，±45°，±75°｝；J代表最粗糙的分解層；L代表細節(jié)的分解層；φJ，L為尺度函數(shù)；ψJ，L為小波函數(shù)。對于6個不同的高頻子帶的方向，各個子帶的函數(shù)可表示為［10］：

由式（2）可知，DT-CWT變換具有6個方向的選擇性，大大提高了對于表面形貌特征的提取與識別性能。

2.2 分形理論

研究表明許多工程表面及微納表面具有某種與尺度無關(guān)的分形特性，說明這類表面形貌具有統(tǒng)計的自仿射性，即當表面適當放大后的表面形貌與原始表面形貌具有一定的相似性［11］。同時由于分形屬性具有尺度不變性，很適合用來描述粗糙表面在各種尺度下的幾何結(jié)構(gòu)，分形屬性被認為是粗糙表面的一種屬性，表征尺度不變性的參數(shù)即為分形維數(shù)［12］。所以針對同一表面，其基準面（或波紋度面）的分形維數(shù)和去除基準面（或波紋度面）粗糙度面的分形維數(shù)應(yīng)該最為接近。目前常見的表面分形維數(shù)計算方法有方盒計數(shù)法、冪率譜法、差分法、尺碼法、結(jié)構(gòu)函數(shù)法和小波法等［13，14］。分形維數(shù)的計算因選用的方法不同導(dǎo)致結(jié)果也各不相同，所以分形維數(shù)正確的確定方法對于表面粗糙度評定工作十分重要。本文研究對象為基于原子力顯微鏡下的微納級表面，其表面各點像素的灰度值主要取決于實際測量的輪廓形貌，是試件表面形貌的真實反映，與表面的形貌、輪廓存在一一對應(yīng)的關(guān)系。因此采用圖像灰度值直接求取分形維數(shù)顯得正確而有意義。根據(jù)這一特點，采用文獻［15］中利用分形幾何理論對表面圖像的灰度值數(shù)據(jù)進行處理分析，從而得到了能夠反映表面粗糙度特征的分形維數(shù)。

求分形維數(shù)的數(shù)學(xué)模型如下［16］：

設(shè)圖像灰度值數(shù)據(jù)構(gòu)成的數(shù)據(jù)組為｛（x，y）；z｝，（x，y）代表像素點位置的坐標，z代表該位置上的灰度值，根據(jù)灰度值數(shù)據(jù)組，計算灰度值自相關(guān)函數(shù)，得到：式中：τi的物理意義是位置或距離；L是測量的長度或測量范圍；N為取樣總數(shù)，該值應(yīng)由灰度值在被測表面上的密度來確定。對S（τi）和τi取自然對數(shù)后，擬合成一條直線，并計算出該直線的斜率值a和在縱坐標軸上的截距b，在雙對數(shù)坐標下可得分形維數(shù)為：

2.3 復(fù)合評定表征分形表面粗糙度的數(shù)學(xué)建模

復(fù)合評定理論的基本步驟如下：

（1）通過DT-CWT分解三維粗糙度表面，得到各層的小波系數(shù)，并將小波系數(shù)轉(zhuǎn)化為圖像灰度值；

（2）采用自相關(guān)函數(shù)法，計算得到各層波紋度表面和粗糙度表面的分形維數(shù)；

（3）計算分形維數(shù)距，將得到最小分形維數(shù)距的分解層數(shù)確定為DT-CWT提取波紋度表面分解尺度；

（4）最后從原始表面形貌提取粗糙度表面以及基準面（或波紋度面）等信息，進行三維粗糙表面表征。

三維工程表面一般存在3種誤差：粗糙度誤差、表面波紋度誤差和幾何輪廓形位誤差。在三維粗糙表面評定中，一般把具有低頻特征信號的幾何輪廓形位誤差歸結(jié)在中頻特征信號的表面波紋度里。假設(shè)納米三維表面微觀形貌為Z（x，y），表面粗糙度為S（x，y），基準面（或波紋度面）和幾何形狀誤差的總和為T（x，y），則三維形貌粗糙度的數(shù)學(xué)模型為：

將Z（x，y）進行式（1）DT-CWT變換，提取表面形貌的低頻系數(shù)（f，φr），然后分別對各個層數(shù)的高頻復(fù)小波系數(shù)置零處理，對其低頻系數(shù)進行式（6）DT-CWT的反變換重構(gòu)，即可求出分解中各層的基準面（或波紋度面）的信號T（x，y）：

則表面粗糙度的數(shù)學(xué)模型為：

為獲得各個尺度下基準面（或波紋度面）和粗糙度面的分形維數(shù)，將得到基準面（或波紋度面）的信號T（x，y）和粗糙度信號S（x，y）數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為圖像灰度值數(shù)據(jù)。根據(jù)公式（3）和公式（4）求出在第J（J＝1，2，…，N）層可得到基準面（或波紋度面）分形維數(shù)DTJ和粗糙表面的分形維數(shù)為DSJ。

得出最小分形維數(shù)距w：

依據(jù)分形維數(shù)具有尺度不變性，在最小分形維數(shù)距的分解尺度下基準面（或波紋度面）與粗糙度表面的形貌特征最為相似，以此來確定DT-CWT可靠的分解層數(shù)，這樣DT-CWT才能準確地提取納米級三維功能表面粗糙度，為后續(xù)的三維參數(shù)準確評定奠定基礎(chǔ)。

3 仿真驗證

3.1 仿真分形粗糙表面粗糙度提取

為說明復(fù)合評定法能很好地應(yīng)用在具有分形特征的三維粗糙表面中，通過Weierstrass-Mandelbrot（W-M）函數(shù)建立了一個采樣點數(shù)為100 ×100，具有非平穩(wěn)隨機和分形特征的三維粗糙表面，見圖1（a）。

圖1 三維仿真表面及復(fù)合評定理論對其重構(gòu)圖

采用復(fù)合評定法對三維仿真粗糙表面進行評定，得到各層波紋度面和粗糙度面的分形維數(shù)和，如表1所示。從表1可知，當分解層數(shù)為3時，w達到最小，故確定DT-CWT分解層數(shù)為3層。最后分別對第3層的低頻小波系數(shù)和高頻系數(shù)進行重構(gòu)，分別得到波紋度表面和粗糙度表面，見圖1（b）和圖1（c）。

表1 三維仿真粗糙表面的波紋度面與粗糙度表面的D及w

3.2 仿真分形粗糙表面粗糙度提取正確性驗證

判定復(fù)合評定法提取波紋度面的準確性，其實質(zhì)是驗證復(fù)合評定法在確定DT-CWT變換分解層數(shù)準確性。隨著分解層數(shù)的改變所對應(yīng)的三維表面表征參數(shù)均方差Sq值也會變化，表征參數(shù)均方根Sq的離散計算形式為：

在三維粗糙表面評定中，一般把具有低頻特征信號的幾何輪廓形位誤差歸結(jié)在中頻特征信號的表面波紋度中，則依次計算復(fù)合評定法在提取仿真分形粗糙表面波紋度后每層三維表面表征參數(shù)均方差

圖2 分解層數(shù)與均方差Sq值變化趨勢圖

Sq值，得到的均方根Sq值變化趨勢如圖2所示。圖中發(fā)現(xiàn)，隨著復(fù)合評定分解層數(shù)的增加均方差Sq也逐漸增加，但當分解層數(shù)為3后，其表征參數(shù)均方差Sq趨于穩(wěn)定值，因此說明通過分形維數(shù)距確定分解層數(shù)具有一定的準確性。

4 實例驗證

4.1 實測鍍膜光學(xué)元件表面粗糙度評定

實例1為具有分形特征的鍍膜光學(xué)元件表面。圖3為利用AFM掃描的三維鍍膜光學(xué)元件表面，圖4為導(dǎo)入MATLAB后實際三維鍍膜光學(xué)元件表面。

圖3 基于AFM的鍍膜光學(xué)元件表面樣品圖片三維圖

圖4 導(dǎo)入MATLAB后的三維鍍膜光學(xué)元件表面

采用復(fù)合評定理論對圖4中的光學(xué)元件表面進行提取，得到各層波紋度和粗糙度表面的分形維數(shù)DTJ和DSJ，見表2。

表2 鍍膜光學(xué)元件表面的波紋度面與粗糙度表面的D及w

由表2可知，當分解次數(shù)為3時，w達到最小，確定DT-CWT的分解層數(shù)為3時，可得到光學(xué)鍍膜表面的波紋度；當分解次數(shù)為7時，分離低頻面的分形維數(shù)接近于2，說明該表面已無分形特征，確定DT-CWT的分解層數(shù)為7時，可得到光學(xué)鍍膜表面的基準面。

最后分別對第7層低頻小波系數(shù)和第3層的低頻小波系數(shù)以及剩余的高頻系數(shù)進行重構(gòu)，分別得到基準面、波紋度表面和粗糙度面，如圖5（a）、5（b）和5（c）所示。從圖中可以看出，經(jīng)鍍膜后三維光學(xué)元件表面的波紋度面不夠規(guī)整，局部個別地方較為凹陷與凸出，間接反映鍍膜基底存在一定的缺陷；而其粗糙度面高度相互對稱，反映了鍍膜厚度較為均勻，說明該鍍膜工藝較為良好。因此DT-CWT可以較好地分離鍍膜光學(xué)元件表面各頻段面形誤差。

圖5 復(fù)合評定對鍍膜光學(xué)元件表面進行各頻段分離結(jié)果圖

4.2 多孔陽極氧化鋁膜波紋度的提取

實例2為具有分形特征的多孔陽極氧化鋁膜表面。多孔陽極氧化鋁膜是一種典型的可用于制備多種功能納米器件的自組織材料。圖6是AFM獲取的實際表面形貌圖。

圖6 多孔陽極氧化鋁膜的AFM三維圖像

將原子力顯微鏡獲取的表面形貌的數(shù)據(jù)在Matlab平臺上進行處理，為使得納米三維基準面圖像表達更清晰，提取200×200個采樣點數(shù)，得到Matlab平臺上的圖像，見圖7。采用復(fù)合評定法對圖7多孔陽極氧化鋁膜三維粗糙表面進行求解，得到各層波紋度表面和粗糙度表面的分形維數(shù)如表3所示。

圖7 多孔陽極氧化鋁膜的Matlab三維圖像

表3 多孔陽極氧化鋁膜波紋度與粗糙度表面的D及w

當分解層數(shù)為4時，w最小，確定該表面的分解層數(shù)為4層；當分解層數(shù)達到第7層后，波紋度表面的分形維數(shù)幾乎不變，說明該提取表面已經(jīng)達到毫無分形特征狀態(tài)。最后分別得到波紋度表面和粗糙度表面，見圖8（a）和圖8（b）。將圖8（a）和圖7相比較發(fā)現(xiàn)，所經(jīng)復(fù)合評定法提取的波紋度表面與原始粗糙表面的波紋走向具有一致性，且波紋度表面光順自然，能更加清晰地分辨其特殊的多孔幾何結(jié)構(gòu)特點，為進一步評定此制備的合理性和優(yōu)越性提供一個定量說明。

5 總 結(jié)

圖8 多孔陽極氧化鋁膜的波紋度面及粗糙表面

利用DT-CWT的近似平移不變性和多方向性以及分形理論中分形維數(shù)在多尺度變換中的不變性，提出了基于DT-CWT分形理論相結(jié)合的復(fù)合評定法，將其用于具有分形三維表面的基準或波紋度提取，實現(xiàn)了其不受取樣長度的影響，經(jīng)仿真和實驗說明了復(fù)合評定法使用的可行性，得出如下結(jié)論：

（1）分形維數(shù)D具有不同尺度下的不變性，且能反映粗糙隨機表面輪廓形貌的復(fù)雜程度，故D的確定十分重要。本文結(jié)合實際，根據(jù)儀器得到的灰度值采用自相關(guān)法來計算分形維數(shù)D顯得合理；充分利用DT-CWT以及分形理論的優(yōu)點，定義分形維數(shù)距w來確定DT-CWT的分解尺度，具有一定的理論可行性。

（2）采用復(fù)合評定法對仿真分形粗糙表面進行波紋度表面的提取，同時計算各分解層數(shù)下仿真分形粗糙表面均方根Sq值，驗證說明利用w確定分解層數(shù)的準確性。

（3）復(fù)合評定法能很好地分離實際光學(xué)元件表面的低中高頻面形誤差，有利于后續(xù)客觀地觀察與分析其光學(xué)元件表面面形誤差與性能之間的關(guān)系。

（4）采用復(fù)合評定法對實際多孔陽極氧化鋁膜表面進行波紋度表面和粗糙表面的提取，提取的多孔陽極氧化鋁膜表面波紋度能清晰分辨其獨特的幾何結(jié)構(gòu)，有利于后期的孔參數(shù)測量，以及孔是否均勻分布等功能特性進行定量分析，可為實際工程分形表面特征提取提供一種新的方法。

［1］ Fisher J，Dowson D，Hamdzah H，etal.The effect of sliding velocity on the friction and wear of UHMWPE for use in total artificial joints［J］.Wear，1994，175：219－225.

［2］ Hall R M，Unsworth A，Siney P，etal.The surfacetopography of retrieved femoral heads［J］.Journalof MaterialsScience-MaterialsinMedicine，1996，7：739－744.

［3］ 楊大勇，劉瑩，李小兵.小波分析及其在摩擦表面研究中的應(yīng)用［J］.江西科學(xué)，2006，24（4）：238－241.

［4］ 孫延奎.小波分析及其應(yīng)用［M］.北京：機械工業(yè)出版社，2005：31－58.

［5］ 陳武凡.小波分析及其圖像處理中的應(yīng)用［M］.北京：科學(xué)出版社，2002：27－30.

［6］ 李水根，吳紀桃.分形與小波［M］.北京：科學(xué)出版社，2002：1－7.

［7］ Grzesik W，Brol S.Wavelet and fractal approach to surface roughness characterization after finish turning of different workpiece materials［J］.Journalofmaterials processingtechnology，2009，209（6）：2522－2531.

［8］ Podsiadlo PW，Stachowiak G W.Fractal-wavelet based classification of tribological surfaces［J］.Wear，2003，254（11）：1189－1198.

［9］ Nick Kingsbury.The dual-tree comp lex wavelet transform：A new efficient tool for image restoration and enhancement［C］／／In Proceedings of European Signal Processing Conference，Rhodes，1998，319－322.

［10］ Jiang X Q，Blunt L.Third generation wavelet for the extraction ofmorphological features from micro and nano scalar surfaces［J］.Wear，2004，257（12）：1235－1240.

［11］ 陳輝，胡元中，王慧，等.粗糙表面分形特征的模擬及其表征［J］.機械工程學(xué)報，2006，42（9）：219－223.

［12］ 汪富泉，李后強.分形——大自然的藝術(shù)構(gòu)造［M］.濟南：山東教育出版社，1996：73－75.

［13］ 董連科.分形理論及其應(yīng)用［M］.沈陽：遼寧科學(xué)技術(shù)出版社，1990：5－7.

［14］ Hasegawa M，Liu JC，Okuda K，etal.Calculation of the fractal dimensions ofmachined surface profiles［J］.Wear，1996，192（1－2）：40－45.

［15］ 李慶華，李振華.基于分形理論的表面粗糙度測量研究［J］.長春大學(xué)學(xué)報，2000，20（4）：47－48.

［16］ Wu JJ.Characterization of fractal surfaces［J］.Wear. 2000，239（1）：36－47.

Application of Composite Evaluation Method in the Assessment of Three-dimensional Rough Surface

REN Zhi-ying1，2， GAO Cheng-hui1，2， LIN Jian-xing1， SHEN Ding1， HUANG Jian-meng1
（1.College of Mechanical Engineering of Fuzhou University，F(xiàn)uzhou，F(xiàn)ujian 350108；2.The Tribology Institute of Fuzhou University，F(xiàn)uzhou，F(xiàn)ujian 350002）

Engineering surfaces always have fractal characteristics and now a composite evaluationmethod is proposed in which the dual tree complex wavelet combined with fractal theory.By using the dual-tree complex wavelets approximate translation invariance and good directions，signal is decomposed into a more delicate low and high frequency signals. Meanwhile，according to the invariance of the signals＇fractal dimension undermulti－scale，the fractal dimension of signals is obtained by the use of the autocorrelation image gray value，and the dual tree complex wavelets decomposition scale is verified by calculating the different fractal dimensions between the high and low frequency signals（the fractal dimension distance）.The simulation results show that the datum can bewell extracted by the use of the composite evaluationmethod，and the accuracy of decomposition level which is confirmed by the fractal dimension distance is verified by the use of the rootmean square value.Two examples illustrate that reference and waviness of the nano-scale three-dimensional rough surfaceswhich have fractal characteristic can be well extracted by the use of the composite evaluation method，which provides a reliable theoretical basis for the assessment of the actual engineering surface.

Metrology；Rough surface；Fractal theory；Dual-tree complex wavelet；Composite assessment

TB92

A

1000-1158（2014）05-0414-06

10．3969／j．issn．1000-1158．2014．05．02

2013-09-12；

2014-02-27

國家自然科學(xué)基金（51175085）；國家青年自然科學(xué)基金（51205062）；福建省教育廳A類資助項目（JA13059）；福州大學(xué)科技發(fā)展基金（600907）.

任志英（1980－），女，浙江嵊州人，福州大學(xué)講師，博士研究生，主要從事摩擦學(xué)中表面表征方法研究。renzyrose＠126.com

高誠輝為通訊作者。gch＠fzu.edu.cn