簡化變形Ostrovsky方程的精確解

李保安，李靈曉

（河南科技大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，河南 洛陽 471023）

簡化變形Ostrovsky方程的精確解

李保安，李靈曉

（河南科技大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，河南 洛陽 471023）

利用（G′／G）-展開法求解了簡化變形Ostrovsky方程，得到了含有任意參數(shù)的用雙曲函數(shù)、三角函數(shù)和有理函數(shù)表示的三類行波解。適當(dāng)選擇參數(shù)時，由雙曲函數(shù)表示的解可導(dǎo)出與文獻(xiàn)中完全一致的結(jié)果，而且本文還給出了更豐富的其他形式的結(jié)果。

簡化變形Ostrovsky方程；（G′／G）-展開法；精確解；行波解

0 引言

非線性演化方程

是描述旋轉(zhuǎn)海洋中弱非線性波動的數(shù)學(xué)模型，由Ostrovsky［1］在1978年首次導(dǎo)出，其中，c0是無色散線性波的速度，p是非線性系數(shù)，q和r是色散系數(shù)。方程（1）被稱為Ostrovsky方程。

對長波而言，高頻色散可被忽略，此時q＝0，方程（1）就變成了簡化的Ostrovsky方程

這個方程也被許多作者在不同的物理背景下導(dǎo)出。文獻(xiàn)［2］證明了方程（2）可變換為可積的方程

這是很有意義的重要發(fā)現(xiàn)。方程（3）稱為簡化變形Ostrovsky方程。后來，文獻(xiàn)［3］還發(fā)現(xiàn)方程（3）是反散射方法完全可積的，其特解可用Hirota方法和B?cklund變換方法構(gòu)造出來。2007年，文獻(xiàn)［4］用tanh-展開方法和指數(shù)函數(shù)方法得到了方程（3）的行波解。2008年，文獻(xiàn)［5］用輔助方程方法得到了方程（3）的行波解。本文用最近提出的（G′／G）-展開方法［6－8］求出方程（3）的行波解，并將所得結(jié)果與文獻(xiàn)中的結(jié)果進(jìn)行對比。

1 用（G′／G）-展開方法求方程（3）的行波解

為求方程（3）的行波解，首先引進(jìn)行波變量

其中，v是常數(shù)。將式（4）代入方程（3），則方程（3）化為u＝u（ξ）的常微分方程（ODE）

對上式關(guān)于ξ積分，可得

其中，c是積分常數(shù)，待定。

其次，考慮到uu″與u3的齊次平衡，可設(shè)u＝u（ξ）具有形式

其中G＝G（ξ）滿足二階線性O(shè)DE

2 與用其他方法所得結(jié)果之比較

結(jié)果（見式（26）～式（29））與文獻(xiàn)［4－5］中的結(jié)果完全一致，但本文中的u3、u4、u5在文獻(xiàn)［4－5］中并未給出。分別作出u3、u4、u5取特定參數(shù)值時的圖形，見圖1。

3 結(jié)論

本文用（G′／G）-展開方法求出了簡化變形Ostrovsky方程的含有任意參數(shù)的用雙曲函數(shù)，三角函數(shù)和有理函數(shù)表示的3種類型的行波解。當(dāng)適當(dāng)選擇參數(shù)時，由雙曲函數(shù)表示的解可導(dǎo)出與文獻(xiàn)中完全一致的結(jié)果。但三角函數(shù)解與有理函數(shù)解在文獻(xiàn)中并沒有給出，這是因為其中所用的方法不同所致。本文以簡化變形Ostrovsky方程為例進(jìn)一步表明（G′／G）-展開方法是獲得非線性方程精確解的簡明、直接、基本和有效的方法之一，或許還可得到更豐富的結(jié)果。

致謝：本文得到王明亮教授的悉心指導(dǎo)與幫助，作者表示衷心感謝！

圖1 u3、u4、u5取特定參數(shù)值時的圖形

［1］ Ostrovsky L A.Nonlinear InternalWaves in a Rotating Ocean［J］.Oceanology，1978，18：119－125.

［2］ Vakhnenko V O，Parkes E J.The Two Loop Soliton of the Vakhnenko Equation［J］.Nonlinearity，1998，11：1457－1464.

［3］ Vakhnenko V O，Parkes E J.The Calculation of Multsoliton Solutions of Vakhnenko Equation［J］.Chaos，Solitons and Fractals，2002，13：1819－1826.

［4］ Yusufoglu E，Bekir A.A Travelling Wave Solution to the Ostrovsky Equation［J］.Applied Mathematics and Computation，2007，186：256－260.

［5］ Kangalgil F，Ayaz F.New Travelling Wave Solutions for the Ostrovsky Equation［J］.Physics Letters A，2008，372：1831－1835.

［6］ Wang M，Li X，Zhang J.The（G′／G）Expansion Method and Travelling Wave Solutions of Nonlinear Evolution Equations in Mathematical Physics［J］.Physics Letters A，2008，372：417－423.

［7］ 許麗萍，張金良.擴(kuò)展的G′／G展開法與變系數(shù)薛定諤方程的精確解［J］.河南科技大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2012，33（4）：78－81.

［8］ 黃彥輝，張金良，魏鵬波.兩個變系數(shù)非線性Schr?dinger的精確解［J］.河南科技大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2013，34（3）：83－86.

O175.2

A

1672－6871（2014）02－0082－04

國家自然科學(xué)基金項目（11271110）；河南省教育廳自然科學(xué)研究計劃基金項目（2011B110013）；河南科技大學(xué)基金項目（2008ZY035）

李保安（1972－），男，河南洛陽人，副教授，碩士，研究方向為非線性偏微分方程.

2013－06－24