環(huán)肋圓柱殼的自由振動特性

劉小宛，梁 斌

（河南科技大學土木工程學院，河南 洛陽 471023）

環(huán)肋圓柱殼的自由振動特性

劉小宛，梁 斌

（河南科技大學土木工程學院，河南 洛陽 471023）

研究了環(huán)向肋骨沿殼體軸向任意布置、無橫向偏轉的環(huán)肋圓柱殼自由振動特性。基于Sander殼體理論，采用Rayleigh-Ritz能量法推導出環(huán)肋圓柱殼自由振動的固有頻率特征方程。經(jīng)過與各向同性圓柱殼的固有頻率進行對比，驗證了本文研究的有效性和正確性，計算了兩端簡支與一端固支一端自由等不同邊界條件下殼體的固有頻率，分析了加肋位置及邊界條件對圓柱殼振動頻率的影響。研究結果表明：加肋對圓柱殼的固有頻率有顯著提高，兩端簡支邊界條件下的頻率大于一端固支一端自由邊界條件的頻率；肋骨位置對于頻率的影響明顯，主要表現(xiàn)在殼體長度與半徑比值較小、殼壁厚度與半徑比值較大的情況下。

環(huán)肋圓柱殼；自由振動；Sander殼體理論；Rayleigh-Ritz法

0 引言

環(huán)肋圓柱殼因其良好的強度、剛度與屈曲特性等優(yōu)點，廣泛應用于工程結構中，其動態(tài)特性研究具有重要意義。文獻［1］在總結多種常見殼體理論基礎上，綜合評述了各向異性、變厚度殼壁等情況下圓柱殼的振動特性。文獻［2］從Flugge殼體理論出發(fā)，使用Rayleigh-Ritz法，考慮殼體變形影響，引入應變能因子討論環(huán)肋圓柱殼自由振動特性。文獻［3］根據(jù)Sander殼體理論和Rayleigh-Ritz法，分析了環(huán)肋中空圓柱殼自由振動特性。文獻［4］采用傳遞矩陣法研究了變厚度環(huán)肋圓柱殼的自由振動特性，并將得到的結果進行比較驗證。文獻［5］基于Flugge殼體理論，使用波動法研究靜水壓力下環(huán)肋圓柱殼振動特性。文獻［6］以浸沒于水中的彈性環(huán)向雙周期加肋薄圓柱殼為研究對象，考慮介質與結構振動的耦合效應，研究流固耦合系統(tǒng)的自由振動。文獻［7］利用解析法、實驗法和數(shù)值法相結合探討了肋骨幾何尺寸、加肋間距等因素對環(huán)肋圓柱殼自由振動特性的影響。文獻［8］根據(jù)Love殼體理論并采用解析法，考慮流體的非黏滯不可壓縮的特性，分析環(huán)肋圓柱殼的自振特性以及內充流體對自振頻率的影響。文獻［9］以一階剪切變形理論為基礎，考慮轉動慣量，研究熱應力以及加肋對功能梯度圓柱殼的屈曲和振動特性。由于環(huán)肋殼結構的特性比單純殼結構要復雜得多，且研究體系的考慮因素的復雜性，解析法求解的局限性，目前缺少解決一般性問題的更有效的理論和方法［10－13］。

本文采用Sander殼體理論，利用Rayleigh-Ritz能量法推導出環(huán)肋圓柱殼自由振動固有頻率的特征方程，研究了兩端簡支（SS-SS）、一端固支一端自由（C-F）兩種不同邊界條件下殼體的振動特性，分析了加肋位置及邊界條件對環(huán)肋圓柱殼振動頻率的影響。

1 環(huán)肋圓柱殼力學模型

內部加環(huán)肋的圓柱殼模型如圖1所示，圓柱殼的平均半徑為R，長度為L，壁厚為h，軸向加肋位置與殼體左邊界的距離為a。殼體與肋骨采用相同的材料，彈性模量為E，泊松比為μ，材料密度為ρ。在殼壁中面建立正交坐標系（x，θ，z），其中，x，θ，z分別為殼體的軸向，環(huán)向和徑向坐標。

圖1 加肋圓柱殼模型

2 理論推導

用Rayleigh-Ritz法求圓柱殼的固有頻率，由Lagrange函數(shù)定義能量函數(shù)Π：

其中，U和T分別為殼體的應變能和動能。

其中，Aij和Dij（i，j＝1，2，6）分別為殼體的拉伸剛度和彎曲剛度；Qij（i，j＝1，2，6）為簡化剛度。

由Sander殼體理論，曲面應變（εx，εθ，γ）及曲面曲率（kx，kθ，τ）表達式如下：

圓柱殼的動能表示為：

式中，ρT為單位長度質量密度；u，v，w分別表示x，θ，z方向的軸向、環(huán)向和徑向位移分量。

假設位移函數(shù)u，v，w的形態(tài)形式對于空間變量x，θ及時間變量t來說是分離的，

其中，A、B、C為振動振幅；n為周向波數(shù)；ω為固有角頻率；φ（x）是滿足殼體幾何邊界條件的軸向形態(tài)函數(shù)；ai表示第i根肋骨距殼體左邊界的距離；N表示肋骨數(shù)量；ξ為一個參數(shù)，當環(huán)肋存在時取值1，不加肋時取0。

本文采用特征梁函數(shù)表達圓柱殼軸向形態(tài)關系，φ（x）［3］定義為：

式中，βi（i＝1，2，3，4），λm和ζm與邊界條件有關。

本文研究兩端簡支，一端固支一端自由兩種邊界條件，βi，λm，ζm的取值見表1。

表1 βi，λm，ζm在兩端簡支，一端固支一端自由邊界條件下的取值

能量函數(shù)Π又可寫為：

其中，Tmax，Umax分別為最大動能和最大應變能。

取函數(shù)Π關于振幅A，B，C的極值，得到3個聯(lián)立方程：

導出振動特征方程，用于求解固有頻率：

由式（13）對系數(shù)矩陣求行列式等于零，可得出關于頻率的6次方程：

其中，αi（i＝0，1，2，3）是常系數(shù)。由式（14）可得到3個固有頻率，取其中最小者為研究對象。

3 數(shù)值計算及分析

將本文結果與已有文獻成果做對比，表2和表3分別計算了不加肋圓柱殼（在式（9）中取ξ＝0得到）兩端簡支，一端固支一端自由時的固有頻率數(shù)據(jù)，驗證了本文結果的有效性和正確性。表2中，E＝2.068 43×1011N／m2，ρ＝7 854.76 kg／m3，μ＝0.3，L＝0.203 2 m，R＝0.050 8 m，h＝0.002 54 m；表3中，E＝2.1×1011N／m2，ρ＝7.8×103kg／m3，μ＝0.28，L＝0.502 m，R＝0.063 5 m，h＝0.001 63 m。

表2 兩端簡支時的固有頻率對比 Hz

表3 一端固支一端自由時的固有頻率對比 Hz

本文通過多組算例探討單肋骨加強圓柱殼結構（在式（9）中取ξ＝1得到）在兩端簡支與一端固支一端自由兩種不同邊界條件下的加肋特性以及不同加肋位置、不同的殼體長度與半徑比、不同的殼壁厚度與半徑比對環(huán)肋殼體自由振動特性的影響，結果見表 4～表 7，無量綱頻率參數(shù)，其中，ω為圓柱殼自由振動角頻率。

表4給出了不同周向波數(shù)n時，SS-SS，C-F邊界條件圓柱殼在不加肋以及加肋位置a＝0.5L處兩種情況下的頻率參數(shù)數(shù)據(jù)。通過改變周向波數(shù)n對圓柱殼頻率參數(shù)的影響，可以看出：隨著周向波數(shù)的增大，兩種邊界條件下，不加肋的光殼結構頻率參數(shù)先減小后增大，而加肋圓柱殼的頻率參數(shù)逐漸增大，增長幅度逐漸減??；與無肋頻率走勢不同，環(huán)肋圓柱殼的基頻在周向波數(shù)n＝1時出現(xiàn)；加肋后兩種邊界條件的圓柱殼的頻率都有顯著提升，且在周向波數(shù)1到2間增幅明顯，對于基頻的提升意義重大；加肋因素對于兩端簡支殼體自振頻率的提升更顯著，且SS-SS邊界條件下的加肋頻率大于C-F邊界條件下相應的頻率。

表4 兩端簡支和一端固支一端自由時的頻率參數(shù)ωf對比（h／R＝0.01，L／R＝20，m＝1，a／L＝0.5）

表5給出了環(huán)肋殼體在SS-SS，C-F兩種邊界條件下，加肋位置連續(xù)變化對應的頻率參數(shù)數(shù)據(jù)。通過改變加肋位置對圓柱殼頻率的影響，可以看出：對于對稱的邊界條件SS-SS，加肋位置-頻率曲線關于殼體中心對稱，加肋位置由殼板邊緣至中部變化，頻率參數(shù)逐漸增大，環(huán)肋位于殼板中間時可得最大頻率；非對稱的邊界條件C-F，頻率曲線呈非對稱趨勢，a／L＝0.7～0.9時得到最大頻率。

表6分別給出了L／R為2、10、20時，環(huán)肋殼體隨加肋位置變化，在SSSS，C-F兩種邊界條件下的頻率參數(shù)數(shù)據(jù)。通過改變L／R對圓柱殼頻率參數(shù)的影響，可以看出：兩種邊界條件的頻率變化規(guī)律相似，隨著L／R減小，頻率參數(shù)逐漸增大；L／R＝2時，環(huán)肋圓柱殼的頻率明顯大于L／R＝10和20時殼體頻率，肋骨位置對于頻率的影響更明顯；而L／R值的增大，從10變化到20，變化不明顯，影響不顯著。

表5 兩端簡支和一端固支一端自由時的頻率參數(shù)ωf對比（h／R＝0.01，L／R＝20，m＝1，n＝1）

表6 兩種邊界條件下的頻率參數(shù)ωf對比（h／R＝0.01，m＝1，n＝1）

表7列出了單根環(huán)肋殼體在SS-SS，C-F兩種邊界條件下，h／R分別為0.005、0.01、0.05時，隨肋骨位置變化的頻率參數(shù)數(shù)據(jù)。通過改變h／R對圓柱殼頻率參數(shù)的影響，可以看出：兩種不同的邊界條件下，頻率參數(shù)同樣有相似的變化規(guī)律，h／R不斷增大，頻率參數(shù)也隨之增大；h／R值的增大，從0.005到0.01，頻率增幅不太明顯，而h／R值從0.01增到0.05時，頻率增幅顯著，肋骨位置對頻率參數(shù)的影響更明顯。

4 結論

本文基于Sander殼體理論和Rayleigh-Ritz能量法，研究了環(huán)向單肋圓柱殼的自由振動特性。并以SS-SS和C-F兩種邊界條件為例，進一步探討加肋位置、邊界條件和幾何尺寸等因素對環(huán)肋圓柱殼振動特性的影響。研究結果表明：（1）加肋對于圓柱殼的動態(tài)特性影響顯著，通過與不加肋情況的比較，加肋后兩種邊界條件下的自由振動的頻率有較大提升，基頻的增大有很好的工程應用意義；（2）加肋因素對圓柱殼振動特性的影響對于SS-SS邊界條件更顯著，表現(xiàn)在加肋后頻率的增幅更明顯，且SS-SS邊界條件下的頻率大于C-F邊界條件下相應的頻率；（3）對稱的邊界條件SS-SS，肋骨位置－頻率曲線關于殼體中心對稱，隨肋骨位置由殼板邊緣至中部變化，頻率參數(shù)逐漸增大，環(huán)肋位于中間時可得最大頻率；非對稱的邊界條件C-F，頻率曲線呈非對稱趨勢，a／L＝0.7～0.9時得到最大頻率；（4）肋骨位置對于頻率的影響主要表現(xiàn)在L／R較小和h／R較大時，當L／R增大和h／R減小到一定程度，加肋位置對于頻率的影響則相對有限。

表7 兩種邊界條件下的頻率參數(shù)ωf對比（L／R＝20，m＝1，n＝10）

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TB535.1

A

1672－6871（2014）02－0062－05

國家自然科學基金項目（51105132）；河南省自然科學基金項目（122300410112）

劉小宛（1987－），女，河南洛陽人，碩士生；梁 斌（1963－），男，河南洛陽人，教授，博士，碩士生導師，主要從事工程結構非線性分析與優(yōu)化設計.

2013－10－21