圓度誤差的二分法逼近搜索評(píng)定

李 飛，雷賢卿，崔靜偉，王海洋

（河南科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，河南 洛陽(yáng) 471003）

圓度誤差的二分法逼近搜索評(píng)定

李 飛，雷賢卿，崔靜偉，王海洋

（河南科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，河南 洛陽(yáng) 471003）

結(jié)合圓度誤差的定義及其幾何特征，提出了一種新的圓度誤差評(píng)定算法——圓度誤差的二分法逼近搜索評(píng)定。首先，將被測(cè)圓輪廓上測(cè)量點(diǎn)的直角坐標(biāo)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)數(shù)據(jù)，分別以極角和極徑為橫、縱坐標(biāo)軸建立新的坐標(biāo)系，實(shí)現(xiàn)被測(cè)點(diǎn)的線性化處理，將圓度誤差的求解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線度誤差的求解問(wèn)題。然后，用二分法逼近搜索的方法，對(duì)轉(zhuǎn)化后的直線度誤差進(jìn)行最小區(qū)域評(píng)定，從而實(shí)現(xiàn)了圓度誤差的最小區(qū)域評(píng)定。闡述了圓度誤差線性化處理的方法和二分法逼近搜索的原理及實(shí)現(xiàn)過(guò)程。實(shí)例驗(yàn)證結(jié)果表明：該算法可以有效、正確地評(píng)定圓度誤差。

誤差評(píng)定；圓度誤差；線性化；直線度誤差；二分法逼近搜索

0 引言

圓度誤差是機(jī)械零件最基本的幾何要素之一，它反映的是實(shí)際圓相對(duì)于理想圓的變動(dòng)量。圓度誤差值的大小是以包容實(shí)際輪廓的兩個(gè)同心圓的半徑差來(lái)衡量的。其評(píng)定方法的核心是根據(jù)被測(cè)圓輪廓上的點(diǎn)找出理想的評(píng)定圓心。是否能準(zhǔn)確有效地評(píng)定圓度誤差，直接影響到機(jī)械產(chǎn)品的性能和壽命。國(guó)標(biāo)規(guī)定的評(píng)定方法有最小二乘法、最小區(qū)域法、最大內(nèi)接圓法和最小外接圓法。其中，最小二乘法是最常用的評(píng)定方法，其算法計(jì)算簡(jiǎn)便且有唯一解，但其評(píng)定原理不符合形狀誤差評(píng)定的最小條件準(zhǔn)則［1］。最小區(qū)域法是符合國(guó)標(biāo)準(zhǔn)則的誤差評(píng)定方法，但實(shí)現(xiàn)最小區(qū)域的過(guò)程是解決多極值的非線性最優(yōu)化問(wèn)題，因此不易直接求解。國(guó)內(nèi)外學(xué)者利用多種數(shù)學(xué)方法對(duì)圓度誤差的最小區(qū)域評(píng)定算法進(jìn)行了研究，比較有代表性的算法有：仿增量算法［2］、剛體坐標(biāo)變換算法［3］、搜索算法［1，4－5］、遺傳算法［6－7］、計(jì)算幾何算法［8］、最陡下降算法［9］及線性化算法［10］等；這些成果都有一定的實(shí)用價(jià)值，但這些算法大都比較復(fù)雜，不易被實(shí)際應(yīng)用。

本文結(jié)合圓度誤差的定義、幾何特點(diǎn)，提出了一種新的圓度誤差評(píng)定算法—圓度誤差的二分法逼近搜索評(píng)定，實(shí)現(xiàn)圓度誤差的快速準(zhǔn)確評(píng)定。

1 圓度誤差數(shù)據(jù)的線性化過(guò)程

由于直線度誤差的評(píng)定比圓度誤差的評(píng)定相對(duì)容易，因此，通過(guò)直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換，先將被測(cè)圓輪廓線性化處理，使圓度誤差的評(píng)定問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線度誤差的評(píng)定［10］。

設(shè)在直角坐標(biāo)系XOY中，被測(cè)圓輪廓上的測(cè)量點(diǎn)為Pi（xi，yi）（i＝1，2， ，N，N≥4）。在提取點(diǎn)中選取大致均勻分布的3個(gè)測(cè)量點(diǎn)，由此3點(diǎn)擬合圓心坐標(biāo)O′（x0′，y0′），或者按式（1）確定圓心坐標(biāo)O′（x0′，y0′），以O(shè)′（x0′，y0′）為坐標(biāo)原點(diǎn)建立新的直角坐標(biāo)系X′O′Y′（見圖1）。

圖1 新建直角坐標(biāo)系X′O′Y′

在新的直角坐標(biāo)系X′O′Y′中，測(cè)量點(diǎn)Pi（x′i，y′i）的值由式（2）給出：

以新直角坐標(biāo)系的O′X′軸作為極坐標(biāo)變換的起始直線，逆時(shí)針?lè)较蛉y(cè)量點(diǎn)的極角，將直角坐標(biāo)系X′O′Y′中的測(cè)量點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)形式（見圖2）。則各測(cè)量點(diǎn)Pi（θi，ρi）的極坐標(biāo)由式（3）計(jì)算出：

以極角θ為橫坐標(biāo)，以極徑 ρ為縱坐標(biāo)，建立新的直角坐標(biāo)系θiO″ρi（見圖3），即沿圓心O′將被測(cè)圓周展開成一條直線，則被測(cè)圓輪廓上的測(cè)量點(diǎn)就轉(zhuǎn)化為“直線”上的測(cè)量點(diǎn)。（為了盡量的減小誤差，必須保證圓心O′與原點(diǎn)O″在同一位置。）這樣就把圓度誤差的評(píng)定問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線度誤差的評(píng)定問(wèn)題，轉(zhuǎn)化后“直線”的直線度誤差就是被測(cè)實(shí)際圓的圓度誤差。

圖2 直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)

2 二分法逼近搜索評(píng)定過(guò)程

直線度誤差的二分法逼近搜索評(píng)定算法的原理是：首先，確定假設(shè)的直線兩端點(diǎn)坐標(biāo)，以直線的兩個(gè)端點(diǎn)為參考點(diǎn)，在與縱坐標(biāo)平行的方向上按一定長(zhǎng)度值（如估計(jì)的直線度誤差值）分別布置區(qū)域并構(gòu)造輔助點(diǎn)，連接所構(gòu)造的輔助點(diǎn)可得到4條線段，即假設(shè)的理想中心線。計(jì)算測(cè)量點(diǎn)到這4條線段的距離，可得4個(gè)距離的極差值（測(cè)量點(diǎn)與每條線段的距離的最大值和最小值之差），其中，最小者用F1表示。同樣地，計(jì)算測(cè)量點(diǎn)到初始直線距離的極差值，用△D表示。然后比較F1與△D的大小。如果F1＜△D，那么起始參考點(diǎn)就變?yōu)榕cF1相對(duì)應(yīng)的假設(shè)理想中心線的端點(diǎn)，構(gòu)造新的輔助點(diǎn)；如果F1≥△D，則參考點(diǎn)不變，將誤差區(qū)域縮小一倍，構(gòu)造新的輔助點(diǎn)。如此不斷重復(fù)，直到滿足直線度誤差評(píng)定要求。

圖3 線性化后的“直線”

2.1 構(gòu)造最小區(qū)域的假設(shè)理想中心線

設(shè)轉(zhuǎn)化后“直線”的兩端點(diǎn)分別為P1（θ1，ρ1）和PN（θN，ρN）。

首先，將端點(diǎn) P1設(shè)為參考點(diǎn)（如圖4所示），創(chuàng)建兩個(gè)輔助點(diǎn) P11（θ11，ρ11）和 P12（θ12，ρ12），且（為了使理想中心線包容在其范圍內(nèi)，e的值至少為直線度誤差值的兩倍）。此時(shí)，兩個(gè)輔助點(diǎn)P11（θ11，ρ11）、P12（θ12，ρ12）的坐標(biāo)由式（4）給出。

同樣地，設(shè)端點(diǎn)PN（θN，ρN）為參考點(diǎn)（如圖4所示），創(chuàng)建兩個(gè)的輔助點(diǎn)PN1（θN1，ρN1）和此時(shí)，兩個(gè)輔助點(diǎn)PN1（θN1，ρN1）、PN2（θN2，ρN2）的坐標(biāo)由式（5）給出。

圖4 二分法逼近搜索的算法原理圖

將上述創(chuàng)建的4個(gè)輔助點(diǎn)兩兩相連，可得到4條假設(shè)理想中心線（P11PN1，P11PN2，P12PN1和P12PN2）。若設(shè)假設(shè)理想中心線的方程為y＝kx＋b，其斜率k和截距b的表達(dá)式為：

同樣地，“直線”的最初兩端點(diǎn)P1（θ1，ρ1）和PN（θN，ρN）之間的線段也可看作是假設(shè)的理想中心線，其斜率K和截距B的表達(dá)式為：

2.2 計(jì)算所有測(cè)量點(diǎn)與4條假設(shè)理想中心線之間距離的極差值

利用式（8）計(jì)算所有測(cè)量點(diǎn)Pi（θi，ρi）與4條假設(shè)理想中心線之間的距離，并計(jì)算出所有測(cè)量點(diǎn)與每一條假設(shè)理想中心線之間距離的極差值（距離的最大值與最小值之差）。由于有4條假設(shè)的理想中心線，那么就可以得到4個(gè)距離的極差值。由平面直線度的定義可知：4個(gè)極差值中的最小者就是直線度誤差，用F1來(lái)表示。

2.3 計(jì)算所有測(cè)量點(diǎn)與兩個(gè)參考點(diǎn)所構(gòu)成的直線之間距離的極差值

根據(jù)式（10）算出所有測(cè)量點(diǎn)Pi（θi，ρi）與P1PN的距離，其距離的極差值用△D表示（△D＝Dmax－Dmin）。

2.4 二分法逼近搜索方法

比較F1和△D。如果F1＜△D，說(shuō)明極差F1所對(duì)應(yīng)的假定理想中心線更接近于理想中心線，那么起始參考點(diǎn)就變?yōu)榕cF1相對(duì)應(yīng)的中心線的端點(diǎn)，例如，與F1相對(duì)應(yīng)的假設(shè)理想中心線為P11PN2，則參考點(diǎn)就變?yōu)樵摼€段的兩個(gè)端點(diǎn)P11（θ11，ρ11）和PN2（θN2，ρN2），創(chuàng)建新的輔助點(diǎn)，重復(fù)2.1～2.4。如果F1≥△D，說(shuō)明極差△D所對(duì)應(yīng)的中心線更接近于理想中心線，那么參考點(diǎn)不變，將誤差區(qū)域縮小1倍（亦即e＝0.5e），構(gòu)造新的輔助點(diǎn)，重復(fù)2.1～2.4。

當(dāng)e的值小于定值δ（一般地，δ＝0.000 1 mm），可以認(rèn)為搜索到的假定理想中心線已經(jīng)非常接近理想中心線，停止搜索。此時(shí)，F(xiàn)1和△D中的較小者就是平面直線度誤差，較小者用F表示，則

由上述步驟可知：得到的F是包含所有測(cè)量點(diǎn)Pi（θi，ρi）的兩條平行直線之間的距離，逆向操作，此平行直線則轉(zhuǎn)變?yōu)榘霃讲煌膬蓚€(gè)同心圓（半徑差為F），由圓度誤差的定義可知：F即為圓度誤差值。

2.5 求取圓心坐標(biāo)

結(jié)合2.4，在與F對(duì)應(yīng)的中心線上均勻的提取3個(gè)點(diǎn)M1（θl，ρl）、M2（θm，ρm）和M3（θn，ρn），該中心線可看作是一個(gè)圓的展開線，那么提取的3個(gè)點(diǎn)就是某個(gè)圓上均布的3個(gè)點(diǎn)。利用式（12）將其坐標(biāo)值轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)。

設(shè)該圓的圓心和半徑分別為O0（a，b）和R，依據(jù)3點(diǎn)確定一個(gè)圓的原理，圓心O0（a，b）的坐標(biāo)由式（13）得出：

其中，

式（13）得到的a、b的值在直角坐標(biāo)系X′O′Y′下的圓心坐標(biāo)，依據(jù)坐標(biāo)平移原理，則在直角坐標(biāo)系XOY內(nèi)的圓心O0（X0，Y0）坐標(biāo)為：

3 實(shí)例驗(yàn)證

文獻(xiàn)［1］和文獻(xiàn)［10］對(duì)同一組數(shù)據(jù)采用不同的評(píng)定算法得出了與三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)相一致的結(jié)果，驗(yàn)證了所提評(píng)定算法的正確性。本文實(shí)例采用文獻(xiàn)［1］的數(shù)據(jù)，初始參考點(diǎn)選取坐標(biāo)變換后第一個(gè)測(cè)量點(diǎn)和最后一個(gè)測(cè)量點(diǎn)，終止搜索條件為 δ＝0.000 1 mm，所得結(jié)果見表1。

由表1可以看出：本文所提算法計(jì)算得到的圓度誤差與文獻(xiàn)［1］和文獻(xiàn)［10］中求得的圓度誤差相一致，根據(jù)微誤差取舍準(zhǔn)則，結(jié)果是可以信賴的，說(shuō)明該評(píng)定算法可以實(shí)現(xiàn)圓度誤差的評(píng)定。

表1 數(shù)據(jù)處理結(jié)果

4 結(jié)論

本文介紹了圓度誤差的二分法逼近搜索評(píng)定算法的原理及運(yùn)用該算法實(shí)現(xiàn)圓度誤差評(píng)定的過(guò)程。本文提出的算法，原理簡(jiǎn)單，直觀，便于編程，具有通用性和較好的實(shí)用性，對(duì)測(cè)樣點(diǎn)的分布沒(méi)有要求。實(shí)例驗(yàn)證了算法的正確性，為圓度誤差的有效評(píng)定提供了一套新的評(píng)定算法。

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TH164；TH161

A

1672－6871（2014）02－0020－04

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（50875076）；河南省基礎(chǔ)與前沿技術(shù)研究計(jì)劃基金項(xiàng)目（122300410114）

李 飛（1987－），男，河南洛陽(yáng)人，碩士生；雷賢卿（1963－），男，河南洛寧人，教授，博士，碩士生導(dǎo)師，主要從事精密測(cè)試技術(shù)研究.

2012－10－09