基于代表性滑動面的邊坡系統(tǒng)可靠度分析

褚雪松,王旭春,張勇強(qiáng),李 亮

(1.青島理工大學(xué)土木工程學(xué)院,山東青島 266033;2.北京市市政工程設(shè)計(jì)研究總院,北京 100082)

基于代表性滑動面的邊坡系統(tǒng)可靠度分析

褚雪松1,王旭春1,張勇強(qiáng)2,李 亮1

(1.青島理工大學(xué)土木工程學(xué)院,山東青島 266033;2.北京市市政工程設(shè)計(jì)研究總院,北京 100082)

邊坡可能沿很多個(gè)滑動面發(fā)生滑動,因此邊坡穩(wěn)定可靠度分析實(shí)質(zhì)上是一個(gè)系統(tǒng)可靠度問題。在分析滑動面安全系數(shù)相關(guān)性的基礎(chǔ)上,提出了代表性滑動面篩選的策略,利用蒙特卡羅法產(chǎn)生樣本值對每個(gè)樣本值,僅計(jì)算代表性滑動面而非所有可行滑動面的安全系數(shù),選擇最小的安全系數(shù)作為此樣本值的抽樣結(jié)果,提出了基于代表性滑動面的邊坡系統(tǒng)可靠度分析方法。通過2個(gè)算例分析,研究了滑動面篩選時(shí)相關(guān)系數(shù)閾值ρ0對計(jì)算結(jié)果的影響,通過與常規(guī)蒙特卡羅法及已有結(jié)果的比較,證明了本文方法的有效性及高效性。

土坡穩(wěn)定;代表性滑動面;系統(tǒng)可靠度分析;極限平衡法;破壞概率;蒙特卡羅法

邊坡可靠度分析是巖土工程中十分重要的課題之一,被越來越多的人所關(guān)注,因?yàn)榭煽慷确治鲎鳛閭鹘y(tǒng)定值分析方法的有益補(bǔ)充[1-3],能夠考慮土性參數(shù)的不確定性對計(jì)算結(jié)果的影響,得到安全系數(shù)的均值與方差,為更好地評估邊坡的穩(wěn)定性提供支持。國內(nèi)外學(xué)者在邊坡可靠度分析方面開展了許多卓有成效的工作,如黃超,謝桂華,彭振斌等[4-6]在極限平衡方法的框架內(nèi)提出了邊坡可靠度分析的適用方法,另外,還有學(xué)者基于有限元強(qiáng)度折減理論,結(jié)合點(diǎn)估計(jì)法[7-9],響應(yīng)面方法[10-12]進(jìn)行了邊坡可靠度穩(wěn)定分析,并在實(shí)際應(yīng)用中探討了方法的適用性;唐小松等[13]提出了基于認(rèn)知聚類分區(qū)方法的邊坡可靠度分析策略,并獲得了與傳統(tǒng)的蒙特卡羅方法相一致的結(jié)果。然而上述研究往往局限在給定滑動面上的可靠度分析,這與邊坡系統(tǒng)可靠度分析有較大差別。采用有限元強(qiáng)度折減方法的邊坡可靠度分析,雖然能考慮邊坡系統(tǒng)的可靠度,但該方法計(jì)算量較大,在一定程度上限制了其應(yīng)用。

對于邊坡系統(tǒng)可靠度分析的研究,Chowdhury等[14]于1995年指出,邊坡有可能沿著任意一個(gè)滑動面破壞,因此邊坡可靠度分析是一個(gè)系統(tǒng)可靠度問題[15]。Low等[16]針對擋土墻的傾覆、滑動等不同模式,求解了系統(tǒng)可靠度指標(biāo)的上、下限,取得了較好效果,但是對于一般的邊坡,如何界定幾個(gè)不同的模式來計(jì)算系統(tǒng)可靠度指標(biāo)的上、下限卻沒有研究;Zhang等[17]提出基于代表性滑動面的系統(tǒng)可靠度分析方法,然而文獻(xiàn)[17]采用響應(yīng)面方法近似模擬安全系數(shù)與土體材料變量之間的關(guān)系,響應(yīng)面的構(gòu)造是一個(gè)比較復(fù)雜的過程,而且該響應(yīng)面的精度直接決定了可靠度分析結(jié)果的精度,因此,本文擬在已有成果的基礎(chǔ)上,采用極限平衡方法計(jì)算滑動面的安全系數(shù),提出代表性滑動面的篩選策略以及基于代表性滑動面的邊坡系統(tǒng)可靠度分析方法,通過與已有結(jié)果的比較,證明了該方法的有效性。本文先簡要敘述邊坡系統(tǒng)可靠度問題的概念,接著提出改進(jìn)的代表性滑動面篩選策略,最后是方法的應(yīng)用與算例分析。

1 邊坡系統(tǒng)可靠度分析

如上所述,邊坡系統(tǒng)包含無窮多個(gè)可能的滑動面,如S1,S2,…,Si,…,Sn等,其中Si代表第i個(gè)滑動面,如果假設(shè)該系統(tǒng)是串聯(lián)系統(tǒng)的,則邊坡系統(tǒng)的破壞概率可以表示為

其中,Pf為邊坡系統(tǒng)的破壞概率;E(Si)為邊坡沿滑動面Si破壞的事件;P(·)為事件的概率。在實(shí)際應(yīng)用過程中,n一般取一較大值(如文獻(xiàn)[17]中取n=6 830次),具體取多大還應(yīng)根據(jù)具體問題進(jìn)行參數(shù)敏感性分析得到。對于n個(gè)滑動面的邊坡系統(tǒng)可靠度問題,本文采用蒙特卡羅法來模擬邊坡系統(tǒng)的破壞概率。該法具有應(yīng)用范圍廣,不受問題約束等優(yōu)點(diǎn)。首先簡要介紹一下,基于蒙特卡羅法的邊坡系統(tǒng)可靠度分析過程。

圖1給出了基于蒙特卡羅法的邊坡系統(tǒng)可靠度分析流程,在給定的參數(shù)抽樣值下,對于圓弧滑動面采用簡化Bishop法計(jì)算其相應(yīng)的安全系數(shù),對于非圓弧滑動面,采用Morgenstern-Price法計(jì)算其相應(yīng)的安全系數(shù),這樣就省去了構(gòu)造文獻(xiàn)[17]中的響應(yīng)面這一步驟。對于具體的邊坡可靠度問題,蒙特卡羅法抽樣次數(shù)會有不同,一般而言,抽樣次數(shù)和計(jì)算得到的邊坡破壞概率Pf之間具有如下關(guān)系[18]:

式中,T為蒙特卡羅法中總的抽樣次數(shù);CPf為破壞概率的變異系數(shù),即等于破壞概率的標(biāo)準(zhǔn)差除以破壞概率的均值,如果要得到變異系數(shù)約為0.1的Pf,則有

圖1 邊坡系統(tǒng)破壞概率求解的蒙特卡羅法流程Fig.1 Flowchartof Monte Carlomethod based failure probability of slope system

因此,如果邊坡系統(tǒng)的破壞概率為0.001,則需要的抽樣次數(shù)大約為105。蒙特卡羅法的一個(gè)顯著的缺點(diǎn)就是計(jì)算耗時(shí)較大,尤其是對于小概率問題。這也正是本文采用代表性滑動面來模擬系統(tǒng)可靠度的初衷之一。

2 改進(jìn)的邊坡系統(tǒng)可靠度分析方法

2.1 滑動面之間的相關(guān)性

不同滑動面可能會經(jīng)過相同的土層,因此上述n個(gè)滑動面的安全系數(shù)之間存在一定的相關(guān)性。下面以一個(gè)簡單的例子來說明滑動面的安全系數(shù)之間存在相關(guān)性,從而奠定基于代表性滑動面的邊坡系統(tǒng)可靠度分析理論基礎(chǔ)。圖2為一均質(zhì)邊坡,坡高10 m,坡比1∶1,容重γ=18.0 kN/m3,φ=30.0°作為確定變量,僅考慮黏聚力c為正態(tài)隨機(jī)變量,黏聚力均值μc=18.0 kPa,標(biāo)準(zhǔn)差σc=3.6 kPa,給出3個(gè)不同的圓弧滑動面S1,S2,S3如圖2所示。

圖2 均質(zhì)邊坡隨機(jī)生成3個(gè)滑動面示意Fig.2 Illustration of three slip surfaces for homogeneous slope

假設(shè)T=1 000,利用圖1介紹的隨機(jī)數(shù)生成方法,生成1 000個(gè)符合正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)ci,i=1,2,…,1 000,分別將γ,ci,φ作為圖2所示均質(zhì)邊坡的土層參數(shù)值,計(jì)算圖2中3個(gè)滑動面S1,S2,S3所對應(yīng)的安全系數(shù),分別記為FSi,1,FSi,2,FSi,3,i=1,2,…, 1 000。以FSi,1為縱坐標(biāo),分別以FSi,2,FSi,3為橫坐標(biāo),繪制散點(diǎn)圖如圖3所示。由圖3可知,S1與S2,S1與S3滑動面的安全系數(shù)之間存在函數(shù)關(guān)系,擬合的函數(shù)公式分別為FSi,1=0.879FSi,2-0.020 7和FSi,1=0.921 9FSi,3-0.403 9。由此可見,在計(jì)算邊坡系統(tǒng)破壞概率時(shí),對于每次抽樣,因?yàn)橐业阶钚〉陌踩禂?shù),所以可以只計(jì)算S1的安全系數(shù),而不計(jì)算S2與S3的安全系數(shù),原因在于FSi,1＜FSi,2,FSi,1＜FSi,3。這樣就可以節(jié)省計(jì)算時(shí)間,這就是基于代表性滑動面邊坡系統(tǒng)可靠度分析的基礎(chǔ)。即S1可以作為S1,S2,S3中的一個(gè)代表性滑動面。

圖3 S1與S2,S3的安全系數(shù)關(guān)系Fig.3 Relationships between factors of safety of S1and S2,S3respectively

文獻(xiàn)[17]從另外的角度驗(yàn)證了基于代表性滑動面進(jìn)行邊坡系統(tǒng)可靠度分析的可行性,并提出了篩選代表性滑動面的步驟,本文提出了代表性滑動面篩選的新方法,在此基礎(chǔ)上進(jìn)行邊坡系統(tǒng)可靠度分析,并與文獻(xiàn)[17]結(jié)果進(jìn)行了對比。

2.2 代表性滑動面篩選

對于隨機(jī)產(chǎn)生的n個(gè)滑動面,S1,S2,…,Sn,若要選擇代表性滑動面,首先要進(jìn)行滑動面分組,每組滑動面中兩兩之間的安全系數(shù)是相關(guān)的,此處“相關(guān)”的含義,嚴(yán)格上來說,即為圖3所示的函數(shù)關(guān)系或者說相關(guān)系數(shù)ρ等于1,然而在實(shí)際應(yīng)用過程中,利用ρ=1來定義相關(guān)的話,代表性滑動面的個(gè)數(shù)比較多,設(shè)ρ0為一閾值,兩個(gè)滑動面安全系數(shù)之間的相關(guān)系數(shù)大于ρ0,即意味著這兩個(gè)滑動面屬于一組。圖4給出了本文提出的代表性滑動面篩選的流程。

圖4 代表性滑動面篩選的流程Fig.4 Flowchart of identification of representative slip surfaces

顯然,ρ0取值越大,滑動面組數(shù)J越大,反之亦然。理論而言,ρ0=1是最嚴(yán)格的。在每組滑動面中可采用可靠度指標(biāo)來篩選代表性滑動面?；瑒用娴目煽慷戎笜?biāo)采用改進(jìn)的均值一次二階矩法[19]計(jì)算:

其中,βek為滑動面Sk的可靠度指標(biāo);m為考慮的隨機(jī)變量的個(gè)數(shù);X=(x1,x2,…,xm),xi為第i個(gè)隨機(jī)變量;σxi為xi的標(biāo)準(zhǔn)差;μX=(μx1,μx2,…,μxm);μxi為xi的均值;FSk(μX)為滑動面Sk相應(yīng)于μX的安全系數(shù);χij為隨機(jī)變量xi與xj之間的相關(guān)系數(shù)?；瑒用娴陌踩禂?shù)之間的相關(guān)系數(shù),采用下式[14]計(jì)算:

式中,ρkl為滑動面Sk,Sl安全系數(shù)之間的相關(guān)系數(shù),其他參數(shù)含義同上。

2.3 詳細(xì)步驟

在代表性滑動面R1,R2,…,RJ確定以后,利用蒙特卡羅法進(jìn)行邊坡系統(tǒng)可靠度分析的流程基本與圖1類似,惟一的區(qū)別在于圖1中虛線所示的步驟,將代表性滑動面R1,R2,…,RJ代替S1,S2,…,Sn,則圖1即變?yōu)榛诖硇曰瑒用娴倪吰孪到y(tǒng)可靠度分析流程,在此不再贅述。

3 算例分析

3.1 算例1

考慮文獻(xiàn)[17]中的一均質(zhì)土坡,坡高5 m,坡比1∶1,其剖面如圖5所示,容重γ=19.0 kN/m3,黏聚力c和內(nèi)摩擦角φ視為獨(dú)立正態(tài)分布隨機(jī)變量,c的均值μc=10.0 kPa,標(biāo)準(zhǔn)差σc=2.0 kPa,φ的均值μφ=20°,標(biāo)準(zhǔn)差σφ=2°。根據(jù)文獻(xiàn)[17]結(jié)果,結(jié)合式(3),確定蒙特卡羅法抽樣次數(shù)T=5 000,隨機(jī)產(chǎn)生n=10 000個(gè)圓弧滑動面,首先選取不同的ρ0,利用本文所提的代表性滑動面篩選策略,進(jìn)行了代表性滑動面篩選,以代表性滑動面?zhèn)€數(shù)為縱坐標(biāo),以ρ0為橫坐標(biāo),繪制變化曲線如圖6(a)所示。

由圖6(a)可見,當(dāng)ρ0取值小于或等于0.5時(shí),代表性滑動面的個(gè)數(shù)均為1,這說明任意2個(gè)滑動面之間安全系數(shù)的相關(guān)系數(shù)均大于0.5,隨著ρ0逐漸增大直至0.9,代表性滑動面?zhèn)€數(shù)維持在3個(gè),當(dāng)ρ0= 0.99時(shí),代表性滑動面?zhèn)€數(shù)增至11個(gè)。這說明,相關(guān)系數(shù)介于0.90～0.99的滑動面?zhèn)€數(shù)較多。圖7(a)繪出了不同ρ0得到的邊坡系統(tǒng)破壞概率Pf,由圖7(a)可知,不同的ρ0均得到了相同的Pf,說明對于該均質(zhì)邊坡,只有一個(gè)主要的滑動模式(滑動面),即最小可靠度指標(biāo)或者最大破壞概率對應(yīng)的滑動面,也稱之為臨界可靠度滑動面。雖然ρ0=0.99時(shí)得到了11個(gè)代表性的滑動面,但是其中的10個(gè)滑動面對邊坡的破壞沒有貢獻(xiàn),因此對于該均質(zhì)邊坡ρ0對計(jì)算結(jié)果沒有影響,當(dāng)ρ0=0時(shí),篩選到的代表性滑動面即為臨界可靠度滑動面。圖5中繪出了臨界可靠度滑動面位置,傳統(tǒng)方法搜索出的最小安全系數(shù)滑動面與圖5中臨界可靠度滑動面位置重合。

圖5 算例1邊坡剖面及臨界可靠度滑動面示意Fig.5 Cross-section and critical probabilistic slip surface of homogeneous slope in case 1

圖6 代表性滑動面?zhèn)€數(shù)隨ρ0變化Fig.6 Variation of number of representative slip surfaces with different values ofρ0

文獻(xiàn)[17]給出Pf=2.8%,本文所得的破壞概率為2.94%。產(chǎn)生不同的原因主要在于,前者是基于擬合的響應(yīng)面來計(jì)算抽樣值對應(yīng)的安全系數(shù),而后者是基于簡化Bishop法計(jì)算對應(yīng)的安全系數(shù)。利用圖1所示的常規(guī)蒙特卡羅法,采用與基于代表性滑動面策略相同的抽樣次數(shù)T=5 000進(jìn)行計(jì)算,所得到的破壞概率為3.04%,兩種方法的誤差為3.3%。

圖7 邊坡破壞概率隨ρ0變化Fig.7 Variation of failure probability with different values ofρ0

表1比較了常規(guī)蒙特卡羅法與本文基于代表性滑動面邊坡系統(tǒng)可靠度分析所需的時(shí)間。(所有的計(jì)算均在同一臺式機(jī)單獨(dú)進(jìn)行,配置:3.25 G內(nèi)存,英特爾酷睿2四核處理器(2.40 GHz))。由表1可見,本文提出的基于代表性滑動面的邊坡系統(tǒng)可靠度分析方法的耗時(shí)大都在1～2 min,而MCS的耗時(shí)高達(dá)48 837 s,接近14 h。表1還給出了不同情況下安全系數(shù)的計(jì)算次數(shù)對比,常規(guī)蒙特卡羅法需要5 000萬次計(jì)算次數(shù),而基于代表性滑動面的方法僅需要5～10萬次。證明了本文方法的高效性。

表1 不同方法的耗時(shí)比較Table 1 Com parison of com putational effort from d ifferentmethods

3.2 算例2

考慮文獻(xiàn)[17]中一填土邊坡(圖8),填土的容重=18 kN/m3,黏土的容重=20 kN/m3,這2個(gè)值作為確定性變量。上層填土的黏聚力c和φ以及下層黏土的不排水強(qiáng)度Su視為正態(tài)分布隨機(jī)變量,c的均值μc=10 kPa,φ的均值μφ=12°,Su的均值μSu= 40 kPa,c的標(biāo)準(zhǔn)差σc=2 kPa,φ的標(biāo)準(zhǔn)差σφ=3°,Su的標(biāo)準(zhǔn)差σSu=8 kPa。確定蒙特卡羅法的抽樣次數(shù)T=1 000次。

圖8 填土邊坡示意Fig.8 Cross-section of fill embankment slope

同樣地,首先選取不同的ρ0,利用本文所提的代表性滑動面篩選策略,進(jìn)行了代表性滑動面篩選,以代表性滑動面?zhèn)€數(shù)為縱坐標(biāo),以ρ0為橫坐標(biāo),繪制變化曲線如圖6(b)所示。ρ0=0時(shí),只有一個(gè)代表性滑動面,如前所述可知,此代表性滑動面即為臨界可靠度滑動面。當(dāng)ρ0=0.1時(shí),代表性滑動面?zhèn)€數(shù)增至3個(gè),這表明存在著相關(guān)系數(shù)介于0～0.1之間的滑動面。當(dāng)ρ0增大至0.7以前,代表性滑動面的個(gè)數(shù)一直保持為3個(gè),當(dāng)ρ0=0.7,0.8,0.9時(shí),代表性滑動面?zhèn)€數(shù)分別增至4,5,9個(gè),當(dāng)ρ0=0.99時(shí),代表性滑動面?zhèn)€數(shù)增至49個(gè)。圖7(b)給出了Pf隨ρ0變化的曲線。當(dāng)ρ0=0時(shí),只能得到臨界可靠度滑動面作為代表性滑動面,此時(shí)所得Pf=0.138,當(dāng)ρ0≥0.1時(shí),得到了一致的破壞概率,即Pf=0.257,這說明此邊坡除臨界可靠度滑動面以外,還有其他滑動面對其破壞有貢獻(xiàn)。圖9給出了ρ0=0.1時(shí),篩選到的3個(gè)代表性滑動面R1,R2,R3。在計(jì)算過程中,統(tǒng)計(jì)了3個(gè)代表性滑動面破壞的次數(shù),R1為138次,R2為149次,R3為3次。邊坡系統(tǒng)總的破壞次數(shù)為257次,為了更清楚地了解3個(gè)代表性滑動面的貢獻(xiàn),當(dāng)R2不破壞時(shí), R1破壞的次數(shù)為108次,兩者之和正好等于257次,因此R1和R2控制著邊坡系統(tǒng)的破壞。R3對邊坡的破壞沒有貢獻(xiàn)。本例中,臨界可靠度滑動面(概率最大的滑動面)為R2,傳統(tǒng)方法搜索出的最小安全系數(shù)滑動面也為R2,二者是重合的,但是若僅僅在最小安全系數(shù)滑動面上進(jìn)行可靠度分析,所得破壞概率將會遠(yuǎn)小于系統(tǒng)可靠度的破壞概率,因?yàn)楹雎粤肆硗庖粋€(gè)代表性滑動面R1的貢獻(xiàn)。關(guān)于概率最大滑動面與最

小安全系數(shù)滑動面的對比,可參見文獻(xiàn)[20]。

圖9 代表性滑動面位置示意Fig.9 Locations of representative slip surfaces

采用與基于代表性滑動面策略相同的抽樣次數(shù)T=1 000進(jìn)行計(jì)算,表2比較了常規(guī)蒙特卡羅法與本文基于代表性滑動面邊坡系統(tǒng)可靠度分析所需的時(shí)間。由表2可見,本文提出的基于代表性滑動面的邊坡系統(tǒng)可靠度分析方法的耗時(shí)大都在1～2 min,而MCS的耗時(shí)高達(dá)10 727 s,接近3 h。表2還給出了不同情況下安全系數(shù)的計(jì)算次數(shù)對比,常規(guī)蒙特卡羅法需要1 000萬次計(jì)算次數(shù),而基于代表性滑動面的方法僅需要7～12萬次。

表2 不同方法的耗時(shí)比較Table 2 Com parison of com putational effort from d ifferentmethods

4 結(jié) 論

(1)當(dāng)ρ0=0時(shí),邊坡只有一個(gè)代表性滑動面,此滑動面即是邊坡的臨界可靠度滑動面。

(2)當(dāng)ρ0從0逐漸增大時(shí),代表性滑動面的個(gè)數(shù)保持不變或者增大,當(dāng)ρ0接近1.0時(shí),代表性滑動面?zhèn)€數(shù)會增至10個(gè)以上,但部分代表性滑動面對邊坡的破壞沒有貢獻(xiàn)。對于均質(zhì)邊坡,一般是臨界可靠度滑動面控制著邊坡的破壞;對于多層邊坡情況,會有多個(gè)滑動面控制邊坡的破壞;一般來說,可以取ρ0=0.9進(jìn)行計(jì)算。

(3)方法的計(jì)算時(shí)間方面,在相同的參數(shù)下,本文基于代表性滑動面的邊坡系統(tǒng)可靠度方法只需1～2 min,而常規(guī)的蒙特卡羅法卻需幾個(gè)小時(shí)。

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Slope system reliability analysis based on representative slip surfaces

CHU Xue-song1,WANG Xu-chun1,ZHANG Yong-qiang2,LILiang1
(1.School ofCivil Engineering,Qingdao Technological University,Qingdao 266033,China;2.Beijing General Municipal Engineering Design&Research Institute,Beijing 100082,China)

Slope reliability of stability problem is in essence a system problem,where slopemay fail along any individual slip surface.Based on the analysis of the correlation between factors of safety of different slip surfaces,an approach to identify representative slip surfaces was proposed.Sets of random samples were generated by Monte Carlo simulation,and the output corresponding to each set of random samples was selected as theminimum factor of safety among those of representative slip surfaces instead of total potential slip surfaces.The proposed methodology of slope system reliabilitymethod based on representative slip surface was applied to two excerpted examples and the effects of values of threshold correlation coefficientρ0were studied.The effectiveness and efficiency of themethodology were validated against results from differentmethods.

soil slope stability;representative slip surface;system reliability analysis;limit equilibrium method;failure probability;Monte Carlo method

TU457

A

0253-9993(2014)06-1077-07

褚雪松,王旭春,張勇強(qiáng),等.基于代表性滑動面的邊坡系統(tǒng)可靠度分析[J].煤炭學(xué)報(bào),2014,39(6):1077-1083.

10.13225/j.cnki.jccs.2013.0870

Chu Xuesong,Wang Xuchun,Zhang Yongqiang,et al.Slope system reliability analysis based on representative slip surfaces[J].Journal of China Coal Society,2014,39(6):1077-1083.doi:10.13225/j.cnki.jccs.2013.0870

2013-06-20 責(zé)任編輯:常 琛

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51274126);大連理工大學(xué)海岸與近海工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放基金資助項(xiàng)目(LP12014);2013年國家安全生產(chǎn)重大事故防治關(guān)鍵技術(shù)科技項(xiàng)目(2013-SD-39)

褚雪松(1977—),女,遼寧鐵嶺人,博士研究生。Tel:0532-85071207,E-mail:celldl@126.com。通訊作者:李 亮(1977—),男,山東濟(jì)南人,副教授。Tel:0532-85071207,E-mail:ll_sdjydszylm@163.com