兩點(diǎn)法誤差分離技術(shù)的分離精度分析

母德強(qiáng)，謝新旺，崔博，陳懿

(長春工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，吉林長春 130012)

近年來，隨著高精度機(jī)械加工技術(shù)的不斷發(fā)展，對零件形位誤差要求也在不斷地提高。為了保證被加工工件的形位精度要求，在線測量是首選的檢測方法。而由于加工系統(tǒng)中存在著許多不可預(yù)測的影響因素，使得工件形位誤差的在線測量變得十分困難，誤差分離技術(shù) (Error Separation Technique，EST)的出現(xiàn)為形位誤差的在線測量提供了可能［1］。

誤差分離技術(shù) (EST-Error Separation Techniques)于20世紀(jì)五六十年代發(fā)展起來，歷經(jīng)國內(nèi)外三十余年的研究，現(xiàn)在已經(jīng)有了很強(qiáng)大的理論基礎(chǔ)和很豐富的內(nèi)容。通過一些學(xué)者的不斷努力，誤差分離技術(shù)現(xiàn)在有很廣泛的發(fā)展。比如:根據(jù)是否使用傅里葉變換可以把誤差分離技術(shù)分為頻域法誤差分離技術(shù)和時域法誤差分離技術(shù);根據(jù)使用傳感器個數(shù)可以分為反向法誤差分離技術(shù)、兩點(diǎn)法誤差分離技術(shù)、三點(diǎn)法誤差分離技術(shù)、四點(diǎn)法誤差分離技術(shù)等［2］;根據(jù)檢測形狀的不同又分為圓度誤差分離技術(shù)、直線形狀誤差分離技術(shù)等。

在眾多的誤差分離技術(shù)中，頻域兩點(diǎn)法誤差分離技術(shù)用于在線檢測時僅使用兩個傳感器，因方便安裝而倍受青睞。不過其缺陷是:該方法無法完全分離零件的偏心誤差，分離結(jié)果含有誤差。此外兩點(diǎn)法誤差分離技術(shù)的分離結(jié)果的誤差規(guī)律還沒有一個明確的規(guī)則。因此對兩點(diǎn)法誤差分離技術(shù)尚無一個客觀的分析。作者正是基于此而進(jìn)行探索，旨在從理論分析與實(shí)踐上進(jìn)一步探索兩點(diǎn)法誤差分離技術(shù)原理誤差的影響因素及影響規(guī)律，力求提高兩點(diǎn)法誤差分離技術(shù)在線測量的精度問題。

1 兩點(diǎn)法誤差分離技術(shù)的測量原理

兩點(diǎn)法誤差分離技術(shù)由三點(diǎn)法誤差分離技術(shù)發(fā)展而來的。因?yàn)閮牲c(diǎn)法誤差分離技術(shù)用到了傅里葉變換，因此兩點(diǎn)法誤差分離技術(shù)又稱為頻域兩點(diǎn)法誤差分離技術(shù)。頻域三點(diǎn)法誤差分離技術(shù)的原理圖如圖1所示。

圖1 頻域三點(diǎn)法誤差分離技術(shù)的原理圖

圖中，O為傳感器A、B和C所在位置處的位移敏感中心線的交點(diǎn)，也為該轉(zhuǎn)軸的實(shí)際回轉(zhuǎn)中心。但是該截面的最小二乘圓心為O0，與實(shí)際回轉(zhuǎn)中心O的偏心距為e。以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，x軸的正方向?yàn)閺幕剞D(zhuǎn)中心O指向傳感器A，并通過其中心線;y軸的正方向?yàn)閺幕剞D(zhuǎn)中心O指向傳感器B并通過其中心線，垂直于x軸。

設(shè)h(θ)為工件的圓度誤差，δx(θ)、δy(θ)為主軸回轉(zhuǎn)運(yùn)動誤差在x、y上的分量;傳感器之間的夾角如圖1所示［3］。所以，3個傳感器的輸出為

為了消除各傳感器輸出中的回轉(zhuǎn)誤差分量，對等式 (1)— (3)乘以不同的等權(quán)常系數(shù)1、a、b然后相加，得到的方程為

為了能更好地使用傅里葉變換，在進(jìn)行測量時等間隔地在被測件每一周上采集的點(diǎn)數(shù)N=2n。并有

式中:m、p都為正整數(shù)，那么等式 (4)的離散形式可以寫為

取m=N/4，p=m-1，γ=Δθ。則N越大，α+β→180°，a越趨近于0。當(dāng)N大于某一數(shù)值之后，可認(rèn)為a=0。此時傳感器B就可以忽略，三點(diǎn)法誤差分離技術(shù)就轉(zhuǎn)化成了兩點(diǎn)法誤差分離技術(shù)。

因此等式 (5)可以化為

因?yàn)閟A(n)、sC(n)都為所測得的已知量，因此，等式 (5)作離散傅里葉變換，根據(jù)傅里葉變換的時延相移特性可得

在等 式 (7) 中:S(k)=DFT［s(n)］;H(k)=DFT［h(n)］;G(k)=1+bej2π(m+p)k/N。

由h(n)=DFT－1［H(k)］=DFT－1［S(k)/G(k)］，就可求出被測工件的圓度誤差h(θ)的離散形式h(n)。

2 影響兩點(diǎn)法誤差分離技術(shù)的因素

通過兩點(diǎn)法誤差分離技術(shù)的原理可知，該誤差分離技術(shù)存在原理誤差。影響頻域法誤差分離技術(shù)精度的主要因素有:采樣誤差，即采樣點(diǎn)數(shù)的影響;諧波抑制;傳感器的安裝角度誤差和一些隨機(jī)的干擾噪聲等［5］。

因?yàn)殡S機(jī)的噪聲等干擾因素?zé)o法預(yù)測，也不可能消除，只能通過求多組的平均值來盡可能地減小，因此文中只討論其余幾種因素的影響。

2.1 諧波抑制對兩點(diǎn)法誤差分離技術(shù)的影響

在三點(diǎn)法誤差分離技術(shù)中應(yīng)用傅里葉逆變換時，不論參數(shù)m、p、α、β如何取值，都有G(1)≡0，常用的處理方法是令S(1)=0。在傅里葉逆變換時，該位置的諧波分量就因?yàn)橹?而損失［4］，從而引入諧波抑制現(xiàn)象。為了避免諧波抑制，令G(1)=1［5］。然后在進(jìn)行傅氏逆變換就可以得到被測工件的圓度誤差h(θ)的離散形式h(n)。

但是，在兩點(diǎn)法誤差分離技術(shù)中

所以G(k)≠0恒成立，k∈(0，N-1)。所以兩點(diǎn)法誤差分離技術(shù)中不存在諧波抑制現(xiàn)象。

2.2 采樣點(diǎn)數(shù)對兩點(diǎn)法誤差分離技術(shù)的影響

通過兩點(diǎn)法誤差分離技術(shù)的原理可知，傳感器B所采集序列在進(jìn)行消除回轉(zhuǎn)誤差時的常權(quán)系數(shù)a=-sin(α+β)/sinβ。當(dāng)N增大時會使得α+β→180°、a→0，但并不等于0。在其他條件都正確的條件下，忽略傳感器B就無法完全消除主軸回轉(zhuǎn)運(yùn)動誤差。因此該原理誤差取決于a［δx(θ)cosα +δy(θ)sinα］的大小。

2.2.1 當(dāng)主軸不存在偏心誤差時

當(dāng)轉(zhuǎn)軸不存在偏心誤差時，即e0=0，則δx=δy=0。

因s(θ)=h(θ)+h(θ+α+β)，所以S(k)=H(k)(1+ej2π(m+p)k/N)=H(k)G(k)， 那 么h(θ)=FFT－1(H(k))=FFT－1(S(k)/G(k))是精確值。

由此可知，在傳感器安裝正確時若回轉(zhuǎn)軸無偏心誤差，只要采樣點(diǎn)數(shù)滿足傅氏變換的要求和采樣定理，通過兩點(diǎn)法所求出的圓度誤差都是精確的。

2.2.2 當(dāng)主軸存在偏心誤差e0時

設(shè)aN、αN、βN和γN分別為當(dāng)采樣點(diǎn)數(shù)取N時參數(shù)a、α、β、γ的值，則有

因γN=2π/N，所以采樣點(diǎn)數(shù)N越大，角度γN越小，tan2γN越趨近于0。因此

2.3 安裝角度對兩點(diǎn)法誤差分離技術(shù)的影響

因?yàn)棣肗=2π/N，當(dāng)采樣點(diǎn)數(shù)N過大，會使夾角γN過小，從而給傳感器C的安裝帶來困難。當(dāng)傳感器C的安裝角度不精確時，也會給分離結(jié)果帶來誤差。

在安裝傳感器C的時候，設(shè)角度α+β的安裝角度誤差為Δφ，則

又因 δx(θ)=e0cosθ，δy(θ)=e0sinθ，α+β=π－γ，則

對式 (12)作FFT得

對式 (14)作逆FFT是十分困難的，由傅氏變換的線性性質(zhì)得［6］

2.3.1 當(dāng)e0=0，即轉(zhuǎn)軸不存在偏心誤差時

H'(k)/H(k)=(1+bej2π(m+p)k/N+jkΔφ)/G(k)，由歐拉公式把該式進(jìn)一步化簡得

令ψ=2π(m+p)k/N;把式 (16)分母實(shí)數(shù)化，取分子的模的平方可得

對式 (17)求導(dǎo)得

通過式 (18)可以得，當(dāng)Δφ從 ［0，γ］增大時，導(dǎo)數(shù)大于零;從 ［γ，2γ］增大時，導(dǎo)數(shù)小于零。所以當(dāng)Δφ=γ時，即2π (m+p)k/N+Δφ=2π時h'(θ)的誤差最大。

2.3.2 當(dāng)e0≠0，即轉(zhuǎn)軸存在著偏心誤差時

由式 (13)可以看出，當(dāng)對s(θ)求傅氏變換之后，偏心距對精度的影響與角度誤差Δφ無關(guān)，因此只能在傅氏變換之前討論安裝角度誤差Δφ對誤差分離精度的影響。

只考慮偏心部分對疊加信號的影響，令

當(dāng)該等式取最小值時，引入的誤差最小。對上式求導(dǎo)得f'=-sin(θ+γ-Δφ)。分析該等式可知當(dāng)(θ+γ-Δφ)∈(0，π)時，該角度誤差使圓度誤差值減小，(θ+γ-Δφ)∈(π，2π)角度誤差使圓度誤差值增大。

證明了對置安裝兩個傳感器時，有利于消除轉(zhuǎn)軸的偏心誤差。

3 理論驗(yàn)證兩點(diǎn)法誤差分離技術(shù)的誤差分析

為了檢驗(yàn)上述的分析，作者進(jìn)行了如下的仿真驗(yàn)證。

3.1 采樣點(diǎn)數(shù)對兩點(diǎn)法誤差分離技術(shù)精度的影響

在該驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)中，取基本半徑尺寸為20 mm、表面上有4組振幅為3 mm的正弦所疊加而成的軸。保證除采樣點(diǎn)數(shù)N除外的一切條件不變，N的取值為16、32、64、128、256、512、1 024、2 048。分別采集這幾組信號，分別對這些數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，可得如表1所示的結(jié)果。

表1 采樣點(diǎn)數(shù)N對兩點(diǎn)法誤差分離精度的影響的驗(yàn)證 mm

通過理論分析可知，最大值、最小值、圓度誤差和平均值的實(shí)際理論值分別為23，17，6，20。仔細(xì)的觀察該表可以看出:當(dāng)轉(zhuǎn)軸不存在偏心誤差時，兩點(diǎn)法誤差分離技術(shù)的分離結(jié)果與理論值相等;當(dāng)轉(zhuǎn)軸的偏心誤差e0≠0時，各量的絕對誤差值隨著采樣點(diǎn)數(shù)N的增大而減小，且減小的倍數(shù)越來越接近于2，證明了采樣點(diǎn)數(shù)對誤差值的影響規(guī)律的理論分析是正確的。

3.2 安裝角度誤差對兩點(diǎn)法誤差分離技術(shù)精度的影響

在檢測安裝角度對分離誤差帶來的影響時，選取的采樣點(diǎn)數(shù)N=256，所以理論上α+β的度數(shù)應(yīng)該為178.593 75°。為了分析安裝角度的影響，令安裝角度α+β的值從174.6°到180.6°等間隔變化，間隔為0.2°，除此之外保證其他參數(shù)不變。

在檢驗(yàn)的時候?qū)τ衅恼`差和無偏心誤差同時分析。分析時的數(shù)據(jù)為:被測件基本半徑為20 mm，表面上有振幅為3 mm的正弦信號。當(dāng)有偏心時偏心距取3 mm。分離結(jié)果如圖2所示。

圖2 安裝角度誤差對圓度誤差的影響

觀察圖像可以看出:在以理論安裝角度為中心的一個區(qū)間范圍內(nèi)，無偏心誤差時隨著安裝角度的增大，分離誤差會減小，不過在180°的位置達(dá)到極值并且關(guān)于180°對稱;存在偏心誤差時，隨著安裝角度的增大，分離誤差隨著安裝角度的增大而減小，也在180°的位置達(dá)到極值并且關(guān)于180°對稱。證明了第2.3節(jié)中的分析和推導(dǎo)是正確的。

4 試驗(yàn)驗(yàn)證

通過上面的仿真分析驗(yàn)證了影響兩點(diǎn)法誤差分離技術(shù)誤差的因素及其影響規(guī)律符合理論分析。作者在實(shí)驗(yàn)室環(huán)境內(nèi)通過實(shí)驗(yàn)來進(jìn)一步驗(yàn)證理論分析與仿真分析。

實(shí)驗(yàn)所用設(shè)備為:通過磨削加工一個長度280 mm、直徑為50 mm的軸進(jìn)行試驗(yàn)驗(yàn)證;傳感器采用的是德國米銥的NCDT系統(tǒng)控制的單通道精密電容位移傳感器CapaNCDT620［7］。進(jìn)行測量時，分別取采樣點(diǎn)數(shù)N=64、128、256、512，則安裝角度α+β=(1-2/N)π。為了減小檢測過程中的隨機(jī)誤差，對工件反復(fù)測量5遍取平均值。測量結(jié)果如表2所示。通過該試驗(yàn)結(jié)果可以看出:頻域兩點(diǎn)法圓度誤差分離技術(shù)的分離結(jié)果與理論分析和仿真驗(yàn)證相符，證明了在使用兩點(diǎn)法誤差分離技術(shù)時，主軸含有偏心誤差那么對置安裝兩傳感器可以得到更高的精度。因此說明了頻域兩點(diǎn)法誤差分離技術(shù)在要求一定精度的場合下也可以滿足檢測要求。

表2 實(shí)驗(yàn)分離結(jié)果 μm

5 結(jié)論

(1)當(dāng)使用兩點(diǎn)法來進(jìn)行誤差分離時，若被測件不含有偏心誤差，對置安裝傳感器會使分離出的圓度誤差的誤差最大;若被測件含有偏心誤差，對置安裝傳感器會使分離值的誤差最小;(2)在現(xiàn)實(shí)的加工過程中幾乎所有的轉(zhuǎn)子都存在著偏心誤差，因此檢測時我們一般采用對置安裝傳感器可以得到更精確的圓度誤差值;

(3)兩點(diǎn)法誤差分離技術(shù)雖然有原理誤差，但是仍比反向法誤差分離技術(shù)的精度高。在規(guī)定精度要求下仍然可以使用。

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