兩點法誤差分離技術的分離精度分析

母德強，謝新旺，崔博，陳懿

(長春工業(yè)大學機電工程學院，吉林長春 130012)

近年來，隨著高精度機械加工技術的不斷發(fā)展，對零件形位誤差要求也在不斷地提高。為了保證被加工工件的形位精度要求，在線測量是首選的檢測方法。而由于加工系統中存在著許多不可預測的影響因素，使得工件形位誤差的在線測量變得十分困難，誤差分離技術 (Error Separation Technique，EST)的出現為形位誤差的在線測量提供了可能［1］。

誤差分離技術 (EST-Error Separation Techniques)于20世紀五六十年代發(fā)展起來，歷經國內外三十余年的研究，現在已經有了很強大的理論基礎和很豐富的內容。通過一些學者的不斷努力，誤差分離技術現在有很廣泛的發(fā)展。比如:根據是否使用傅里葉變換可以把誤差分離技術分為頻域法誤差分離技術和時域法誤差分離技術;根據使用傳感器個數可以分為反向法誤差分離技術、兩點法誤差分離技術、三點法誤差分離技術、四點法誤差分離技術等［2］;根據檢測形狀的不同又分為圓度誤差分離技術、直線形狀誤差分離技術等。

在眾多的誤差分離技術中，頻域兩點法誤差分離技術用于在線檢測時僅使用兩個傳感器，因方便安裝而倍受青睞。不過其缺陷是:該方法無法完全分離零件的偏心誤差，分離結果含有誤差。此外兩點法誤差分離技術的分離結果的誤差規(guī)律還沒有一個明確的規(guī)則。因此對兩點法誤差分離技術尚無一個客觀的分析。作者正是基于此而進行探索，旨在從理論分析與實踐上進一步探索兩點法誤差分離技術原理誤差的影響因素及影響規(guī)律，力求提高兩點法誤差分離技術在線測量的精度問題。

1 兩點法誤差分離技術的測量原理

兩點法誤差分離技術由三點法誤差分離技術發(fā)展而來的。因為兩點法誤差分離技術用到了傅里葉變換，因此兩點法誤差分離技術又稱為頻域兩點法誤差分離技術。頻域三點法誤差分離技術的原理圖如圖1所示。

圖1 頻域三點法誤差分離技術的原理圖

圖中，O為傳感器A、B和C所在位置處的位移敏感中心線的交點，也為該轉軸的實際回轉中心。但是該截面的最小二乘圓心為O0，與實際回轉中心O的偏心距為e。以點O為坐標原點建立坐標系，x軸的正方向為從回轉中心O指向傳感器A，并通過其中心線;y軸的正方向為從回轉中心O指向傳感器B并通過其中心線，垂直于x軸。

設h(θ)為工件的圓度誤差，δx(θ)、δy(θ)為主軸回轉運動誤差在x、y上的分量;傳感器之間的夾角如圖1所示［3］。所以，3個傳感器的輸出為

為了消除各傳感器輸出中的回轉誤差分量，對等式 (1)— (3)乘以不同的等權常系數1、a、b然后相加，得到的方程為

為了能更好地使用傅里葉變換，在進行測量時等間隔地在被測件每一周上采集的點數N=2n。并有

式中:m、p都為正整數，那么等式 (4)的離散形式可以寫為

取m=N/4，p=m-1，γ=Δθ。則N越大，α+β→180°，a越趨近于0。當N大于某一數值之后，可認為a=0。此時傳感器B就可以忽略，三點法誤差分離技術就轉化成了兩點法誤差分離技術。

因此等式 (5)可以化為

因為sA(n)、sC(n)都為所測得的已知量，因此，等式 (5)作離散傅里葉變換，根據傅里葉變換的時延相移特性可得

在等 式 (7) 中:S(k)=DFT［s(n)］;H(k)=DFT［h(n)］;G(k)=1+bej2π(m+p)k/N。

由h(n)=DFT－1［H(k)］=DFT－1［S(k)/G(k)］，就可求出被測工件的圓度誤差h(θ)的離散形式h(n)。

2 影響兩點法誤差分離技術的因素

通過兩點法誤差分離技術的原理可知，該誤差分離技術存在原理誤差。影響頻域法誤差分離技術精度的主要因素有:采樣誤差，即采樣點數的影響;諧波抑制;傳感器的安裝角度誤差和一些隨機的干擾噪聲等［5］。

因為隨機的噪聲等干擾因素無法預測，也不可能消除，只能通過求多組的平均值來盡可能地減小，因此文中只討論其余幾種因素的影響。

2.1 諧波抑制對兩點法誤差分離技術的影響

在三點法誤差分離技術中應用傅里葉逆變換時，不論參數m、p、α、β如何取值，都有G(1)≡0，常用的處理方法是令S(1)=0。在傅里葉逆變換時，該位置的諧波分量就因為置0而損失［4］，從而引入諧波抑制現象。為了避免諧波抑制，令G(1)=1［5］。然后在進行傅氏逆變換就可以得到被測工件的圓度誤差h(θ)的離散形式h(n)。

但是，在兩點法誤差分離技術中

所以G(k)≠0恒成立，k∈(0，N-1)。所以兩點法誤差分離技術中不存在諧波抑制現象。

2.2 采樣點數對兩點法誤差分離技術的影響

通過兩點法誤差分離技術的原理可知，傳感器B所采集序列在進行消除回轉誤差時的常權系數a=-sin(α+β)/sinβ。當N增大時會使得α+β→180°、a→0，但并不等于0。在其他條件都正確的條件下，忽略傳感器B就無法完全消除主軸回轉運動誤差。因此該原理誤差取決于a［δx(θ)cosα +δy(θ)sinα］的大小。

2.2.1 當主軸不存在偏心誤差時

當轉軸不存在偏心誤差時，即e0=0，則δx=δy=0。

因s(θ)=h(θ)+h(θ+α+β)，所以S(k)=H(k)(1+ej2π(m+p)k/N)=H(k)G(k)， 那 么h(θ)=FFT－1(H(k))=FFT－1(S(k)/G(k))是精確值。

由此可知，在傳感器安裝正確時若回轉軸無偏心誤差，只要采樣點數滿足傅氏變換的要求和采樣定理，通過兩點法所求出的圓度誤差都是精確的。

2.2.2 當主軸存在偏心誤差e0時

設aN、αN、βN和γN分別為當采樣點數取N時參數a、α、β、γ的值，則有

因γN=2π/N，所以采樣點數N越大，角度γN越小，tan2γN越趨近于0。因此

2.3 安裝角度對兩點法誤差分離技術的影響

因為γN=2π/N，當采樣點數N過大，會使夾角γN過小，從而給傳感器C的安裝帶來困難。當傳感器C的安裝角度不精確時，也會給分離結果帶來誤差。

在安裝傳感器C的時候，設角度α+β的安裝角度誤差為Δφ，則

又因 δx(θ)=e0cosθ，δy(θ)=e0sinθ，α+β=π－γ，則

對式 (12)作FFT得

對式 (14)作逆FFT是十分困難的，由傅氏變換的線性性質得［6］

2.3.1 當e0=0，即轉軸不存在偏心誤差時

H'(k)/H(k)=(1+bej2π(m+p)k/N+jkΔφ)/G(k)，由歐拉公式把該式進一步化簡得

令ψ=2π(m+p)k/N;把式 (16)分母實數化，取分子的模的平方可得

對式 (17)求導得

通過式 (18)可以得，當Δφ從 ［0，γ］增大時，導數大于零;從 ［γ，2γ］增大時，導數小于零。所以當Δφ=γ時，即2π (m+p)k/N+Δφ=2π時h'(θ)的誤差最大。

2.3.2 當e0≠0，即轉軸存在著偏心誤差時

由式 (13)可以看出，當對s(θ)求傅氏變換之后，偏心距對精度的影響與角度誤差Δφ無關，因此只能在傅氏變換之前討論安裝角度誤差Δφ對誤差分離精度的影響。

只考慮偏心部分對疊加信號的影響，令

當該等式取最小值時，引入的誤差最小。對上式求導得f'=-sin(θ+γ-Δφ)。分析該等式可知當(θ+γ-Δφ)∈(0，π)時，該角度誤差使圓度誤差值減小，(θ+γ-Δφ)∈(π，2π)角度誤差使圓度誤差值增大。

證明了對置安裝兩個傳感器時，有利于消除轉軸的偏心誤差。

3 理論驗證兩點法誤差分離技術的誤差分析

為了檢驗上述的分析，作者進行了如下的仿真驗證。

3.1 采樣點數對兩點法誤差分離技術精度的影響

在該驗證實驗中，取基本半徑尺寸為20 mm、表面上有4組振幅為3 mm的正弦所疊加而成的軸。保證除采樣點數N除外的一切條件不變，N的取值為16、32、64、128、256、512、1 024、2 048。分別采集這幾組信號，分別對這些數據進行分析，可得如表1所示的結果。

表1 采樣點數N對兩點法誤差分離精度的影響的驗證 mm

通過理論分析可知，最大值、最小值、圓度誤差和平均值的實際理論值分別為23，17，6，20。仔細的觀察該表可以看出:當轉軸不存在偏心誤差時，兩點法誤差分離技術的分離結果與理論值相等;當轉軸的偏心誤差e0≠0時，各量的絕對誤差值隨著采樣點數N的增大而減小，且減小的倍數越來越接近于2，證明了采樣點數對誤差值的影響規(guī)律的理論分析是正確的。

3.2 安裝角度誤差對兩點法誤差分離技術精度的影響

在檢測安裝角度對分離誤差帶來的影響時，選取的采樣點數N=256，所以理論上α+β的度數應該為178.593 75°。為了分析安裝角度的影響，令安裝角度α+β的值從174.6°到180.6°等間隔變化，間隔為0.2°，除此之外保證其他參數不變。

在檢驗的時候對有偏心誤差和無偏心誤差同時分析。分析時的數據為:被測件基本半徑為20 mm，表面上有振幅為3 mm的正弦信號。當有偏心時偏心距取3 mm。分離結果如圖2所示。

圖2 安裝角度誤差對圓度誤差的影響

觀察圖像可以看出:在以理論安裝角度為中心的一個區(qū)間范圍內，無偏心誤差時隨著安裝角度的增大，分離誤差會減小，不過在180°的位置達到極值并且關于180°對稱;存在偏心誤差時，隨著安裝角度的增大，分離誤差隨著安裝角度的增大而減小，也在180°的位置達到極值并且關于180°對稱。證明了第2.3節(jié)中的分析和推導是正確的。

4 試驗驗證

通過上面的仿真分析驗證了影響兩點法誤差分離技術誤差的因素及其影響規(guī)律符合理論分析。作者在實驗室環(huán)境內通過實驗來進一步驗證理論分析與仿真分析。

實驗所用設備為:通過磨削加工一個長度280 mm、直徑為50 mm的軸進行試驗驗證;傳感器采用的是德國米銥的NCDT系統控制的單通道精密電容位移傳感器CapaNCDT620［7］。進行測量時，分別取采樣點數N=64、128、256、512，則安裝角度α+β=(1-2/N)π。為了減小檢測過程中的隨機誤差，對工件反復測量5遍取平均值。測量結果如表2所示。通過該試驗結果可以看出:頻域兩點法圓度誤差分離技術的分離結果與理論分析和仿真驗證相符，證明了在使用兩點法誤差分離技術時，主軸含有偏心誤差那么對置安裝兩傳感器可以得到更高的精度。因此說明了頻域兩點法誤差分離技術在要求一定精度的場合下也可以滿足檢測要求。

表2 實驗分離結果 μm

5 結論

(1)當使用兩點法來進行誤差分離時，若被測件不含有偏心誤差，對置安裝傳感器會使分離出的圓度誤差的誤差最大;若被測件含有偏心誤差，對置安裝傳感器會使分離值的誤差最小;(2)在現實的加工過程中幾乎所有的轉子都存在著偏心誤差，因此檢測時我們一般采用對置安裝傳感器可以得到更精確的圓度誤差值;

(3)兩點法誤差分離技術雖然有原理誤差，但是仍比反向法誤差分離技術的精度高。在規(guī)定精度要求下仍然可以使用。

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