基于考慮次近鄰車的新型交通流格子模型

許陽，袁振洲

（北京交通大學(xué)城市交通復(fù)雜系統(tǒng)理論與技術(shù)教育部重點實驗室，北京 100044）

基于考慮次近鄰車的新型交通流格子模型

許陽，袁振洲

（北京交通大學(xué)城市交通復(fù)雜系統(tǒng)理論與技術(shù)教育部重點實驗室，北京 100044）

在連續(xù)交通流格子模型基礎(chǔ)上，提出考慮次近鄰車對車流的影響作用，并采用新的模型構(gòu)建方法構(gòu)建一種車流優(yōu)化的交通流格子模型。應(yīng)用線性穩(wěn)定性理論和非線性理論進行分析，得到車流的穩(wěn)定性條件，并得到描述車流阻塞相變的mKdV方程。最后應(yīng)用數(shù)值模擬驗證mKdV方程的存在條件，模擬結(jié)果表明這種考慮次近鄰車的新型交通流格子模型能夠更好地刻畫車流的穩(wěn)定機理，更加符合實際交通流特點。

格子模型；次近鄰車；mKdV方程

隨著城市機動化水平的不斷提高，交通供需矛盾日益突出。為了更好地掌握交通問題的形成機理及其演化規(guī)律，人們提出了各種交通流模型，例如跟馳模型、元胞自動機模型以及流體力學(xué)模型［1－5］等。在這些研究中，都涉及到了從自由運動到阻塞的交通相變。交通相變具有類似氣－液相變的性質(zhì)，自由運動交通和阻塞交通分別對應(yīng)傳統(tǒng)氣－液相變中的氣體和液體，車間距或密度對應(yīng)體積或密度，延遲時間的倒數(shù)對應(yīng)于溫度，亞穩(wěn)態(tài)區(qū)域位于基本圖上流量達到最大值附近。

1998年，Nagatani［3－5］借鑒優(yōu)化跟馳模型和動力學(xué)模型的思想，提出了一種基于流體力學(xué)的交通流模型，其連續(xù)性方程和運動方程如下

其中，ρ0是車流平均密度，a是駕駛員的敏感系數(shù)，δ是平均車頭間距，且δ＝1／ρ0。ρ（x＋δ）表示t時刻x＋δ處的局部密度，它與車頭間距h（x，t）有倒數(shù)關(guān)系。V（ρ（x＋δ））則代表最佳速度。模型認為駕駛員根據(jù)觀察到的前方車頭間距或密度來調(diào)整自己的車速。

其中，j表示一維格點上的第j個格點，ρj和vj分別表示t時刻第j個格子上的局部密度和局部平均速度。

Ge等［6］在2005年提出了兩種合作駕駛格子模型，又提出了考慮后視效果的格子模型，靠近中性穩(wěn)定曲線的KdV方程得到推導(dǎo)［7］。后來，Tian等［8－9］又提出考慮流量差和密度差的格子模型。劉濤等［10］則研究了考慮后面車輛與相關(guān)車流影響的格子模型。

可以發(fā)現(xiàn)，以前的交通流格子模型基本局限于研究前后車輛對車流穩(wěn)定性的影響。而車流實際運行時，駕駛員一般都會試圖觀察前方第二輛車的運行狀況，進而做出駕駛選擇，所以考慮前方次近鄰車的格子模型會更真實地描述現(xiàn)實的交通流狀態(tài)。本文將在密度差格子模型的基礎(chǔ)上，考慮次近鄰車的影響，構(gòu)造出一種新的交通流格子模型。首先通過線性穩(wěn)定性分析得到模型的穩(wěn)定條件，再借助非線性理論分析推導(dǎo)出描述車流阻塞相變的mKdV方程，最后進行數(shù)值模擬驗證本模型的有效性。

1 新模型的構(gòu)造

在車流運行過程中，影響車輛駕駛的不僅有該車前后方的車輛密度，次近鄰車的密度也會對其產(chǎn)生影響?；贜agatani的模型和其各種擴展模型，我們構(gòu)造一種考慮次近鄰車影響的格子模型如下

其中，λ1表示對第一輛車與跟隨車輛的密度差的反應(yīng)系數(shù)，λ2表示對第二輛車與次近鄰車的密度差的反應(yīng)系數(shù)。模型認為在交通流中，次近鄰車的行駛會受到前方兩輛車的影響，而且局部密度的變化會沿著車流不斷傳遞下去。

通過消去等式（5）和（6）中的v，得到方程

顯然，改進的模型比傳統(tǒng)的模型多考慮了j－1和j＋2格點。

車流優(yōu)化速度函數(shù)［3］的形式為

ρc表示車流優(yōu)化速度函數(shù)拐點處的密度值，該函數(shù)在ρ＝ρ0＝ρc處取到極值。

2 線性穩(wěn)定性分析

下面通過線性穩(wěn)定性分析來研究本模型中次近鄰車的影響作用。交通流的穩(wěn)定狀態(tài)擁有常密度ρ0和最佳行駛速度V（ρ0），所以穩(wěn)定狀態(tài)為

假定yj（t）是穩(wěn)定狀態(tài)下車輛j處車流密度的一個小偏離：ρj（t）＝ρ0＋yi（t），根據(jù)傅里葉級數(shù)，對yj（t）＝exp（ikj＋zt）進行泰勒展開，可以得到

將等式（17）代入（15），當k→0時，便可得到模型的穩(wěn)定條件

當λ2＝0，即是密度差格子模型的穩(wěn)定條件

比較等式（18）和（19），發(fā)現(xiàn)本模型的穩(wěn)定條件相比于密度差格子模型更容易滿足。

圖1 密度－敏感系數(shù)空間相位圖（ρc＝0．25，vmax＝2 m／s）Fig.1 Phase diagram of density-sensitivity space

圖1顯示了在不同λ1和λ2值下車輛密度－敏感系數(shù)空間相圖的中性穩(wěn)定曲線。固定其中一個λ的值，敏感系數(shù)a都會隨著另一個λ的增加而變大。對比發(fā)現(xiàn)，λ1和λ2對于降低中性曲線的效果是基本一致的。總之，考慮次近鄰車的格子模型的確可以擴大交通流的穩(wěn)定范圍，說明該模型更加切合實際。

3 mKdV方程

在交通流格子模型中，隨著車輛的密度增加到一定程度，在自由運動交通與阻塞交通之間會發(fā)生臨界相變，其中存在一個臨界點，mKdV方程則可以用來描述阻塞相的變化規(guī)律。

在交通流的不穩(wěn)定區(qū)域，我們引入慢變量X和T，定義為

其中b是一個待定的常量，且定義

將等式（7）中的各項泰勒展開至5階ε

將（22）～（28）各項展開式全都代入等式（7），整理可得

通過計算，用f1～f7（見表1）對等式（29）進行簡化計算，即有下式

表1 fi的取值Table 1 fivalues

其中，gi的取值見表2。

表2 gi的取值Table 2 givalues

假設(shè)R′（X，T′）＝R′0（X，T′）＋εR′1（X，T′），為了確定密度波的傳播速度，必須滿足

其中M［R′0］＝M［R′］，解得密度波的傳播速度為

式中，ε2＝ac／a－1。密度波的振幅A為

扭結(jié)－反扭結(jié)密度波的解表示共存相，即包括了自由交通相和阻塞相。自由狀態(tài)下，ρ＝ρc－A，阻塞狀態(tài)下，ρ＝ρc＋A。在圖1密度－敏感系數(shù)空間相位圖中，我們可以發(fā)現(xiàn)虛線即為共存曲線。

4 數(shù)值模擬

通過求解mKdV方程描述交通流阻塞相的變化規(guī)律，得到了阻塞相時交通流的密度傳播速度、扭結(jié)－反扭結(jié)密度波的振幅。密度波的變化過程即是車流的狀態(tài)變化過程，為了更加形象地展現(xiàn)考慮次近鄰車情況下車流的穩(wěn)定過程，本文借助MATLAB數(shù)值編程工具模擬理想狀態(tài)下車流的密度變化過程。

為了方便數(shù)值模擬，將等式（7）變換為下述形式

初始系統(tǒng)狀態(tài)：N＝100，即有100個格子，且應(yīng)用周期性邊界條件。初始擾動為

模擬過程中，Δρ＝0.05，τ＝0.1，ρ0＝ρc＝0.25，a＝1，vmax＝2 m／s。模擬結(jié)果可見圖2和圖3。

圖2 扭結(jié)－反扭結(jié)波圖Fig.2 Kink-antikink shock wave

圖2（a）～（d）描述的是λ1＝0.2，λ2從0.1增大到0.4的扭結(jié)－反扭結(jié)波。通過觀察圖形可知，λ2＝0.1，0.2，0.3時，穩(wěn)定條件等式（18）沒有被滿足，密度波處于不穩(wěn)定狀態(tài)。而當λ2＝0.4時，密度值恒定保持為0.25，說明λ1＝0.2，λ2＝0.4滿足穩(wěn)定條件，任何在穩(wěn)定區(qū)域內(nèi)的擾動最終都會發(fā)展為均勻的交通流。圖2很明顯地說明了密度波的振幅隨著λ2的增大而減小。因此，可以認為在格子模型中考慮次近鄰車的影響更加符合實際，有助于更真實地刻畫交通流的穩(wěn)定機理。數(shù)值模擬的結(jié)果證明了理論分析的正確性。

另一方面，為了研究不同交通流狀態(tài)下局部擾動對車流的影響，下面分別針對低密度車流、中密度車流和高密度車流三種情況進行車流密度擾動分析。模擬方法同之前的一樣，取λ1＝0.2，λ2＝0.1的條件，令初始條件ρ0的值依次為0.1（低密度），0.25（中密度），0.5（高密度），通過數(shù)值模擬得到下面的結(jié)果。

圖3（a）～（c）顯示了低、中、高三種車流密度條件下，車流局部擾動對車流密度變化的影響?？梢杂^察到，低密度和高密度的車流產(chǎn)生局部擾動時，整體車流的密度不會發(fā)生大的變化，擾動很快就會消散，而中密度狀態(tài)下車流局部擾動會不斷擴散，使整體車流密度不均衡。該結(jié)論符合實際交通流現(xiàn)象，局部車輛的聚集不會對處于自由運行狀態(tài)的車流產(chǎn)生較大影響，而如果車流處于高密度擁擠狀態(tài)時，車速已經(jīng)很緩慢，局部的擾動也無法改變車流擁擠的狀態(tài)，所以這兩種狀態(tài)下的車流會基本保持原有的密度。只有介于自由流和阻塞流之間不穩(wěn)定車流，在車流產(chǎn)生局部擾動時，該擾動會隨著車隊不斷擴散。

圖3 不同狀態(tài)車流的扭結(jié)－反扭結(jié)波圖Fig.3 Kink-antikink shock wave of traffic flow of different states

5 結(jié)論

本文中，在傳統(tǒng)密度差格子模型的基礎(chǔ)上，提出考慮次近鄰車的影響作用，構(gòu)建了一個新的擴展格子模型。經(jīng)由線性穩(wěn)定性分析，得到模型的穩(wěn)定條件；再由非線性分析方法得到模型的mKdV方程，可以用來描述不穩(wěn)定區(qū)域的阻塞交通流。最后，通過數(shù)值模擬的方法證明了，考慮次近鄰車影響的格子模型能夠更加準確地描述現(xiàn)實的交通流狀態(tài)，而且有助于增強交通流的穩(wěn)定性。同時驗證了局部擾動在低密度和高密度車流中不易擴散，只有在中密度的不穩(wěn)定車流中容易擴散，符合實際情況。

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Next-nearest-neighbor site based lattice hydrodynam ic model

XU Yang，YUAN Zhen-zhou
（Ministry of Education Key Laboratory for Urban Transportation Complex Systems Theory and Technology，Beijing Jiaotong University，Beijing 100044，China）

We present a new traffic flow lattice hydrodynamic model with the impact of next-nearest-neighbor site on traffic and continuous traffic lattice model．We also acquire traffic stability condition and mKdV equation expressing density waves with linear stability theory and nonlinear analysis．Numerical simulation shows that the new model can better depict traffic stability mechanism and be more suitable for real traffic flow．

lattice hydrodynamic model；next-nearest-neighbor site；mKdV

U491.4

A

1002-4026（2014）04-0092-06

10.3976／j.issn.1002－4026.2014.04.016

2013-11-12

國家重點基礎(chǔ)研究發(fā)展計劃（973計劃）（2012CB725403）

許陽（1989－），男，碩士研究生，研究方向為城市綜合交通。