等邊三角形中的動(dòng)點(diǎn)問題

施瑋

題目的來源：課外

設(shè)計(jì)背景：八年級(jí)上冊(cè)第二章特殊三角形復(fù)習(xí)。

設(shè)計(jì)思想及方法：動(dòng)點(diǎn)型問題是近年來中考的一個(gè)熱點(diǎn)問題。動(dòng)點(diǎn)型問題集幾何與代數(shù)知識(shí)于一體，數(shù)形結(jié)合，有較強(qiáng)的綜合性，題目靈活多變，本設(shè)計(jì)是以等邊三角形為主線，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)引起邊、角的變化，三角形形狀的判斷，抓住圖形中“變”和“不變”，以“不變的”來解決“變”，以達(dá)到“以靜制動(dòng)”，變“動(dòng)態(tài)問題”為“靜態(tài)問題”。對(duì)學(xué)生的空間想象能力、綜合分析能力都有著積極作用。同時(shí)，也體現(xiàn)了分類討論、數(shù)形結(jié)合、方程的思想方法。

一、單動(dòng)點(diǎn)問題

例1.如圖△ABC是邊長4 cm的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)P以1cm/s的速度從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（s），那么t=____時(shí)，△PBC是直角三角形？

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1.首先請(qǐng)同學(xué)們閱讀題目，然后教師提出引導(dǎo)性的問題。

問題1:△PBC有幾個(gè)元素？是否有會(huì)隨P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而改變呢？

學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生觀察圖形，點(diǎn)P從A點(diǎn)到B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，探索圖形中變化的量與不變量。特別是∠BPC的變化過程。

問2:請(qǐng)同學(xué)們想象一下，△PBC的形狀會(huì)發(fā)生怎樣的改變？

學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)：讓學(xué)生獨(dú)立思考問題，自由發(fā)言。學(xué)生闡述自己的想法與結(jié)論。

通過這個(gè)問題的討論探究，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)△BPC的變化過程。然后利用幾何畫板把點(diǎn)P動(dòng)起來，顯示動(dòng)態(tài)圖形，使問題更直觀、形象。同時(shí)，讓學(xué)生驗(yàn)證自己的結(jié)論正確與否。

2.那么通過這些活動(dòng)找到P點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中的這個(gè)特殊位置（使△BPC是直角三角形），并畫出特殊位置的圖形，使動(dòng)態(tài)問題轉(zhuǎn)變成靜態(tài)問題。

3.最后利用特殊三角形，等邊三角形和直角三角形的特性，找到關(guān)系建立方程模型求解。

整個(gè)設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)這種分析問題、解決問題的數(shù)學(xué)方法，讓學(xué)生猜想、探索結(jié)論，發(fā)現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)問題中一些相互聯(lián)系的變量與不變的量，使學(xué)生解決動(dòng)點(diǎn)問題有個(gè)感性的認(rèn)識(shí)。然后將單動(dòng)點(diǎn)問題遷移到雙動(dòng)點(diǎn)問題。

二、雙動(dòng)點(diǎn)問題

例2.已知，如圖△ABC是邊長4 cm的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，如果動(dòng)點(diǎn)P、Q都以1 cm/s的速度同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），那么t為何值時(shí)，△PBQ是直角三角形?

學(xué)生閱讀題目，根據(jù)引例中的分析，探索解決問題的方法進(jìn)行學(xué)習(xí)，教師可給出下列啟發(fā)問題：

（1）本題中P、Q運(yùn)動(dòng)，哪些量發(fā)生了變化？

（2）若△PBQ是直角三角形，直角會(huì)是哪些角？（讓學(xué)生自由發(fā)揮，暢所欲言）

接著利用幾何畫板讓P點(diǎn)、Q點(diǎn)動(dòng)起來，用實(shí)驗(yàn)的方法進(jìn)一步驗(yàn)證學(xué)生探討的結(jié)論，對(duì)學(xué)生的結(jié)論予以肯定，通過這些活動(dòng)，將這個(gè)雙動(dòng)點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為靜態(tài)問題，找到運(yùn)動(dòng)中的兩種特殊位置，并畫出圖形，分類討論這兩種情況，同時(shí)利用特殊三角形的特性找到關(guān)系，建立方程模型求解。

設(shè)計(jì)意圖：對(duì)所學(xué)的知識(shí)加深理解與應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生有條理的思考和表達(dá)能力以及分類討論、數(shù)形結(jié)合以及方程的思想方法。

三、拓展變式練習(xí)

例3.如圖△ABC是邊長4 cm的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿射線BC方向運(yùn)動(dòng)，連接PQ交AC于D，如果動(dòng)點(diǎn)P、Q都以1 cm/s的速度同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），那么當(dāng)t為何值時(shí)，△DCQ是等腰三角形？

設(shè)計(jì)意圖：通過練習(xí)，能夠及時(shí)將學(xué)生的掌握情況反饋給老師，進(jìn)一步提高學(xué)生的應(yīng)用能力，實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)的應(yīng)用和拓展。

歸納小結(jié)：解決動(dòng)態(tài)幾何題的策略是：把握運(yùn)動(dòng)規(guī)律，尋求運(yùn)動(dòng)中的特殊位置；在“動(dòng)”中求“靜”，在“靜”中探求“動(dòng)”的一般規(guī)律。動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，抓住圖形在變化過程中不變量與變量及不變量與變量之間的關(guān)系，然后建立方程模型求解。

那么對(duì)于本設(shè)計(jì)，我安排在八年級(jí)上冊(cè)特殊三角形的復(fù)習(xí)。難度比較大，我的初衷是想讓學(xué)生逐步接觸動(dòng)點(diǎn)問題，以至于在今后接觸到類似的動(dòng)點(diǎn)問題，并不覺得突然，至少有一定的思考方向和方法。那么在我們關(guān)懷后三分之一的同時(shí)，對(duì)于前三分之一的學(xué)生也要做一些努力。

編輯 孫玲娟