淺談數(shù)學(xué)知識(shí)在解物理習(xí)題中的運(yùn)用

蘇巧紅

摘 要：數(shù)學(xué)和物理密切相關(guān)，在解決物理問題的過程中經(jīng)常要運(yùn)用到數(shù)學(xué)知識(shí)。從解物理習(xí)題的角度介紹數(shù)學(xué)知識(shí)在物理學(xué)中運(yùn)用的幾個(gè)例子。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)知識(shí)；排列組合；二次函數(shù)；均值不等式

高考物理的《考試說明》中對(duì)學(xué)生的能力要求有五個(gè)方面，其中第四方面即為應(yīng)用數(shù)學(xué)方法處理物理問題的能力。靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)方法處理物理問題是物理試題的一大特色。一部分人感覺物理難，其中一點(diǎn)就在于數(shù)理結(jié)合運(yùn)用不好。因此我們要善于總結(jié)中學(xué)物理涉及初等數(shù)學(xué)的主要知識(shí)點(diǎn)，以提高運(yùn)用水平。本文從解物理習(xí)題的角度介紹數(shù)學(xué)知識(shí)在物理學(xué)中運(yùn)用的幾個(gè)例子。

一、利用排列組合知識(shí)，解能級(jí)躍遷與光譜線問題

例1.一群大量氫原子處在第四軌道，當(dāng)氫原子在這些能級(jí)間躍遷時(shí)，共能放出幾種能量的光子？

解析：原子躍遷可能出現(xiàn)在任意兩條軌道之間，因而應(yīng)有C24 條亮線，即C24=6條。

二、利用二次函數(shù)知識(shí)，解極值問題

研究物理學(xué)中的極值、最值問題，首先要得到一個(gè)函數(shù)式，然后，才能利用這個(gè)函數(shù)式進(jìn)行推算，運(yùn)用二次函數(shù)的知識(shí)求解。

例2.電源電動(dòng)勢(shì)為E，內(nèi)阻為r，外電阻為R，求外電路電阻R為多大時(shí)，電源的輸出功率為最大？最大值為多少？

解析：電流輸出功率就是電源向外電路R提供電能的功率。根據(jù)P=I2R可知，為了研究P和R的關(guān)系，將等式右邊化成單一變量。因?yàn)镮=■，所以P=I2R=■R，其中E，r為常量，電阻R是自變量，輸出功率P是R的函數(shù)。這個(gè)函數(shù)式是一個(gè)分式函數(shù)。我們可以用配方法來解出極值。

P=■R=■，當(dāng)R=r時(shí)P取得最大值，最大值為Pmax=■

三、利用均值不等式知識(shí)，解極值問題

均值不等式：對(duì)于n個(gè)正數(shù)a1，a2…an它們的算術(shù)平均值不小于它們的幾何平均值，即■≥■當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…an時(shí)，等號(hào)成立。

一般地，從均值不等式可以得到以下結(jié)論：對(duì)若干個(gè)正數(shù)，如果它們的和是定值，則當(dāng)且僅當(dāng)這若干個(gè)正數(shù)相等時(shí)，它們的積取最大值。

例3.電量為Q，分配給兩個(gè)相距為R的質(zhì)點(diǎn)，使之成為兩個(gè)帶電體Q1和Q2，則當(dāng)電量如何分配時(shí)，兩個(gè)帶電體之間的庫侖力最大？

解析：根據(jù)庫侖定律F=■，依題意可知電量Q1+Q2=Q（定值），當(dāng)Q1=Q2=■時(shí)，庫倫力F取最大值。

四、利用函數(shù)y=kx+b圖象，解一些力學(xué)、電學(xué)問題

函數(shù)y=kx+b，斜率為k，截距為b，它的圖象是一條直線。利用它可以很方便地解決一些力學(xué)、電學(xué)問題。

例4.（2011·重慶高考）某同學(xué)設(shè)計(jì)了如下圖所示的裝置，利用米尺、秒表、輕繩、輕滑輪、軌道、滑塊、托盤和砝碼等器材來測(cè)定滑塊和軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ?；瑝K和托盤上分別放有若干砝碼，滑塊質(zhì)量為m1，滑塊上砝碼總質(zhì)量為m′，托盤和盤中砝碼的總質(zhì)量為m。實(shí)驗(yàn)中，滑塊在水平軌道上從A到B做初速為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，重力加速度g取10 m/s2。

■

（1）為測(cè)量滑塊的加速度a，須測(cè)出它在A、B間運(yùn)動(dòng)的________與________，計(jì)算a的運(yùn)動(dòng)學(xué)公式是________；

（2）根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律得到a與m的關(guān)系為：a=■-μg

他想通過多次改變m，測(cè)出相應(yīng)的a值，并利用上式來計(jì)算μ。若要求a是m的一次函數(shù)，必須使上式中的________保持不變，實(shí)驗(yàn)中應(yīng)將從托盤中取出的砝碼置于________；

（3）實(shí)驗(yàn)得到a與m的關(guān)系如下圖所示，由此可知μ＝ （取兩位有效數(shù)字）。

■

解析：（1）由s=■at2，得a=■，可見要測(cè)出滑塊在A、B間的位移s和運(yùn)動(dòng)時(shí)間t。

（2）a=■m-μg與數(shù)學(xué)中的一次函數(shù)y=kx+b類比， a是m的一次函數(shù)，■m就相當(dāng)于圖象的斜率。為了保證圖象的斜率不變，必須使m＋m′保持不變，這就要求實(shí)驗(yàn)中從托盤中取出的砝碼置于滑塊上。

（3）由a=■m-μg得a+μg=■m。取a1=0.23 m/s2，m1=0.064 kg；a2=0.39 m/s2，m2=0.068 kg。則■=■，解得μ=0.23。

五、利用幾何知識(shí)，解帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的問題

解決帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)這類問題，關(guān)鍵是在分析粒子所受洛倫茲力基礎(chǔ)上，畫出帶電粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡和圓心位置，再由幾何知識(shí)求出半徑和與軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角，利用半徑公式和周期公式求解有關(guān)問題。

例5.（高考題）在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，r為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)，存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，如圖所示，一個(gè)不計(jì)重力的帶電粒子從磁場(chǎng)邊界與x軸的交點(diǎn)A處以速度v沿-x方向射入磁場(chǎng)，恰好從磁場(chǎng)邊界與y軸的交點(diǎn)C處沿+y方向飛出。

（1）請(qǐng)判斷該粒子帶何種電荷，并求出其比荷；

（2）若磁場(chǎng)的方向和所在空間范圍不變，而磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小變?yōu)锽′，該粒子仍從A處以相同的速度射入磁場(chǎng)，但飛出磁場(chǎng)時(shí)的速度方向相對(duì)于入射方向改變了60°角，求磁感應(yīng)強(qiáng)度B′和此次粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)所用時(shí)間t是多少？

解析：（1）如圖所示，從粒子的飛行軌跡，利用左手定則可知，該粒子帶負(fù)電荷。粒子由A點(diǎn)射入。由C點(diǎn)飛出，其速度方向改變了90°，則粒子軌跡半徑R1=r。

根據(jù)牛頓第二定律有qvB=m■，■=■。

（2）粒子從D點(diǎn)飛出磁場(chǎng)，速度方向改變了60°角，故AD弧對(duì)圓心角為60°，粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑R2=■＝■r，R2=■，B′＝■B，粒子在磁場(chǎng)中飛行時(shí)間t=■T=■=■。

數(shù)學(xué)知識(shí)在解物理習(xí)題中的運(yùn)用，除了上面舉的幾個(gè)例子外，三角函數(shù)、微分、比例、圖象等這些數(shù)學(xué)知識(shí)也經(jīng)常會(huì)用到。數(shù)學(xué)知識(shí)已滲透到物理問題的方方面面，因此，在學(xué)習(xí)中應(yīng)善于利用有關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問題，以培養(yǎng)自己正確分析物理過程和運(yùn)用數(shù)學(xué)工具解決物理問題的能力。

參考文獻(xiàn)：

［１］張士軍．利用均值不等式求解物理極值問題．教師，2009（6）．

［2］楊息祥．物理學(xué)中極值問題的應(yīng)用．考試周刊，2012（64）．

編輯 李建軍