基于符號相對熵的Logistic混沌系統(tǒng)時間不可逆性分析

徐紅梅 郭樹旭

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基于符號相對熵的Logistic混沌系統(tǒng)時間不可逆性分析

徐紅梅①②郭樹旭*①

①(吉林大學電子科學與工程學院 長春 130012)②(延邊大學工學院 延吉 133002)

混沌系統(tǒng)；Logistic系統(tǒng)；符號時間序列；相對熵；時間不可逆

1 引言

混沌現(xiàn)象是不含外加隨機因素的完全確定性系統(tǒng)所表現(xiàn)出來的內(nèi)部隨機行為，具有不可預測性和不確定性。在一定的控制方法和參數(shù)范圍內(nèi)，系統(tǒng)會出現(xiàn)周期運動和混沌現(xiàn)象。現(xiàn)有的混沌研究方法主要有分岔圖[8]，Lyapunov指數(shù)[9]，Jacobian矩陣法[10]等。這些方法直觀形象，但是需要進行大量計算，對于高維迭代映射，不動點和Jacobian矩陣計算更加困難。因此，采用解析方法分析混沌現(xiàn)象存在一定的局限。數(shù)學理論已經(jīng)證明，在1維非線性系統(tǒng)中得到的倍周期分岔序列與臨界點附近的標度性質(zhì)對于高維系統(tǒng)普遍適用[11]。因此，研究1維非線性系統(tǒng)的混沌具有普遍而重要意義，其中具有代表性的就是Logistic混沌系統(tǒng)。

從時間序列角度研究混沌，始于文獻[12]提出的相空間重構(gòu)理論。在信息論范疇，熵是對不確定性的最佳量化參數(shù)，對混沌系統(tǒng)產(chǎn)生的時間序列進行離散化處理，然后進行統(tǒng)計分析和量化，從而使從時間序列研究混沌成為可能。文獻[13]研究了噪聲相互關(guān)聯(lián)時間對Logistic系統(tǒng)亞穩(wěn)態(tài)穩(wěn)定性的影響，文獻[14]分析了Logistic混沌系統(tǒng)不同初值和系統(tǒng)參數(shù)的譜熵復雜性，文獻[15]研究了Logistic混沌系統(tǒng)突變時間序列臨界預警，文獻[16]指出時間序列不對稱性或不可逆性是混沌行為的重要標志，文獻[17]研究了腦電信號的時間不可逆性，文獻[18]研究了時間不可逆性與熵產(chǎn)之間的關(guān)系。

2 時間序列符號化和相對熵理論

2.1時間序列符號化

時間序列分析是由符號動力學、混沌時間序列分析和信息論衍生的形式較為簡單的嚴格數(shù)學方法，是實際動力系統(tǒng)的高度概括和抽象。根據(jù)時間序列與符號序列拓撲共軛的特性，將若干個可能值上的離散時間序列轉(zhuǎn)化為符號序列，符號化后序列能夠保持原有系統(tǒng)動力學特性，從而將混沌系統(tǒng)變成一個遍歷的信息源，可以采用信息論來分析符號序列。以1維單峰映射Logistic函數(shù)為例說明時間序列符號化方法。

經(jīng)典Logistic函數(shù)定義為

根據(jù)式(1)，經(jīng)推導可得

詹尋頂著黑眼圈，坐在一堆線裝書中間，幾只毛筆凌亂地散落在他的身邊。鋪在桌上的宣紙上，密密麻麻地寫滿了繁體字……

2.2 相對熵理論

根據(jù)KL(Kullback-Leibler divergence)散度理論[21]，離散型隨機變量的相對熵定義為

因為

相對熵反映符號序列前向分布和逆向分布的差異性。熵的本質(zhì)是變化的方向性和時間的方向性，只要相對熵可以計算且大于等于零，就表明存在時間不可逆性[21]。自然界的一切自發(fā)進行過程都是朝熵增方向進行的，在熵增原理的前提下，熵值較小對應于比較有序的狀態(tài)，熵值較大對應于比較無序的狀態(tài)，可逆過程的熵值為零。

3 Logistic混沌系統(tǒng)相對熵

圖1 Logistic返回映射(μ=4)

圖2 Logistic混沌系統(tǒng)分岔圖

3.1相對熵與數(shù)據(jù)長度關(guān)系

(2)當數(shù)據(jù)長度大于4000時，實際數(shù)據(jù)長度與理論要求一致，相對熵變化區(qū)間和標準差趨于穩(wěn)定。

3.2 相對熵與編碼長度關(guān)系

編碼長度越長實驗效果越明顯，考慮到算法復雜度及在實際應用中的實用性，編碼長度應取得短一些，綜合考慮以上諸因素，編碼長度取8位就能得到理想的實驗結(jié)果。

3.3 數(shù)據(jù)長度=5000, 編碼長度m=8時相對熵特性

圖3 Logistic混沌系統(tǒng)固定點隨參數(shù)μ變化曲線

圖4 Logistic混沌系統(tǒng)統(tǒng)計分布圖L=100000，M=100

圖5 Logistic混沌系統(tǒng)前向和逆向序列

圖7 Logistic混沌系統(tǒng)相對熵與編碼長度m的關(guān)系

圖8 L=5000, m=8, Logistic混沌系統(tǒng)符號序列相對熵3維圖

圖9 Logistic混沌系統(tǒng)相對熵變化范圍及相應標準差曲線

圖10 L=5000, m=8, Logistic混沌系統(tǒng)序列分布圖

4 結(jié)論

[1] Zhuang Qun-tao, Gao Xun, Ouyang Qi,.. Dynamical topology and statistical properties of spatiotemporal chaos[J]., 2012, 22(4): 043133.

[2] Wang Wen-xu, Yang Rui, Lai Ying-cheng,.. Predicting catastrophes in nonlinear dynamical systems by compressive sensing[J]., 2011, 106(4): 154101-1-154101-4.

[3] 鄭建煒, 王萬良, 蔣一波, 等. 概率型稀疏核Logistic多元分類機[J]. 電子與信息學報, 2011, 33(7): 1632-1638.

Zheng Jian-wei, Wang Wan-liang, Jiang Yi-bo,.. Probabilistic sparse kernel Logistic multi-classifier[J].&, 2011, 33(7): 1632-1638.

Hou Feng-zhen, Huang Xiao-lin, Zhuang Jian-jun,.. Multi-scale strategy and data surrogating test: two elements for the detection of time irreversibility in heart rate variabilities[J].,2012, 61(22): 220507-1-220507-6.

[5] Giaouris D, Banerjee S, Imrayed O,.. Complex interaction between tori and onset of three-frequency quasi-periodicity in a current mode controlled boost converter[J].,, 2012, 59(1): 207-214.

[6] Laugesen J L, Mosekilde E, and Zhusubaliyev Z T. Bifurcation structure of the-type period-doubling transition[J].:, 2012, 241(5): 488-496.

[7] Chen Yan-feng, Tse C K, Qiu Shui-sheng,.. Coexisting fast-scale and slow-scale instability in current-mode controlled DC/DC converters: analysis, simulation and experimental results[J]., 2008, 55(11): 3335-3347.

[8] De S, Dutta P S, and Banerjee S. Tours destruction in a nonsmooth noninvertible map[J]., 2012, 376(4): 400-406.

[9] Yao Tian-liang, Liu Hai-feng, Xu Jian-liang,.. Estimating the largest lyapunov exponent and noise level from chaotic time series[J]., 2012, 22(3): 033102.

[10] Kapat S, Patra A, and Banerjee S. Achieving monotonic variation of spectral composition in DC-DC converters using pulse skipping modulation[J]., 2011, 58(8): 1958-1966.

[11] 吳祥興. 混沌學導論[M]. 上海: 上?？茖W技術(shù)文獻出版社, 1997: 7-8.

[12] Packard J P, Crutchfield J P, Fanner J D,.. Geometry from a time series[J]., 1980, 45(9): 712-716.

[13] 楊林靜, 戴祖誠. 噪聲相互關(guān)聯(lián)時間對Logistic系統(tǒng)亞穩(wěn)態(tài)穩(wěn)定性的影響[J]. 物理學報, 2012, 61(10): 100509-1-100509-4.

Yang Lin-jing and Dai Zu-cheng. The effects of correlated time between noises on stability of unstable state in logistic system[J]., 2012, 61(10): 100509-1-100509-4.

[14] 孫克輝, 賀少波, 何毅, 等. 混沌偽隨機序列的譜熵復雜性分析[J]. 物理學報, 2013, 62(1): 010501-1-010501-8.

Sun Ke-hui, He Shao-bo, He Yi,.. Complexity analysis of chaotic pseudo-random sequences based on spectral entropy algorithm[J].,2013, 62(1): 010501-1-010501-8.

[15] 顏鵬程, 侯威, 胡經(jīng)國. 基于Logistic模型的均值突變時間序列臨界預警研究[J]. 物理學報, 2012, 61(18): 189202-1-189202-8.

Yan Peng-cheng, Hou Wei, and Hu Jing-guo. The critical warning research of the mean time series mutations based on Logistic model[J].,2012, 61(18): 189202-1-189202-8.

[16] Porporato A, Rigby J R, and Daly E. Irreversibility and fluctuation theorem in stationary time series[J]., 2007, 98(9): 094101-1-09410-14.

[17] 張梅, 王俊. 基于改進的符號相對熵的腦電信號時間不可逆性研究[J]. 物理學報, 2013, 62(3): 038701-1-038701-5.

Zhang Mei and Wang Jun. Modified symbolic relative entropy based electroencephalogram time irreversibility analysis[J].,2013, 62(3): 038701-1-038701-5.

[18] Roldán E and Parrondo J M R. Estimating dissipation from single stationary trajectories[J]., 2010, 105(15): 150607-1-150607-4.

[20] Wang Xue-mei, Zhang Bo, and Qiu Dong-yuan. The Quantitative characterization of symbolic series of a boost converter[J]., 2011, 26(8): 2101-2105.

[21] Rached Z, Alajaji F, and Campbell L L. The Kullback-Leibler divergence rate between markov sources[J]., 2004, 50(5): 917-921.

[22] 潘欣裕, 趙鶴鳴. Logistic 混沌系統(tǒng)的熵特性研究[J]. 物理學報, 2012, 61(20): 200504-1-200504-7.

Pan Xin-yu and Zhao He-ming. Research on the entropy of logistic chaos[J].,2012, 61(20): 200504-1-200504-7.

徐紅梅： 女，1975年生，博士生，研究方向為智能開關(guān)變換及控制、混沌動力學、無線通信技術(shù).

郭樹旭： 男，1959年生，教授，博士生導師，研究方向為數(shù)字圖像處理、高功率半導體激光器、無線通信技術(shù).

Time Irreversibility Analysis of Logistic Chaos System Based on Symbolic Relative Entropy

Xu Hong-mei①②Guo Shu-xu①

①(,,130012,)②(,,133002,)

Chaos system; Logistic system; Symbolic time series; Relative entropy; Time irreversibility

TM132

A

1009-5896(2014)05-1242-05

10.3724/SP.J.1146.2013.01262

郭樹旭 guosx@jlu.edu.cn

2013-08-20收到，2013-12-02改回