利用導(dǎo)數(shù)解決一些函數(shù)問(wèn)題

鄧格

摘 要：隨著課改的不斷深入，導(dǎo)數(shù)知識(shí)考查的要求逐漸加強(qiáng)，而且導(dǎo)數(shù)已經(jīng)由前幾年只是在解決問(wèn)題中的輔助地位上升為分析和解決問(wèn)題時(shí)不可缺少的工具。有關(guān)導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用主要類型有：求極限、求函數(shù)的切線、判斷函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的極值和最值、利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式、求參數(shù)范圍、解決實(shí)際問(wèn)題等，這些類型成為近兩年最閃亮的熱點(diǎn)，是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)之一。下面通過(guò)例題談?wù)勗鯓永脤?dǎo)數(shù)解決一些函數(shù)問(wèn)題。

關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù)；函數(shù)問(wèn)題；應(yīng)用類型

類型一：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的切線

例1.求曲線y=x3-2x2+1過(guò)點(diǎn)p（2，1）的切線方程.

解：（1）切點(diǎn)為p點(diǎn)時(shí)，由x=2時(shí)y′=4可得切線方程為4x-y+7=0

（2）切點(diǎn)不是點(diǎn)p時(shí)，設(shè)為p0（x0，y0），則有y-1=（3x20-4x0）（x-2）

又因?yàn)榍悬c(diǎn)是曲線上的點(diǎn)，所以有y0=x30-2x20+1.

可以求出x0=0，2，其中x0=2是切點(diǎn)為p的情況，所以x0=0.

求得切線方程為y=1.

這是一類易錯(cuò)題型，很容易忽略切點(diǎn)不是p點(diǎn)的情況，解題時(shí)需要注意，“求在點(diǎn)p處的切線”和“求過(guò)點(diǎn)的切線”二者的不同。

類型二：利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性

例2.求函數(shù)y=2x3-4x2+2x的單調(diào)區(qū)間。

解：y′=6x2-8x+2，由y′>0得6x2-8x+2>0，解得x<■或x>1.

由y′<0得6x2-8x+2<0，解得■

故所求單調(diào)增區(qū)間為（-∞，■），（1，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（1，■）.

利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟是：

（1）確定f（x）的定義域；

（2）求導(dǎo)數(shù)f′（x）；

（3）在函數(shù)f（x）的定義域內(nèi)解不等式f′（x）>0和f′（x）<0；

（4）確定f（x）的單調(diào)區(qū)間。若在函數(shù)式中含字母系數(shù)，往往要分類討論。

函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的一條重要性質(zhì)，也是高中階段研究的重點(diǎn)，我們一定要把握好以上三個(gè)關(guān)系，用導(dǎo)數(shù)判斷好函數(shù)的單調(diào)性。

類型三：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值、最值

例3.求函數(shù)f（x）=x3-27x的極值.

解：由f′（x）=3x2-27=0，解得x=3或x=-3.

當(dāng)x變化時(shí)，y′、y的變化情況如下：

■

當(dāng)x=-3時(shí)，y有極大值f（-3）=-54，當(dāng)x=3時(shí)，y有極小值f（3）=

-54.

求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟是：

（1）確定函數(shù)定義域，求導(dǎo)數(shù)f′（x）；

（2）求f′（x）=0的所有實(shí)數(shù)根；

（3）對(duì)每個(gè)實(shí)數(shù)根進(jìn)行檢驗(yàn)，判斷在每個(gè)根（如x0）的左右側(cè)，導(dǎo)函數(shù)f′（x）的符號(hào)如何變化，如果f′（x）的符號(hào)由正變負(fù)，則f（x0）是極大值；如果f′（x）的符號(hào)由負(fù)變正，則f（x0）是極小值。求出極值后再將極值與端點(diǎn)值進(jìn)行比較，就可以得到最值了。

在一些不等式的證明和解不等式問(wèn)題中，只要在解題過(guò)程中需要用到函數(shù)的單調(diào)性或最值，我們也都可以用導(dǎo)數(shù)作工具來(lái)解決。另外，導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中也有一些應(yīng)用，比如與幾何有關(guān)的最值問(wèn)題、與利潤(rùn)及其成本有關(guān)的最值問(wèn)題還有效率最值問(wèn)題等，這些問(wèn)題最終都可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題。在利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)問(wèn)題的過(guò)程中，只要加強(qiáng)對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解，重視數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用，就能夠很好地掌握這個(gè)工具，幫助我們解決問(wèn)題，也為今后的高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

（作者單位 湖北省孝感一中）

？誗編輯 馬燕萍