巧解三角函數(shù)最值問題

劉裕華

摘 要：主要介紹了如何利用三角函數(shù)的有界性、根的別式以及一元二次函數(shù)的方法求解三角函數(shù)的最值.

關鍵詞：最值；有界性；判別式；均值定理

在三角函數(shù)中常常碰到求最值的問題，它不僅與三角函數(shù)變換直接相關，還涉及二次函數(shù)、不等式等，它是這章的基本內(nèi)容，也是高考?？嫉闹R點.解決這類問題的基本途徑，一方面要充分利用三角函數(shù)本身的特殊性，另一方面還要注意將求解三角函數(shù)最值問題轉化為一些我們所熟知的函數(shù)最值問題.下面就本人的教學體會，淺析三角函數(shù)最值的幾種巧解方法.

一、巧用三角函數(shù)有界性

在三角函數(shù)中，正弦函數(shù)和余弦函數(shù)都具有一個重要的性質——有界性.利用三角函數(shù)的有界性是求解三角函數(shù)最值問題的基本途徑.

例1.當-■≤x≤■時，函數(shù)f（x）=sinx+■cosx的（ ）

A.最大值是1，最小值是-1 B.最大值是1，最小值是-■

C.最大值是2，最小值是-2 D.最大值是2，最小值是-1

分析：因為函數(shù)式中既有正弦函數(shù)又有余弦函數(shù)，故應先化為正弦型函數(shù)或余弦型函數(shù)求解.

解：∵f（x）=sinx+■cosx=2sin（x+■），

而-■≤x≤■，

∴-■≤x+■≤■.

∴當x+■=■時，f（x）有最大值為2；

當x+■=-■時，f（x）有最小值為-1.

故應選D.

例2.求函數(shù)y=■的值域.

分析：因為函數(shù)式中含有sinx，而sinx≤1，所以可把它轉化為sinx=f（y），再利用有界性求解.

解：∵y=■，

∴sinx=■.

∵-1≤sinx≤1，

∴-1≤■≤1，

∴-■≤y≤1.

∴原函數(shù)的值域為[-■，■].

二、巧化二次函數(shù)

在求解三角函數(shù)最值時，往往會含有平方或二倍角.對于此類題，可利用基本關系式或倍角公式轉化為二次函數(shù)求解.

例3.求函數(shù)y=cos2x-4sinx+3的最值.

分析：利用cos2x=1-sin2x就可把原函數(shù)式化為一個關于sinx的一元二次函數(shù)，然后配方即可求解.

解：y=cos2x-4sinx+3

=-sin2x-4sinx+4

=-（sinx+2）2+8.

∵-1≤sinx≤1，

∴-1≤y≤7.

所以ymin=-1，ymax=7.

注意：因為sinx≤1，即sinx+2不可能為零，所以y不能取到最大值8.

例4.求函數(shù)的值域.

分析：利用倍角公式cos2x=2cos2x-1也可把原函數(shù)化為二次函數(shù).

解：y=cos2x-cosx

=2cos2x-cosx-1

=2（cosx-■）2-■.

∵-1≤cosx≤1，

∴■≤x≤2.

例5.求函數(shù)y=（sinx-1）（cosx-1）的最值.

解：y=（sinx-1）（cosx-1）

=sinx·cosx-（sinx+cosx）+1.

設t=sinx+cosx=■sin（x+■），

則-■≤t≤■.

∵（sinx+cosx）2=t2，

∴sinx·cosx=■，

∴y=■-t+1=■（t-1）2.

當t=-■時，ymax=■+■；

當t=1時，ymin=0.

三、巧引判別式

例6.求■的最值.

解：令y=■.

去分母整理得：（y-1）tan2α+（y+1）tanα+（y-1）=0.

當y≠1時，上式為一個關于tanα的一元二次方程，且有兩個實數(shù)根.

所以？駐≥0，

即（y+1）2-4（y-1）2≥0，

3y2-10y+3≤0，

■≤y≤3（y≠1）.

當y=1時，由原函數(shù)表達式解得tanα=0，符合題意.

所以，ymin=■，ymax=3.

四、巧變不等式

運用均值定理是求最值的一種常用方法，但由于其約束條件“苛刻”（一正二定三相等），往往不能直接運用，要巧變后方可.

例7.已知0

誤解：∵00，■>0.

∴f（x）=■+sinx≥2■=4.

∴f（x）min=4.

在以上解答中忽視了“相等”的條件，這必然導致錯誤.事實上，不可能有sinx=■.

正確解法是：

∵0

∴0

∵f（x）=■+sinx=（sinx+■）+■，

∴f（x）≥2■+■=2+■.

∵當sinx=■，即sinx=1時，

（sinx+■）min=2，且（■）min=3，

∴f（x）min=2+3=5.

例8.設0<θ<π，求函數(shù)y=sin■（1+cosθ）的最大值.

解：∵0<θ<π，

∴sin■>0，cos■>0.

∵y=sin■（1+cosθ）=2sin■cos2■，

∴y2=4sin2■cos4■

=2（2sin2■cos2■cos2■）

≤2（■）3=2×（■）3

∴y≤■■.

當且僅當2sin2■=cos2■，即sin■=■時等號成立，所以函數(shù)y=sin■（1+cosθ）的最大值為■■.

點評：上題中巧妙地通過函數(shù)式兩邊同時平方后拆成三項，再利用sin2■+cos2■=1這個定值來應用均值定理求解.

以上介紹了求解三角函數(shù)最值問題的幾種方法，但數(shù)學題型千變?nèi)f化，解題時絕不能一成不變、生搬硬套，應根據(jù)具體情況，具體分析，同時亦要留意題目中一些隱含條件.

參考文獻：

[1]徐昱輝.高職高考數(shù)學專題復習[Z].廣東經(jīng)濟出版社，2007.

[2]季飛.求解三角函數(shù)最值有“型”可循[J].高中數(shù)學教與學，2007，8：32-33.

（作者單位 廣東省東莞市紡織服裝學校）

？誗編輯 韓 曉