抽屜原理的應(yīng)用

許強

摘 要：根據(jù)抽屜原理，在運用抽屜原理解決實際問題時，對不同構(gòu)造抽屜的方法進行了總結(jié)、歸納，以及詳細的分類。

關(guān)鍵詞：歸納；應(yīng)用；抽屜原理

Abstract：Based drawer principle，the principle of solving practical problems in the user of a drawer，the drawer of a different tectonic summary summarized，and a detailed breakdown.

Key words：induction；using；principle of drawer.

中圖分類：O165

一、基本原理

抽屜原理是數(shù)學(xué)中的一個重要原理，這個原理可以用一個常識性事實來說明。即：如果蘋果的數(shù)目大于抽屜的數(shù)目，則一定有某個抽屜至少放入了兩個蘋果。正是這個簡單的原理，可以幫助我們解決不少復(fù)雜的、趣味的、富有挑戰(zhàn)的問題。我們先來看它的命題和相關(guān)原理。

引理1：把n+1個物體分成n個組，那么至少有一個組里含有不少于兩個物體。

上面這個原理便是著名的抽屜原理，又名鴿巢原理，或狄得克雷原理。下面是由抽屜原理推廣得出的命題。

引理2：把m（m≥1）個物體分成n（n

引理3：（抽屜原則1）把m個物體，分別放入在n只抽屜里（n

k=■（當(dāng)n■m）■+1（當(dāng)n不整除m時）

式中，■表示不超過■的最大整數(shù)。

引理4：（抽屜原則2）設(shè)m1，m2，…，mn都是正整數(shù)，并有m1+m2+…+mn-n+1個物體放進n個抽屜里，則第一個抽屜里至少有m1個物體，或第二個抽屜里至少有m2個物體……或第n個抽屜里至少有mn個物體，至少其中之一成立。

引理5：（廣抽屜原則）把無窮多個元素的集合按任一確定的方式分成有限個子集合，必定至少有一個子集合包含有無窮多個元素。

二、抽屜原理在實際中的應(yīng)用

運用抽屜原理解題，首先要搞清需要對哪些元素進行分類，其次要找出分類規(guī)則，最后應(yīng)用抽屜原理得出結(jié)論。這里關(guān)鍵是構(gòu)造抽屜，現(xiàn)在我們看一下構(gòu)造抽屜的基本技巧和方法。

1.分割圖形造抽屜

例1.在邊長為1的正方形內(nèi)任給5個點，試證，其中必有兩個點，他們之間距離不大于■。

證明：由題意分析，應(yīng)設(shè)法把正方形分成四個“抽屜”，并且每個抽屜中任意兩點的最大距離不超過■。根據(jù)上述兩點，我們選擇單位正方形分成四個邊長為■的小正方形的辦法來構(gòu)造抽屜。由抽屜原理知，至少有一個小正方形內(nèi)至少有兩個點，又因為小正方形內(nèi)任意兩點的距離不大于■，所以命題得證。

2.對整數(shù)集合分類造抽屜

例2.對任意的1997個自然數(shù)a1，a2，…，a1997，中，總可以找到其中若干個數(shù)使他們的和是1997的倍數(shù)。

證明：考察a1，a1+a2，a1+a2+a3，…，a1+a2+…+a1997這1997個數(shù)，他們被1997除后的余數(shù)至多有0，1，2，…，1996這1997個類。

（1）若余數(shù)中有某個為0，問題顯然是獲證。

（2）若其中之一沒有余數(shù)為0時，問題變?yōu)?997個數(shù)歸入1996個類：“余1類”，“余2類”，…，“余1996類”。至少有兩個數(shù)屬于同一類。不妨設(shè)兩個數(shù)為a1+a2+…+am與a1+a2+…+am+am+1+…+ak（m

3.使用數(shù)偶造抽屜

例3.在坐標平面上，任意取5個整點，其中一定存在兩個整點，他們的連線中心仍是整點。

證明：平面上整點的坐標是有序整數(shù)對（x，y），對其按整數(shù)奇偶性分類，一共有四類，即：（奇，奇），（奇，偶），（偶，奇），（偶，偶），這樣就造成了四只“抽屜”。五個整點的坐標與四個抽屜對照，至少有兩個坐標奇偶性相同。不妨設(shè)這兩個整點是A1（x1，y1），A2（x1，y1），由于x1與x2，y1與y2的奇偶性相同，所以■，■均為整數(shù)，即線段A1A2的中點（■，■）是一個整點。

4.依對象的狀態(tài)進行分類構(gòu)造抽屜

例4.圍著一張可轉(zhuǎn)動的圓桌，均勻地放10把椅子。在桌上對著椅子放著10人的名片，當(dāng)10人隨意入座后，發(fā)現(xiàn)誰都沒有對上自己的名片。求證：適合地轉(zhuǎn)動桌子，至少能使兩人對上自己的名片。

證明：將桌子按逆時針旋轉(zhuǎn)，每轉(zhuǎn)36°就得到一種名片與人對應(yīng)的狀態(tài)。總計有10種不同狀態(tài)。在這10種狀態(tài)中，每人都有一次機會對著自己的名片，即人與自己的名片共有10次對號。由于最初的狀態(tài)里，誰都沒有與自己的名片對上號。即人與自己名片對上10次是分布在9個狀態(tài)里，故必有一個狀態(tài)，至少有兩人與名片對上號。

5.特殊抽屜構(gòu)造方法

例5.在100個連續(xù)自然數(shù)1，2，…，99，100中，任取51個數(shù)。試證明：在51個數(shù)中一定有兩個數(shù)，其中一個是另一個倍數(shù)。

證明：一個正整數(shù)要么是奇數(shù)，要么是偶