關(guān)于二元函數(shù)可微的充分條件證明過程的探討

韓曉艷

（青島工學(xué)院基礎(chǔ)教育學(xué)院，山東 青島 266300）

關(guān)于二元函數(shù)可微的充分條件證明過程的探討

韓曉艷

（青島工學(xué)院基礎(chǔ)教育學(xué)院，山東 青島 266300）

關(guān)于二元函數(shù)全微分存在的充分條件給予不同的證明過程，在高等數(shù)學(xué)的教材中一般都利用拉格朗日中值定理證明，本文主要利用無窮小與極限的關(guān)系予以證明，并且可以得出較弱的充分條件.

極限；無窮??；中值定理；可微

0 引言

可微定義如下：

如果函數(shù)z=f（x,y）在點(diǎn)（x0,y0）的全增量可表示為其中A、B不依賴于△x、△y而僅與x0,y0有關(guān)，，則稱函數(shù)z=f（x,y）在點(diǎn)（x0,y0）可微分.

可微的充分條件（見［2］中P21定理2）.

如果函數(shù)z=f（x,y）的偏導(dǎo)數(shù)fx（x,y）、fy（x,y）在點(diǎn)（x0,y0）連續(xù)，則函數(shù)在該點(diǎn)可微分.

1 預(yù)備知識

引理1無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系（見［1］中定理）.

2 主要結(jié)論

定理如果函數(shù)z=f（x,y）至少有一個偏導(dǎo)數(shù)不妨設(shè)fx（x,y）（或fy（x,y）在點(diǎn)（x0,y0）連續(xù)，則函數(shù)在該點(diǎn)可微分.

證考察函數(shù)的全增量

在第一個方括號內(nèi)的表達(dá)式，

應(yīng)用無窮小與極限的關(guān)系，得到

又依條件fx（x,y）在點(diǎn)（x0,y0）連續(xù)，得

由此可見，在一個偏導(dǎo)數(shù)fx（x,y）連續(xù)的假設(shè)下，全增量△z可以表示為

這就證明了z=f（x,y）在點(diǎn)（x0,y0）可微.

［1］同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)上冊［M］.北京：高等教育出版社，2006.

［2］同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)下冊［M］.北京：高等教育出版社，2006.

（編輯 郭繼榮）

O174

A

1673-1808（2014）03-0022-02

2014-03-17

韓曉艷（1982-），女，山西榆次人，青島工學(xué)院基礎(chǔ)教育學(xué)院，講師，碩士，研究方向：運(yùn)籌與控制論.