具有Crowley－Martin型功能反應(yīng)的隨機捕食－被捕食系統(tǒng)的穩(wěn)定性

劉顯清 鐘守銘 項麗江

(電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 四川成都 611731)

近年來，越來越多的學(xué)者致力于捕食－被捕食系統(tǒng)的研究。而捕食者的功能反應(yīng)(即捕食者對被捕食者的平均消費率)是研究捕食－被捕食系統(tǒng)的一個重要概念。Crowley－Martin型功能反應(yīng)是既依賴于被捕食者的密度，又依賴于捕食者的密度的一類功能反應(yīng)。在以往的文獻中，大都對具有Crowley－Martin型功能反應(yīng)的確定性模型的研究。另一方面，任何生態(tài)系統(tǒng)都不可避免地要受到環(huán)境噪聲的干擾。比如小到天敵捕食、生老病死、天氣的陰晴變化等，大到地震、洪水、火山爆發(fā)等。在某些實際情況下，用確定性模型對系統(tǒng)的行為所作的描述和預(yù)測并不總是令人滿意的。比如研究如何保護瀕危物種時，則完全不適宜用確定性的模型來研究。因此，

系統(tǒng)的隨機性不容忽視，對隨機捕食－被捕食系統(tǒng)的研究也越來越多［1－9］。這些文獻大都考慮了環(huán)境中白噪聲的干擾，模型中雖然有兩個噪聲源，但其耦合形式比較簡單。文獻［2］考慮了兩個噪聲源對兩種群都會有一定的影響。但文獻［2］只研究了系統(tǒng)的持久生存和滅絕性，而全局隨機漸近穩(wěn)定性也是生態(tài)系統(tǒng)研究中的一個不可缺少的重要性質(zhì)?；谝陨媳尘?，本文擬對如下模型進行研究:

其中，x和y分別表示被捕食者和捕食者的密度，bi為內(nèi)稟增長率，aii，ci，σi，μi(i=1，2)都是正常數(shù)。Bi(t)為定義在完備的概率空間(Ω，F(xiàn)，P)上的Brown運動(i=1，2)為隨機干擾的強度。

1 準備工作

定義1 見文獻［10］，考慮n維隨機微分方程

若z*∈Rn滿足f(z*，t)=0，g(z*，t)=0，?t≥0 則z*稱為方程(2)的均衡態(tài)。

(1)系統(tǒng)(2)的均衡態(tài)z*稱為隨機穩(wěn)定的(或依概率穩(wěn)定的)，如果對任意給定的ε∈(0，1)，r＞0，存在 δ=δ(ε，r，t0)＞0，使得P{|z(t;t0，z0)－z*|＜r，?t≥t0}≥1－ε，其中|z0－z*|＜0。不然，此均衡態(tài)就稱為是隨機不穩(wěn)定的。

(2)均衡態(tài)z*稱為隨機漸近穩(wěn)定的，如果它是隨機穩(wěn)定的，并且對任意給定的ε∈(0，1)，存在

引理1 見文獻［10］，如果存在正定的徑向無界函數(shù)V(x，t)∈C2，1(Rn×［t0，∞ ］;R+)，使得LV(x，t)是負定的，則方程(2)的均衡解x*是全局隨機漸近穩(wěn)定的，其中:

為了簡便起見，我們引入如下記法:

2 主要結(jié)果

定理1 令:

如果:

以及:

則對任意給定的初值(x(0)，y(0))，模型(1)的解滿足:

證明:定義Liapunov函數(shù)V1(x)=x－x*－x*ln(x/x*)，V2(y)=y－y*－y*ln(y/y*)，其正定性可以從u－1－lnu≥0，u＞0看出。為了方便起見，記l(x，y)=1+αx+βy+αβxy。若(x(t)，y(t))∈R2+，運用 It公式，計算可得:

再由1+αx+βy+αβxy≥1得到:

易知d1/d2＞0。定義:

所以有:

3 數(shù)值模擬

下面將使用文獻［11］中給出的Milstein方法來模擬上面關(guān)于隨機捕食－被捕食系統(tǒng)(1)所得到的結(jié)果?？紤]系統(tǒng)(1)相應(yīng)的離散化系統(tǒng):

其中，ξk和 ηk(k=1，2，…n)都是服從N(0，1)的Gauss隨機變量。

圖1 ====0的隨機捕食－被捕食系統(tǒng)Fig.1 Stochastic predator－ prey system for====0

圖2 ==0.1=0.13=0.15的隨機捕食－被捕食系統(tǒng)Fig.2 Stochastic predator－ prey sestem for= =0.1=0.13=0.15

圖3 =0.1=30=0.2=30的隨機捕食－被捕食系統(tǒng)Fig.3 Stochastic predator－ prey sestem for=0.1=30，=0.2=30

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