基于振動模態(tài)分析的鋼軌中超聲導(dǎo)波傳播特性數(shù)值計算方法

何存富，劉青青，焦敬品，劉 飛，吳 斌

（北京工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程與應(yīng)用電子技術(shù)學(xué)院，北京 100124）

其中：級數(shù)中的每一項代表了一個在空間具有固定模式并按一定頻率振動的駐波?？梢钥闯?，振動解利用

基于振動模態(tài)分析的鋼軌中超聲導(dǎo)波傳播特性數(shù)值計算方法

何存富，劉青青，焦敬品，劉 飛，吳 斌

（北京工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程與應(yīng)用電子技術(shù)學(xué)院，北京 100124）

針對鋼軌等復(fù)雜異型波導(dǎo)結(jié)構(gòu)中超聲導(dǎo)波頻散特性難于求解的問題，通過振動模態(tài)分析提取出鋼軌中超聲導(dǎo)波傳播特性。基于振動特征頻率和波動解互相轉(zhuǎn)化的原理，將振動模態(tài)分析獲得的特征頻率解，轉(zhuǎn)換成波動解，進(jìn)而提取出鋼軌的頻散特性。同時，還可以由結(jié)構(gòu)振動分析中獲得的變形信息，計算出超聲導(dǎo)波的波結(jié)構(gòu)。通過對計算出的鋼軌中低階超聲導(dǎo)波模態(tài)頻散特性和波結(jié)構(gòu)分析，選擇出適合鋼軌無損檢測的超聲導(dǎo)波模態(tài)類型和頻率范圍，為后續(xù)專用超聲導(dǎo)波傳感器設(shè)計和檢測實驗提供理論支持。

模態(tài)分析；特征頻率法；鋼軌；超聲導(dǎo)波；頻散特性；波結(jié)構(gòu)

高速鐵路由于具有高速、大容量等優(yōu)勢，已經(jīng)成為現(xiàn)代社會最重要的交通運輸方式之一。隨著我國高速鐵路運營里程的跨越式發(fā)展以及客運高速化、貨運重載化的發(fā)展，對高速鐵路運輸?shù)陌踩砸笕找嫣岣?。特別是“7·23”動車追尾特大交通事故后，高速鐵路運輸?shù)陌踩愿莻涫苋藗冴P(guān)注。

作為高速鐵路運輸系統(tǒng)的重要組成部件，軌道具有引導(dǎo)機(jī)車前進(jìn)、承受機(jī)車荷載以及將其傳遞至軌枕上的功能。由于自身材質(zhì)缺陷以及長期受到各種外力及環(huán)境腐蝕綜合作用，在軌道上會產(chǎn)生局部損傷甚至宏觀斷裂，從而導(dǎo)致列車出軌、傾覆等重大行車安全事故，造成人員傷亡和財產(chǎn)損失。因此，需要利用各種無損檢測技術(shù)對鋼軌的損傷狀態(tài)進(jìn)行檢測。目前，常見的鋼軌檢測方法有超聲波法、軌道電路、應(yīng)變片檢測法、光纖斷軌檢測法等。這些常規(guī)方法還不能滿足現(xiàn)代軌道安全評價的需要，迫切需要發(fā)展高效、快捷的軌道無損檢測新技術(shù)。作為一種新型無損檢測技術(shù)，超聲導(dǎo)波由于具有傳播距離遠(yuǎn)、檢測效率高等優(yōu)點，對于鋼軌大范圍缺陷檢測具有特殊優(yōu)勢，因此，鋼軌超聲導(dǎo)波檢測技術(shù)也是目前國內(nèi)外無損檢測領(lǐng)域研究的熱點問題。

由于超聲導(dǎo)波的檢測效果很大程度上取決于所選超聲導(dǎo)波模態(tài)的傳播特性。因此，對結(jié)構(gòu)進(jìn)行超聲導(dǎo)波檢測時，首先需要根據(jù)結(jié)構(gòu)中超聲導(dǎo)波的傳播特性，如頻散、波結(jié)構(gòu)、衰減及可激勵性，選擇合適的超聲導(dǎo)波模態(tài)類型和頻率范圍。對于規(guī)則截面波導(dǎo)（如板、桿、管）中超聲導(dǎo)波的傳播特性，其數(shù)值計算方法已經(jīng)很成熟［1－5］，且已有商用的數(shù)值分析軟件［6］。但對于鋼軌等異型截面波導(dǎo)中超聲導(dǎo)波傳播特性的研究，商用軟件無法完成其分析計算。因此，異型截面波導(dǎo)中超聲導(dǎo)波傳播特性研究目前仍是超聲導(dǎo)波研究領(lǐng)域的難點和熱點問題。

國外很多學(xué)者［7－8］開展了異型截面波導(dǎo)中超聲導(dǎo)波傳播特性研究。例如，Rose等［9］利用半解析有限元的方法對任意截面波導(dǎo)中超聲導(dǎo)波的傳播問題進(jìn)行了研究，計算出100 kHz頻率范圍鋼軌中主要導(dǎo)波模態(tài)的相速度、群速度頻散曲線，并在軌頭踏面、軌頭側(cè)面進(jìn)行了超聲導(dǎo)波試驗驗證。同樣采用半解析有限元方法，Lee等［10］采用半解析有限元的方法對鋼軌中瑞利波及高頻蘭姆波傳播特性進(jìn)行了研究，并通過試驗證明其對軌頭下方的橫向裂紋檢測具有很好的敏感性。Coccia等［11］采用半解析有限元對不同激勵條件下鋼軌軌頭中導(dǎo)波傳播特性進(jìn)行了研究，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，對稱激勵時，能量主要集中在軌頭踏面；非對稱激勵時，能量集中于軌頭側(cè)面。Hesse等［12］采用半解析有限元法對鋼軌中表面波傳播特性進(jìn)行了理論分析。

綜上所述，對于任意截面波導(dǎo)（包括鋼軌）中超聲導(dǎo)波傳播特性的計算方法較單一，多采用半解析有限元計算頻散特性，然后結(jié)合其他方法仿真或?qū)嶒炦M(jìn)行驗證。針對以上研究現(xiàn)狀，基于結(jié)構(gòu)振動解與波動解的互化原理，本文利用振動模態(tài)分析的方法進(jìn)行鋼軌中超聲導(dǎo)波傳播特性的計算。

1 波動特性的振動求解原理

在給定擾動源及邊界條件、初始條件下，彈性體的動力響應(yīng)有波動解和振動解兩種形式。介質(zhì)中擾動質(zhì)點間的彈性力逐漸傳播的過程，稱為彈性波。對于有界介質(zhì)，由于擾動在其邊界上來回反射，使得整個物體在其平衡位置附近呈現(xiàn)出一種周期性振蕩現(xiàn)象，稱為彈性體的振動。彈性波和彈性體的振動之間存在著本質(zhì)的內(nèi)在聯(lián)系，可以看作是同一物理問題的不同表現(xiàn)形式。即擾動一開始總是以行波的方式將能量傳播出去，而當(dāng)物體有界時，由于行波的來回反射，最終使物體處于定常的運動狀態(tài)，則表現(xiàn)為振動現(xiàn)象。彈性體的振動是波動過程的一種特殊形式。振動解可表示為無窮級數(shù)形式：無窮多個駐波的迭加描述了行波的傳播，而駐波是由相同頻率的簡諧行波迭加得到。因此，通過傅里葉級數(shù)可以將波動解與振動解聯(lián)系起來［13］。波動特性可以通過以下振動分析求解得到。

其中：級數(shù)中的每一項代表了一個在空間具有固定模式并按一定頻率振動的駐波?？梢钥闯?，振動解利用

彈性體振動方程可以表示為：

其中：M為質(zhì)量，C為阻尼系數(shù)，K為彈性系數(shù)。

利用特征頻率法對彈性體振動方程進(jìn)行動力學(xué)求解，得到不同特征模態(tài)的振型Φ。通過對不同頻率下不同特征模態(tài)的振型分析，可以計算出不同頻率下該模式波的波數(shù)，從而得到該模式波的相速度

其中：cp為相速度，L為模型長度，k為波數(shù)。

進(jìn)而求得其群速度

cg為群速度，Δf為頻率差，Δk為波數(shù)差。

因此，利用振動解與波動解互化原理，通過對結(jié)構(gòu)的振動模態(tài)分析，可以計算出任意截面波導(dǎo)的相速度及群速度頻散特性，同時，還可以由結(jié)構(gòu)振動分析中獲得的變形信息，計算出超聲導(dǎo)波的波結(jié)構(gòu)。下面以鋼軌異型截面波導(dǎo)為例，說明基于振動模態(tài)分析對任意截面波導(dǎo)中超聲導(dǎo)波傳播特性計算的有效性。

2 鋼軌振動模態(tài)的有限元模型

基于COMSOLMultiphysics有限元軟件平臺，進(jìn)行鋼軌振動模態(tài)分析。參考GB 2585－2007標(biāo)準(zhǔn)［14］，對60 kg／m鋼軌進(jìn)行有限元分析，軌底寬為150 mm，鋼軌高度為176mm，軌頭寬為73mm。由于結(jié)構(gòu)的對稱性，在計算鋼軌中對稱模態(tài)導(dǎo)波傳播特性時，可以對其有限元分析模型進(jìn)行簡化，取鋼軌的一半進(jìn)行分析，模型如圖1所示。其中，x方向為鋼軌橫截面的寬度方向，y方向為鋼軌橫截面的高度方向，z方向為鋼軌長度方向。

圖1 鋼軌有限元分析模態(tài)Fig.1 Rail finite element analysismode

建立鋼軌模型后，需要對其進(jìn)行參數(shù)設(shè)置，主要包括材料屬性、邊界條件、網(wǎng)格劃分、求解方式等。其中的材料性能參數(shù)設(shè)置主要包括：鋼軌密度為7 824 kg／m3，楊氏模量為2.09×1011Pa，泊松系數(shù)0.29，熱膨脹系數(shù)為1.21×10－51／K。有限元分析網(wǎng)格劃分中設(shè)定的最大單元尺寸為0.000 3，網(wǎng)格單元層數(shù)為250層。求解方式選擇特征頻率求解，設(shè)定分析的特征頻率范圍為0～50 kHz。

3 結(jié)果分析

圖2和圖3給出50 kHz低頻段范圍內(nèi)，幾個典型模態(tài)的振型云圖。從圖2可以看出，隨著頻率的增大，振動從遍及整個截面逐漸過渡為集中在截面的局部區(qū)域，振動趨向復(fù)雜。

從圖2（c）和圖3中I～Ⅴ幾種不同模態(tài)在46 kHz附近的振動云圖可以看出，模態(tài)Ⅰ、Ⅱ、Ⅳ、Ⅴ振動主要集中在軌底部分，模態(tài)Ⅲ振動主要集中于軌頭部分，且模態(tài)振動幅度有差別。

圖2 模態(tài)Ⅰ振型圖Fig.2 Shapes ofmodalⅠ

圖3 模態(tài)振型圖Fig.3 Modal shapes

3.1 頻散特性

在模態(tài)分析基礎(chǔ)上，根據(jù)不同頻率下不同特征模態(tài)的振型，計算出不同頻率下該模式波的波數(shù)。圖4給出通過模態(tài)分析獲得50 kHz頻率范圍內(nèi)對稱模態(tài)導(dǎo)波的波數(shù)－頻散曲線。

根據(jù)式（2）及式（3），可進(jìn)一步計算得到50 kHz頻率范圍內(nèi)鋼軌的相速度及群速度頻散曲線，結(jié)果如圖5和圖6所示。

可以看出，隨著頻率的增加，鋼軌中超聲導(dǎo)波模態(tài)的數(shù)量急劇增加，且不同模態(tài)的導(dǎo)波均存在頻散現(xiàn)象。因此，在進(jìn)行鋼軌超聲導(dǎo)波檢測參數(shù)選擇時，需要考慮超聲導(dǎo)波的這些傳播特性，通過探頭設(shè)計及檢測參數(shù)優(yōu)化避免多模態(tài)激勵，并避開頻散嚴(yán)重的檢測頻帶。

為清晰反映圖2～3中五種模態(tài)導(dǎo)波的頻散特性，圖7給出該五種模態(tài)導(dǎo)波的群速度頻散曲線。其中，模態(tài)Ⅰ為粉色圓點曲線，模態(tài)Ⅱ為天藍(lán)色圓點曲線，模態(tài)Ⅲ為紅色圓點曲線，模態(tài)Ⅳ為綠色圓點曲線，模態(tài)Ⅴ為藍(lán)色圓點曲線。

圖4 鋼軌中超聲導(dǎo)波的波數(shù)頻散曲線Fig.4 Wavenumber dispersion curves of ultrasonic guided wave in rail

圖5 鋼軌相速度頻散曲線Fig.5 Phase velocity dispersion curves of rail

圖6 鋼軌群速度頻散曲線Fig6.Group dispersion curves in rail

3.2 波結(jié)構(gòu)

根據(jù)不同頻率下各模態(tài)的位移分析，可以得到不同頻率下各模態(tài)導(dǎo)波的波結(jié)構(gòu)。圖8～圖12給出46 kHz附近Ⅰ～Ⅴ五種模態(tài)導(dǎo)波的波結(jié)構(gòu)。對比可以發(fā)現(xiàn)，模態(tài)Ⅰ、Ⅱ、Ⅳ、Ⅴ的位移主要集中在軌底部位，而模態(tài)Ⅲ的位移集中在軌頭部位。對比模態(tài)Ⅰ、Ⅱ、Ⅳ、Ⅴ沿不同方向位移分布可知，在軌底部位，模態(tài)Ⅳ沿導(dǎo)波傳播方向位移較大，且在軌底部分分布較均勻，因此，該頻率的模態(tài)Ⅳ在軌底中傳播能力強(qiáng)，對整個軌底部分的缺陷具有較高靈敏度，適合軌底無損檢測使用。

圖8 在46.4 kHz處模態(tài)Ⅰ的波結(jié)構(gòu)Fig.8Wave structure of modalⅠat 46.4 kHz

圖9 模態(tài)Ⅱ在46.6 kHz時的波結(jié)構(gòu)Fig.9 Wave structure of modalⅡat 46.6 kHz

圖10 模態(tài)Ⅲ在46.3 kHz時的波結(jié)構(gòu)Fig.10 Wave structure of modalⅢat46.3 kHz

圖11 模態(tài)Ⅳ在46.2 kHz時的波結(jié)構(gòu)Fig.11 Wave structure of modalⅣat46.2 kHz

圖12 模態(tài)Ⅴ在46.5 kHz時的波結(jié)構(gòu)Fig.12 Wave structure of modalⅤat46.5 kHz

4 結(jié) 論

利用振動模態(tài)分析法，本文實現(xiàn)鋼軌異型截面波導(dǎo)中超聲導(dǎo)波頻散和波結(jié)構(gòu)等波動特性計算。并在低頻50 kHz范圍內(nèi)，對五種典型模態(tài)導(dǎo)波的頻散特性和波結(jié)構(gòu)進(jìn)行了對比分析。研究發(fā)現(xiàn)，在46 kHz附近，各模態(tài)導(dǎo)波頻散相對較小，且Ⅰ、Ⅱ、Ⅳ、Ⅴ模態(tài)位移主要集中在軌底，而其中的中模態(tài)Ⅳ在軌底中傳播能力最強(qiáng)，且在軌底部位具有較均勻的位移分布，適合于軌底部位的無損檢測。模態(tài)Ⅲ的位移集中在軌頭部位，適合于軌頭部位的無損檢測。后續(xù)將基于理論分析結(jié)果，利用選定的導(dǎo)波模態(tài)類型和頻率范圍，開展軌底和軌頭部位的無損檢測實驗研究。

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Propagation characteristics of ultrasonic guided wave in rails based on vibration modal analysis

HE Cun-fu，LIU Qing-qing，JIAO Jing-pin，LIU Fei，WU Bin
（College of Mechanical Engineering and Applied Electronic Technology，Beijing University of Technology，Beijing 100124，China）

Aiming at difficult problems to solve the dispersion characteristics of ultrasonic guided wave in complex waveguide structures，such as，rails，here the vibration modal analysis method was used to extract the propagation characteristics of ultrasonic guided wave.Based on the principle that vibration characteristic frequencies and wave solutions can convert each other，the solutions of characteristic frequencies obtained with vibration modal analysis were converted into wave solutions，and then the dispersion characteristics of railswere extracted.Deformation information was gained from vibration analysis of a structure，and with it the wave structure of ultrasonic guided wave was calculated.The dispersion information and wave structure information of lower ordermodes of ultrasonic guided wave were analyzed，the modal type of ultrasonic guided wave and its frequency range were selected，all of them provided a theoretical support for designing special ultrasonic guided wave sensors andmeasuring tests.

modal analysis；method of characteristic frequencies；rail；ultrasonic guided wave；dispersion characteristics；wave structure

TB553

A

國家自然科學(xué)基金項目（51235001，11272017）；北京市自然科學(xué)基金項目（1122005）

2012－12－12 修改稿收到日期：2013－03－19

何存富男，博士，教授，1958年7月生