數(shù)學(xué)教學(xué)中逆向思維的培養(yǎng)

丁正紅

高中數(shù)學(xué)具有較高的抽象性和較強(qiáng)的邏輯性，是一門需要較高思維能力的學(xué)科，也是促使學(xué)生加強(qiáng)思維鍛煉、激發(fā)思維火花、提高思維層次和提升智力水平的重要基礎(chǔ)學(xué)科.高中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐表明，在課堂教學(xué)中加強(qiáng)逆向思維引導(dǎo)和訓(xùn)練，有助于加速學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的理解，有助于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)分析水平，有助于提升學(xué)生解決實(shí)際數(shù)學(xué)問題的實(shí)踐能力.特別是在相對(duì)抽象的數(shù)學(xué)問題面前，當(dāng)采取傳統(tǒng)的正向的思維方式難以解決的數(shù)學(xué)問題，不妨轉(zhuǎn)換不同視角和思維方式，采取逆向思維的方式對(duì)問題進(jìn)行重新梳理、分析，往往可以起到“柳暗花明又一村”的奇效.

下面結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐談點(diǎn)體會(huì).

一、采取逆向思考，把握數(shù)學(xué)定義的深刻內(nèi)涵

在傳統(tǒng)的高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，多數(shù)教師通常只注重以“順從與正向”的思維方式，引領(lǐng)學(xué)生梳理、分析數(shù)學(xué)概念、定義等基礎(chǔ)知識(shí).無疑，采取這種意向的思維方式，引導(dǎo)學(xué)習(xí)去理解、記憶和把握，有一定效果.然而，教學(xué)實(shí)踐表明，在采取正向思維方式對(duì)相關(guān)概念與定義梳理之后，如果再采取逆向思維的方式去“反證”其條件與結(jié)果，往往可以促使學(xué)生對(duì)其理解得更加深刻，把握得更加深透.這樣，不僅加強(qiáng)了學(xué)生按照常規(guī)的“順向”思維理解、應(yīng)用概念與定義的能力，而且還有力推動(dòng)了學(xué)生的思維訓(xùn)練，并加深了他們對(duì)概念與定義的掌握程度.

例如，在講“奇函數(shù)”時(shí)，按照“順向”思維方式理解，如果函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)，對(duì)于任意一個(gè)x，都存在f（-x）= - f（x），則該函數(shù)f（x）就叫做奇函數(shù)，可以給予學(xué)生初步的感性認(rèn)知，認(rèn)識(shí)到該函數(shù)在直角坐標(biāo)系上的幾何意義是“關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱”.而當(dāng)教師引導(dǎo)學(xué)生采取逆向思維的方式提問：如果某函數(shù)f（x）存在f（-x）=-f（x）這一特性，那么該函數(shù)就是奇函數(shù)嗎？這樣，不僅可以促使學(xué)生加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的分析與探究，提高他們對(duì)知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)知深度，讓他們?cè)谡蚝湍嫘蛑?、條件和結(jié)論的互換中得到新的認(rèn)識(shí)，增長(zhǎng)了知識(shí)的同時(shí)，鍛煉了思維.

二、采取逆向思維，把握數(shù)學(xué)性質(zhì)法則的內(nèi)在規(guī)律

在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，數(shù)學(xué)概念和定義等基礎(chǔ)知識(shí)非常重要，要求學(xué)生必須熟練掌握和應(yīng)用.而數(shù)學(xué)知識(shí)的性質(zhì)、定理和法則等，同樣是學(xué)科學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)，必須熟練掌握和應(yīng)用.對(duì)于這些性質(zhì)、定理、定律和法則等的推導(dǎo)，在教材中和相關(guān)教參中，較為常見的方法是根據(jù)基本概念和基礎(chǔ)知識(shí)體系，循序漸進(jìn)地進(jìn)行邏輯推導(dǎo).這種方式是可行的，也是有效的，但顯然比較煩瑣，教學(xué)中對(duì)學(xué)生思維的定力要求比較高.然而當(dāng)引入逆向思維，如采取“反證法”、“等價(jià)關(guān)系”、“充要條件”等逆向思維進(jìn)行梳理和理解，對(duì)相關(guān)性質(zhì)、定理和法則的內(nèi)在規(guī)律的理解和把握將會(huì)更加深刻.

例如，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)定理和法則中的已知命題進(jìn)行“逆向梳理”，構(gòu)建出“逆命題”、“否命題”等形式，促使他們通過“逆”的方向進(jìn)行思考，采取“否”的方式進(jìn)行“反推”，從而揣摩出“已知命題”與“逆命題”之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系，進(jìn)而對(duì)命題的“條件”和“結(jié)論”形成更加深刻的理解與記憶，對(duì)“充分條件”和“必要條件”更具有清醒的認(rèn)識(shí)，以至于更加深刻、更加準(zhǔn)確地把握數(shù)學(xué)性質(zhì)法則的內(nèi)在規(guī)律，達(dá)到左右逢源、融會(huì)貫通的境界，有力地提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維層次與水平，提升他們綜合理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力.

二、采取逆向思維，不斷提升解決數(shù)學(xué)問題的能力

高中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐表明，數(shù)學(xué)問題中確實(shí)有許多問題，如果采取傳統(tǒng)的常規(guī)的解決思路和方法，極有可能將問題引入到更為復(fù)雜、更為繁難的處境，特別是對(duì)于一些已知條件比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，試圖通過“正向”的思維方式進(jìn)行解題，必然會(huì)遇到很大困難.而如果教師引導(dǎo)學(xué)生通過采用“逆向”的思維方式進(jìn)行梳理，從問題的結(jié)論反面來考慮問題的條件與結(jié)論，往往可以促使學(xué)生產(chǎn)生“豁然開朗”的感覺.無疑，這有力地豐富了解決數(shù)學(xué)問題的方式與方法，并有力地提升了學(xué)生分析問題、解決問題的能力.

例如，在教學(xué)中遇到這么一道數(shù)學(xué)習(xí)題：試討論數(shù)學(xué)方程（a+2）x2-8x+a=0中的a在什么條件下，可以促使方程存在至少一個(gè)正的實(shí)數(shù)根？顯然，如果按照常規(guī)的“正向”思維方式對(duì)習(xí)題分析，則可以得到“至少一個(gè)正的實(shí)數(shù)根”.意味著方程的解有以下兩種情況：一是存在兩個(gè)正的實(shí)數(shù)根；二是存在一個(gè)正的實(shí)數(shù)根.對(duì)于這種數(shù)學(xué)討論，顯然比較煩瑣，而如果采取“反向”思維的方式，可以梳理出問題的反面就是“方程的兩個(gè)根都是負(fù)數(shù)”，問題就變得簡(jiǎn)單得多了.這樣，不僅提升學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力，而且鍛煉了學(xué)生的思維能力.

總之，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，充分利用現(xiàn)有條件，緊貼教學(xué)內(nèi)容，不斷加強(qiáng)數(shù)學(xué)知識(shí)體系的內(nèi)在關(guān)聯(lián)梳理，嘗試從多個(gè)角度、多個(gè)方位對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行探究，善用“逆向”這把數(shù)學(xué)思維中的利劍，往往可以降低學(xué)生理解、分析和解決問題的難度，促使學(xué)生獲得一種更加快捷、簡(jiǎn)便的學(xué)習(xí)方法，鍛煉和提高了學(xué)生的思維能力，同時(shí)促進(jìn)了他們對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極性、主動(dòng)性.