Matlab分析連續(xù)控制系統(tǒng)的根軌跡

萬(wàn)萍

摘 要 借助于國(guó)際上流行的控制系統(tǒng)計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)軟件matlab對(duì)連續(xù)控制系統(tǒng)進(jìn)行分析，首先以自動(dòng)控制原理為基礎(chǔ)，對(duì)連續(xù)控制系統(tǒng)進(jìn)行分析，建立傳遞函數(shù)模型，分析系統(tǒng)的根軌跡。

關(guān)鍵詞 控制系統(tǒng)；matlab；函數(shù)模型；根軌跡

中圖分類號(hào)：TP13 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1671-7597（2014）07-0182-01

1 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型

連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)用微分方程描述。對(duì)于單輸入單輸出（SISO）系統(tǒng)數(shù)學(xué)模的一般形式為：

any（n）（t）+an-1y（n-1）（t）+…+a0y（0）（t）=bmu（m）（t）+bm-1u（m-1）（t）+…+b0u（0）（t）

其中，y和u分別為系統(tǒng)的輸入與輸出；ai與bi分別表示輸入和輸出各導(dǎo)數(shù)項(xiàng)系數(shù)。

1.1 模型介紹

傳遞函數(shù)的定義：在零初始條件下，線性定常系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與系統(tǒng)輸入量的拉氏變換之比。對(duì)于一個(gè)SISO連續(xù)系統(tǒng)，系統(tǒng)相應(yīng)的微分方程如上式所示，對(duì)此微分方程作Laplace變換，則該連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：

1.2 模型建立

在matlab中，用函數(shù)tf可以建立一個(gè)連續(xù)系統(tǒng)傳遞函數(shù)模型，其調(diào)用格式為sys=tf（num，den）其中，num為傳遞函數(shù)分子系統(tǒng)向量，den為傳遞函數(shù)分母系數(shù)向量。

例1：連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為G（s）=（s+5）/（s2+s+6）

用MATLAB建立該系統(tǒng)傳遞函數(shù)模型和運(yùn)行結(jié)果如下：

num=[1，5]； Transfer function：

den=[1，1，6]； s+5

sys=tf（num，den） s^2 + s + 6

2 控制系統(tǒng)的根軌跡分析

經(jīng)典控制系統(tǒng)經(jīng)常用傳遞函數(shù)來(lái)描述，系統(tǒng)設(shè)計(jì)往往借助于系統(tǒng)頻率特性，根軌跡法是最常用的方法。本節(jié)將就連續(xù)控制系統(tǒng)的根軌跡方程，根軌跡圖的繪制以及根軌跡在matlab中的實(shí)現(xiàn)來(lái)分析連續(xù)控制系統(tǒng)的根軌跡。

根軌跡的一般定義是：當(dāng)系統(tǒng)中某參數(shù)（通常指開(kāi)環(huán)增益）由0時(shí)，系統(tǒng)死循環(huán)極點(diǎn)在S平面上運(yùn)動(dòng)的軌跡。

2.1 根軌跡方程

若系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為G（s）H（s），則系統(tǒng)死循環(huán)特征方程為：1+G（s）H（s）=0

以零極點(diǎn)的形式，上式可寫(xiě)成

此即為根軌跡方程。式中Zi（i=1，2，…，m）為系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)零點(diǎn)，Pi（i=1，2，…，n）為系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)，K為系統(tǒng)的根開(kāi)環(huán)增益。滿足根軌跡方程的所有s值必然都是系統(tǒng)可能的死循環(huán)極點(diǎn)；對(duì)于每一個(gè)死循環(huán)極點(diǎn)，系統(tǒng)都有相應(yīng)的增益值。

2.2 根軌跡的MATLAB實(shí)現(xiàn)

MATLAB中有三個(gè)函數(shù)用于根軌跡繪制和分析，它們分別是rlocus、rlocfind和sgrid。函數(shù)rlocus的調(diào)用格式為（sys為系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)模型）：

rlocus（num，den）；rlocus（num，den，k）；

rlocus（sys） 繪制根軌跡圖；r= rlocus（sys）返回系統(tǒng)死循環(huán)特征根值r；[r，k]=rlocus（sys）返回系統(tǒng)增益。

例2、已知某系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為G（s）H（s）=K/s（s+1），增加零點(diǎn)后的傳遞函數(shù)分別為G（s）H（s）=K（s+2）/s（s+1）和G（s）H（s）=K（s+0.5）/s（s+1），試討論對(duì)根軌跡和系統(tǒng)性能的影響。

MATLAB程序如下：

clc

clear

num1=[1]； %原系統(tǒng)

den1=[1 1 0]；

subplot（3，1，1）；

rlocus（num1，den1）

num2=[1 5]； %增加零點(diǎn)z=5

den2=[1 1 0]；

subplot（3，1，2）；

rlocus（num2，den2）

num3=[1 0.5]； %增加零點(diǎn)z=0.5

den3=[1 1 0]；

subplot（3，1，3）；

rlocus（num3，den3）

3 結(jié)論

應(yīng)用matlab進(jìn)行對(duì)線性連續(xù)控制系統(tǒng)的根軌跡的分析可以更加形象、快捷地展現(xiàn)參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)性能的影響，使我們加快、加深對(duì)自動(dòng)控制理論的理解與接受，更加直觀的了解控制系統(tǒng)中的各種響應(yīng)及其分析方法。

參考文獻(xiàn)

[1]黃堅(jiān).自動(dòng)控制原理及其應(yīng)用[M].北京：高等教育出版社，2004.

[2]鄭阿奇，曹戈，趙陽(yáng).MATLAB實(shí)用教程[M].北京：電子工業(yè)出版社，2004.endprint