麥克斯韋方程反演的大范圍收斂共軛斜量法

王 迎

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麥克斯韋方程反演的大范圍收斂共軛斜量法

王 迎

(黑龍江工業(yè)學(xué)院 機(jī)械工程系，黑龍江 雞西 158100)

針對麥克斯韋方程中的電導(dǎo)率參數(shù)反演問題，構(gòu)造一種具有大范圍收斂的正則化共軛斜量反演算法，即將用于求解非線性問題大范圍收斂的同倫法、求解大規(guī)模優(yōu)化問題的共軛斜量法與求解不適定問題的Tikhonov正則化方法有機(jī)結(jié)合，得到解決麥克斯韋方程反演問題大范圍收斂的數(shù)值方法，以求解電導(dǎo)率參數(shù)反演問題，解決了求解過程中局部陷入極小值的困惑. 實(shí)驗結(jié)果表明此算法是有效的，可以應(yīng)用于其他類型的參數(shù)識別問題.

麥克斯韋方程；反演；同倫法；共軛斜量法

隨著科學(xué)技術(shù)日新月異的發(fā)展進(jìn)步，數(shù)學(xué)物理反演問題愈來愈廣泛地存在于生活生產(chǎn)的諸多領(lǐng)域，尤為突出的是麥克斯韋方程反演問題在石油方面、電學(xué)方面以及天然氣勘探等方面彰顯出巨大應(yīng)用潛力[1]. 針對于麥克斯韋方程的反演問題，現(xiàn)今已經(jīng)產(chǎn)生很多方法應(yīng)用于求解此類反演問題，然而這些方法下的反演過程相當(dāng)復(fù)雜，并且計算量大、耗時，從很大程度限制了麥克斯韋方程反演問題在多個領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用. 多種情況下，對于這類反演問題可以利用牛頓迭代法來解決，而利用牛頓迭代法存在的第一個困難就是建立的目標(biāo)函數(shù)在局部上會呈現(xiàn)極小化的變化趨勢(即局部收斂性). 因此需要尋找一種能夠有效克服目標(biāo)函數(shù)局部收斂性并且能夠快速檢索到所需解決的麥克斯韋方程反演問題在其整個定義區(qū)間最優(yōu)解(全局最優(yōu)解)的方法. 作為代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)重要組成部分之一的同倫方法是一種近些年來廣泛應(yīng)用于求解非線性問題大范圍收斂的數(shù)值方法.

另外，由于近幾年最優(yōu)化方法迅猛發(fā)展，愈來愈多學(xué)者把最優(yōu)化方法與正則化方法相融合，創(chuàng)造出更加優(yōu)越的求解反演問題的有效方法，如正則化的內(nèi)點(diǎn)方法、正則化的Broyden方法、正則化的共軛斜量方法等. 值得一提的是，作為最優(yōu)化方法最常用方法之一的共軛斜量法由于具有小存儲需求、算法簡便等優(yōu)點(diǎn)，并且石油勘探、大氣模擬、航天航空等領(lǐng)域特大規(guī)模優(yōu)化問題常常利用共軛斜量法求解的[2]. 因而，共軛斜量法非常適用于多個科學(xué)領(lǐng)域大規(guī)模優(yōu)化問題的數(shù)值求解. 因此，正則化共軛斜量法可以用來求解麥克斯韋方程反演問題穩(wěn)定性數(shù)值解.

因此，本文的總體思路是將用于求解非線性問題大范圍收斂的同倫方法與求解大規(guī)模優(yōu)化問題的共軛斜量法有機(jī)結(jié)合，并引入求解不適定問題的Tikhonov正則化方法，最終給出解決麥克斯韋方程反演問題大范圍收斂的數(shù)值方法，以求解電導(dǎo)率參數(shù)反演問題.

1 數(shù)學(xué)模型

1.1 連續(xù)數(shù)學(xué)模型

1.2 離散數(shù)學(xué)模型

的非線性優(yōu)化問題.

本文將把上式作為非線性反演的一般框架，在此框架下討論麥克斯韋方程反演問題.

25層酒店客房低區(qū)生活水箱有2種作用，供水至酒店低區(qū)用水點(diǎn)兼酒店高區(qū)中途轉(zhuǎn)輸水箱。根據(jù)水規(guī)的要求：由水泵聯(lián)動提升進(jìn)水的水箱的生活用水調(diào)節(jié)容積，不宜小于最大用水時水量的50%，生活用水中途轉(zhuǎn)輸水箱的轉(zhuǎn)輸調(diào)節(jié)容積宜取轉(zhuǎn)輸水泵5～10min的流量等規(guī)定，該水箱容積需按酒店客房低區(qū)最大時用水量的50%和酒店高區(qū)水泵10min轉(zhuǎn)輸用水量之和確定。

得到了這個二次逼近模型后，選取共軛斜量法來求解，其迭代式為

2 大范圍收斂的共軛斜量方法的形成

應(yīng)用同倫方法[5]獲得梯度

至此，形成大范圍收斂的共軛斜量法，其流程如下所示：

3 數(shù)值模擬

圖1 電導(dǎo)率模型

圖2 共軛斜量法對電導(dǎo)率的識別結(jié)果

根據(jù)電導(dǎo)率的識別結(jié)果與電導(dǎo)率模型對應(yīng)的真值之間的絕對誤差為0.0087和相對誤差為0.013，可見大范圍收斂共軛斜量法可以有效地應(yīng)用于麥克斯韋方程反演問題.

4 結(jié)語

為了有效克服麥克斯韋方程反演過程中所固有的非線性以及不適定性等困難，本文提出的一種綜合共軛斜量法和同倫反演法優(yōu)點(diǎn)的大范圍收斂的共軛斜量反演方法，解決了求解過程中局部陷入極小值的困惑. 在其他類型的參數(shù)識別問題也可以應(yīng)用本文的方法.

[1] 李 壯, 韓 波. Maxwell方程反問題的小波-微分正則化算法[J]. 黑龍江大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報, 2007, 24(6): 708-711.

[2] 張新明, 劉家琦, 劉克安. 一維雙相介質(zhì)孔隙率的小波多尺度反演[J]. 物理學(xué)報, 2008, 57(2): 601-620.

[3] ZHAI SHUANGZHU, CHEN YONG, HAN BO, et al. A strategy for the parameter inversion of two-dimensional elastic wave equation based on total variation regularization method[J]. Advanced Science Letters, 2012, 11(1): 274-280.

[4] 丁 亮, 韓 波, 劉潤澤, 等. 基于探地雷達(dá)的混凝土無損檢測反演成像方法[J]. 地球物理學(xué)報, 2012, 55(1): 317-326.

[5] 李 壯, 韓 波, 陳 勇. 探地雷達(dá)反問題的小波-同倫混合反演算法[J]. 計算物理, 2009, 26(1): 87-93.

A Widely Convergent Conjugate Gradient Method for Maxwell Equation Inversion

WANG Ying

(Department of Mechanical Engineering, Heilongjiang Industrial College, Jixi158100, China)

For the problem of conductivity parameter inversion in the Maxwell equation, It constructs a regularization-conjugate gradient inversion algorithmwith a widely convergence. The widely convergentnumerical algorithm which can solve the inversion problem of Maxwell equation is gained by organically combining the Homotopy method with global convergence for solving the nonlinear problems, and the conjugate gradient algorithm for solving the large-scale optimization problems with the regularization method Tikhonov for solving the ill-posed problems. The constructed algorithm is used to solve the inverse problem of conductivity parameter and solves the puzzle that the solution falls into the local minimal value in the solving process. The experimental result shows that the algorithm is effective, and can be applied in the parameter identification problems of other types.

Maxwell equation; Inversion; Homotopy method; Conjugate gradient algorithm

O241.82

A

2095-4476(2014)05-0005-04

2014-04-28;

2014-05-10

王迎(1984— ), 女, 黑龍江牡丹江人, 黑龍江工業(yè)學(xué)院機(jī)械工程系助教

(責(zé)任編輯：饒 超)