基于光折射定律的虹成因分析及其應(yīng)用

鄭其明

(南京化工職業(yè)技術(shù)學(xué)院，江蘇南京 210048)

0 引言

彩虹是常見的自然現(xiàn)象，常在夏日的雨后發(fā)生。對于彩虹形成的原因，早在十七世紀(jì)時(shí)，法國物理學(xué)家Rene Descartes就已經(jīng)用幾何光學(xué)的原理分析過［1］，此后物理學(xué)家通過波動光學(xué)和微分方程對彩虹原理解釋得更加精確［2］，但這些解釋對普通大學(xué)生而言很難理解。本文在基于光的折射定律的基礎(chǔ)上［3］，通過理論和實(shí)驗(yàn)兩個(gè)角度，利用簡單的數(shù)學(xué)方法，對彩虹形成原因進(jìn)行了解釋，讓學(xué)生更直觀地了解彩虹形成的原因，進(jìn)而利用本文提出的原理，發(fā)展出一種測量液體折射率的新方法。

1 虹形成原因的理論分析

虹的形成是由于光線射入空氣中的小水滴，經(jīng)另一側(cè)內(nèi)反射后，光線從同一側(cè)面折射出來，從而觀察到虹。由于陽光(白色光)是由7種單色光組成，不同單色光對水的折射率不同，白色光經(jīng)過水滴折射后，折射光線會分解成不同單色光，因此觀察到的虹是彩色的。最容易被觀察到的彩虹是經(jīng)過水滴一次內(nèi)反射后形成的，其觀察角往往在與水平面成α=42°角處［4］(即彩虹形成的觀察最大角度)。在適當(dāng)?shù)臈l件下肉眼也可以看到經(jīng)過多次內(nèi)反射后形成的高階彩虹。由于高階彩虹形成原理比較復(fù)雜，本文只研究單階彩虹的情況。

在一般教材或相關(guān)資料中都會介紹到彩虹與水平面形成42°的角，但一般并不說明形成42°的角的原因和其物理意義，本文從理論和實(shí)驗(yàn)兩個(gè)角度對此問題進(jìn)行分析。

圖1 彩虹形成原理的光路示意圖

考慮一道單色光在小水滴內(nèi)單次內(nèi)反射的情形，如圖1所示，θ為入射角，φ為折射角，光線經(jīng)過水滴內(nèi)反射和折射后的偏折角是入射角θ的函數(shù)，并隨著入射角的變化而變化，記作A(θ)。由圖可知，出射光線與水平線的夾角為α。有:

根據(jù)光的折射定律，設(shè)空氣的折射率為n，可得，sin θ=nsin φ，代入上式得:

同時(shí)由圖1可知，入射光線(或其延長線)到水滴中心寬度:h=Rsin θ，h隨著入射角θ的變化而變化，對具體小水滴而言，其半徑為常數(shù)，則有:

而A(θ)是關(guān)于 θ的函數(shù)，故有:對θ的導(dǎo)數(shù)即為A(θ)函數(shù)曲線上任意一點(diǎn)的斜率。所以，代入 dh=Rcos θdθ，可得:

由以上分析和式(2)可知，對一小段偏折出來的光線dA(θ)而言，所得到的入射光線的寬度越大，出射光線就越明亮，越容易通過肉眼觀察到。當(dāng)dh/dA(θ)取最大值時(shí)，即A'(θ)為極小值時(shí)，出射光線將會最強(qiáng)。

對函數(shù)關(guān)系式(1)求極值，取光對水的折射率為n=1.333，以 θ為橫坐標(biāo)，A(θ)為縱坐標(biāo)，由數(shù)學(xué)軟件可得到如下函數(shù)圖像［5］(如圖2所示)。并由圖像2可得，A(θ)可取極小值138°，因此虹最大觀察角 αmax=π－A(θ)=42°。當(dāng)然不同的單色光折射率不同，形成虹時(shí)其最大觀察角也不同，白色光形成虹時(shí)，各種單色光被分解開來，因此由陽光形成的虹是彩色的。

3 虹形成原因的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

以上理論分析的結(jié)果可以通過實(shí)驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證。如圖3所示，取一個(gè)薄的圓柱形玻璃管注滿水，讓一束激光從玻璃管的一側(cè)射入，從玻璃管的同側(cè)和另一側(cè)都會有光線折射出來，改變?nèi)肷涔獾慕嵌?，觀察從玻璃管的兩側(cè)折射出來的光線的角度和強(qiáng)度的變化。

圖2 偏折角與入射角的函數(shù)關(guān)系圖像

由實(shí)驗(yàn)觀察的現(xiàn)象可知，當(dāng)入射光的角度發(fā)生變化時(shí)，從兩側(cè)折射出來光線角度和強(qiáng)度都會產(chǎn)生變化。當(dāng)從同側(cè)折射出來的光線與水平面夾角為最大時(shí)，這時(shí)從同側(cè)折射出來的光線強(qiáng)度最強(qiáng)、寬度最窄，其折射光線將形成一束明亮的細(xì)光束(如圖4(b)所示)，而在其他角度時(shí)，從同側(cè)折射出來的光線較寬，亮度也較暗(如圖4(a)所示)。本實(shí)驗(yàn)過程中使用是綠色激光，其相對于純水的折射率為1.333，當(dāng)從同側(cè)折射出的光線與水平面夾角為42°左右時(shí)，出射光的寬度最窄、強(qiáng)度最強(qiáng)。由實(shí)驗(yàn)可以看出，當(dāng)光線以不同角度入射時(shí)，經(jīng)過水滴反射和折射后，從不同側(cè)面折射出的光線的角度與強(qiáng)度都會產(chǎn)生變化，當(dāng)從同側(cè)面折射出來的光線與水平面夾角為最大角度時(shí)，折射出來的光線的寬度最窄、強(qiáng)度最大，在這個(gè)角度上也就最容易看到折射出來的光線。在其它角度上觀察到的折射光線都比較弱，不容易觀察到。當(dāng)然對于彩虹的形成而言，當(dāng)陽光照射向水滴時(shí)，在折射光線與水平面成42°角度方位上就容易觀察到彩虹。若將本文實(shí)驗(yàn)中使用的綠色激光換成一束白色自然光，就可以模擬彩虹形成的現(xiàn)象。

圖3 激光射入注滿水的薄圓柱形玻璃管時(shí)的情形

4 利用虹形成原理測量液體的折射率

根據(jù)上面對虹形成的原因分析過程可以看出，當(dāng)折射率不同時(shí)，從水滴中折射出來的光線與水平面最大夾角αmax也不同。如果能測量出從水滴中折射出來的光線與水平面最大夾角αmax，并得出最大夾角與液體折射率之間的關(guān)系，就可得到一種全新的測量折射率的方法。

圖4 從圓柱體同側(cè)折射出光線寬度與強(qiáng)度隨出射光角度的變化

在上述分析中已經(jīng)得出關(guān)系式(1)。又由圖1可知:sin θ=h/R，設(shè) sin θ=h/R=，其中R為水滴的半徑。代入式(1)可得:

其中，n為液體的折射率，對于已知液體而言，其折射率為常數(shù)，α隨著變化而變化。

當(dāng)dα/d=0時(shí)，α取最大值。當(dāng)α取最大值時(shí)，由上式可得。代入式(3)得:

由式(4)可知，取不同的折射率為n的液體可得到不同的αmax，利用數(shù)學(xué)軟件可繪制出(4)式的函數(shù)圖像［5］，如圖5所示，并可列出相應(yīng)的數(shù)據(jù)表，如表1所示。

圖5 αmax與折射率的函數(shù)關(guān)系

表1 αmax與折射率的數(shù)值關(guān)系

圖5為αmax與折射率n的函數(shù)關(guān)系圖。如果光束照射過某液滴的αmax可以被精確測量，那么由式(4)的關(guān)系式可推得出此液體的折射率n。由于圖5應(yīng)用在實(shí)際的測量上很不方便，于是為了方便由αmax的量測查出與其相對應(yīng)的折射率n的值，利用圖5的結(jié)果制作了表1。只要測量出某一液體的αmax，就可以利用表1查出此液體相對應(yīng)的折射率n。與傳統(tǒng)測量液體的折射率方法相比，利用此方法測量液體折射率有以下幾個(gè)優(yōu)點(diǎn):

(1)由式(4)推導(dǎo)過程可知，該公式推導(dǎo)沒有取近似，不存在系統(tǒng)誤差，并且αmax與n具有嚴(yán)格一對一關(guān)系，因此只要測量一個(gè)參數(shù)αmax就能夠計(jì)算出液體折射率，需要測量參數(shù)少，測量誤差就小，測量結(jié)果的精度就高。

(2)參數(shù)αmax是光從水滴中折射時(shí)出來時(shí)，折射光線與水平面最大夾角，此時(shí)折射光線最窄、最強(qiáng)，容易通過視覺確定其位置，因此參數(shù)αmax比較容易準(zhǔn)確測量。在條件許可時(shí)αmax容易實(shí)現(xiàn)自動測量，可以減少由于人為因素造成的誤差。

(3)該測量所需要的儀器少，實(shí)驗(yàn)裝置結(jié)構(gòu)簡單，一般實(shí)驗(yàn)室都能進(jìn)行此測量。

(4)在進(jìn)行測量時(shí)，既可以固定液體，測量不同單色光對同一種液體的折射率，又可以改變液體，測量同一種光對不同液體的折射率，測量方便易行。

在常溫下，通過實(shí)驗(yàn)測得綠色激光對飽和食鹽水的αmax值為35°，查所對應(yīng)的折射率表，可以得到，綠光對飽和食鹽水折射率:

與用其他方法測量的結(jié)果相比較，運(yùn)用本文提出方法測量的結(jié)果的準(zhǔn)確性更高。

同時(shí)由式(4)可知，αmax與水滴的半徑無關(guān)，只與液體的折射率有關(guān)。在彩虹形成時(shí)，空氣中小水滴的半徑并不相同，但由于是同種液體，所有小水滴形成的αmax都約是42°，根據(jù)幾何學(xué)原理，很容易證明出來所觀察到的虹常常是圓弧形。只不過當(dāng)水滴半徑越大，觀察到的虹越明亮。

5 結(jié)語

虹是一種常見的自然現(xiàn)象，但要從理論上對虹進(jìn)行準(zhǔn)確的解釋是不容易的，本文從理論和實(shí)驗(yàn)兩個(gè)角度解釋了虹形成的原因，文中理論推導(dǎo)過程中使用的數(shù)學(xué)工具簡單，避開了復(fù)雜的數(shù)學(xué)技巧，容易為普通大學(xué)生掌握和應(yīng)用，本文的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證也容易在實(shí)驗(yàn)室開展，并且在理論和實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上發(fā)展出更為精確的一種測量折射率的新方法。本文提出的方法對拓展學(xué)生知識面，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用物理學(xué)與數(shù)學(xué)原理對自然現(xiàn)象進(jìn)行解釋，提升學(xué)生運(yùn)用知識的能力是十分有益的。同時(shí)本文提出的測量折射率的新方法，對液體折射率測量同樣有著實(shí)際意義。

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