基于前景理論的改進(jìn)多路徑交通分配模型

潘曉鋒，左 志，趙勝川

（大連理工大學(xué)交通運(yùn)輸學(xué)院，遼寧 大連 116024）

1 引 言

在交通分配領(lǐng)域，主要有平衡和非平衡兩類模型.非平衡模型由于具有簡(jiǎn)便、實(shí)用等優(yōu)點(diǎn)，在實(shí)踐中得到了廣泛的應(yīng)用.其中，多路徑分配方法考慮了路網(wǎng)及出行者的隨機(jī)因素，較之最短路分配更加適用.然而，該方法依舊存在不適用之處：多路徑分配的核心是Logit配流模型，Logit模型的基礎(chǔ)是“理性人假設(shè)”，但是在很多情況下，決策者的選擇行為并不表現(xiàn)為完全理性（如著名的阿萊悖論和埃爾斯伯格悖論）；同時(shí)，Logit模型存在固有的缺陷，在某些特定的情況下不能很好地反映實(shí)際情況.

1979年，Kahneman和Tversky將心理學(xué)研究成果應(yīng)用到經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域中，分析了決策者的有限理性行為，提出了前景理論[1].1992年，兩人在前景理論的基礎(chǔ)上，又提出了累積前景理論[2].此后，前景理論成為了研究不確定情況下決策者決策行為的重要理論依據(jù).前景理論認(rèn)為：①?zèng)Q策者根據(jù)參考點(diǎn)判斷得失；②決策者面對(duì)收益時(shí)表現(xiàn)為風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避，面對(duì)損失時(shí)表現(xiàn)為風(fēng)險(xiǎn)喜好；③決策者在不確定條件下進(jìn)行選擇時(shí)，會(huì)忽視所有備選方案共有的部分，使得面對(duì)不同情境下相同的問(wèn)題會(huì)出現(xiàn)不同的選擇；④前景值V是關(guān)于價(jià)值v和概率權(quán)重w的函數(shù).累積前景理論指出人們?cè)跊Q策時(shí)：面對(duì)大概率事件，對(duì)收益表現(xiàn)為風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避，對(duì)損失表現(xiàn)為風(fēng)險(xiǎn)喜好；而面對(duì)小概率事件，對(duì)收益表現(xiàn)為風(fēng)險(xiǎn)喜好，對(duì)損失表現(xiàn)為風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避.本文將前景理論與累積前景理論并稱為“前景理論”.

前景理論考慮了決策者的心理因素，從收益和損失兩方面分析在不確定性條件下決策者的選擇行為，已有越來(lái)越多的研究將前景理論運(yùn)用到交通領(lǐng)域之中.郭延永等人提出了一種基于累積前景理論的城市軌道交通線路建設(shè)時(shí)序決策方法[3].羅清玉等人根據(jù)居民出行特點(diǎn)建立了基于前景理論的出行方式選擇模型[4]，但只是驗(yàn)證了現(xiàn)如今私家車出行越來(lái)越多的現(xiàn)象，并沒有給出各種出行方式的劃分比例.趙凜等人在前景理論的框架下分析了先驗(yàn)信息條件下出行者的學(xué)習(xí)更新過(guò)程，給出了先驗(yàn)信息條件下出行者路徑選擇的理論模型[5]，但是其采用了決定論模型，無(wú)法表示大規(guī)模出行時(shí)出行者的選擇概率.張波等人認(rèn)為路徑前景值是分布在出行者總體上的隨機(jī)變量，它包含一個(gè)確定部分和一個(gè)隨機(jī)誤差項(xiàng)，從而推導(dǎo)出了基于前景理論的Logit配流模型[6]，然而該模型選取了出行時(shí)間作為路徑選擇的唯一影響因素，且由于Logit模型的IIA特性，可能導(dǎo)致類似于“紅綠巴士”這樣的悖論[7].徐紅利等人基于前景理論提出了帶有內(nèi)生參考點(diǎn)的用戶均衡模型，并且在該模型基礎(chǔ)上分析討論了擁擠收費(fèi)[8]，但是該均衡模型求解復(fù)雜，限制了其自身的應(yīng)用.

2 基于前景理論的改進(jìn)多路徑分配模型

2.1 基于前景理論的路徑選擇模型

出行者出行路徑選擇的影響因素眾多，包括出行目的、出行時(shí)間和出行距離、費(fèi)用、準(zhǔn)時(shí)性等.只用出行時(shí)間來(lái)度量出行費(fèi)用顯然不能全面體現(xiàn)出行者的選擇行為.本文考慮出行時(shí)間和出行費(fèi)用兩個(gè)最重要的影響因素，應(yīng)用時(shí)間價(jià)值定義廣義出行費(fèi)用.廣義出行費(fèi)用的表達(dá)式為

式中 C為出行費(fèi)用；T為出行時(shí)間；ρ為私家車時(shí)間價(jià)值.μ、η分別為出行費(fèi)用和出行時(shí)間的權(quán)重，可以表示出行者對(duì)待時(shí)間和金錢的不同態(tài)度.

根據(jù)Kahneman和Tversky的研究[2]，路徑的價(jià)值函數(shù)可以表示為

式中 xi是某條路徑第i種可能結(jié)果的損益值，為參考點(diǎn)和廣義出行費(fèi)用之差；xi>0，表示收益，xi<0，表示損失.Uf是決策參考點(diǎn)；λ反映對(duì)損失的敏感程度；α、β為待定參數(shù).根據(jù)已有研究[9]，λ=2.25，α=1.21，β=1.02.

根據(jù)Kahneman和Tversky的研究[2]，路徑的概率權(quán)重函數(shù)表示為

式中 pi為某路徑第i種可能結(jié)果的客觀概率；γ為待定參數(shù)，根據(jù)研究[9]，γ=0.55，x>0;γ=0.49，x<0.事實(shí)上，可以把概率權(quán)重函數(shù)看作是對(duì)客觀概率的回歸.某條路徑前景值的計(jì)算表達(dá)式為

式中 V(f)為某條路徑的前景值；x-m

2.2 改進(jìn)的多路徑分配模型

雖然前景理論給出了決策者在面對(duì)不確定條件下的決策行為，但是考慮到不同決策者風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度、認(rèn)知水平的差異，決策者的決策行為依舊是一個(gè)充滿隨機(jī)的過(guò)程.前景理論的基本思想是保留期望效用理論的形式，對(duì)其內(nèi)部各因子進(jìn)行改造，用價(jià)值函數(shù)和概率權(quán)重函數(shù)分別替代了期望效用理論中的效用函數(shù)和概率[10].因此，可以認(rèn)為前景值是一種基于“有限理性”的特殊的“效用”.Connors和Sumalee[11]提出了感知前景值的概念，并指出其由固定項(xiàng)和隨機(jī)項(xiàng)組成，即

式中 PVi是第i條路徑的感知前景值；Vi是其固定項(xiàng)，由基于前景理論的路徑選擇模型計(jì)算得到；ξ是隨機(jī)項(xiàng)，E(ξ)=0；θ表示前景值的度量.通常假設(shè)ξ服從參數(shù)為（0，1）的二重指數(shù)分布，從而推導(dǎo)出Logit模型.但是Logit模型存在兩方面的缺陷，一是缺乏對(duì)路網(wǎng)結(jié)構(gòu)特性的敏感性，會(huì)使過(guò)多的流量分配到重合的路徑上，二是無(wú)法反映感知方差與出行費(fèi)用之間的依賴關(guān)系[12].因此，本文假設(shè)ξ服從正態(tài)分布，從而得到Probit配流模型.由于Probit模型求解復(fù)雜，本文采用蒙特卡羅模擬法求解.

蒙特卡羅模擬法將所求解的問(wèn)題與某個(gè)概率模型聯(lián)系起來(lái)，在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行隨機(jī)模擬，以獲得問(wèn)題的近似解.其基本思想是：根據(jù)某一概率分布進(jìn)行大量獨(dú)立隨機(jī)試驗(yàn)，取得隨機(jī)變量的模擬值即樣本值的集合，再用數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法求出各種統(tǒng)計(jì)量的估計(jì)量[13].

3 算例

現(xiàn)以數(shù)值算例分析改進(jìn)后的多路徑分配模型.采用的路網(wǎng)如圖1所示.

在圖1中，虛線框表示對(duì)該路段實(shí)行擁擠收費(fèi)（假設(shè)實(shí)施擁擠收費(fèi)后路徑的行程時(shí)間不變，即忽略收費(fèi)排隊(duì)的影響）.設(shè)OD對(duì)（1，3）之間的需求為1000 PCU／h，出行的燃油費(fèi)為10元（假設(shè)無(wú)論選擇哪條路徑，燃油費(fèi)均為10元，這當(dāng)然是不符合實(shí)際的，考慮到模型計(jì)算的復(fù)雜性，故做此假設(shè)）根據(jù)現(xiàn)有研究[14]，私家車的時(shí)間價(jià)值ρ為27.82元／h，要求在40 min（依據(jù)時(shí)間價(jià)值化為金錢，即18.55元，此即為決策參考點(diǎn)）內(nèi)達(dá)到，可見對(duì)出行時(shí)間的要求較高，可以令η＝0.8，μ＝0.2.由圖1可知OD對(duì)（1，3）之間存在3條可選路徑，各路徑的出行時(shí)間及概率如表1所示.

圖1 算例路網(wǎng)Fig.1 Network of the example

表1 各路段的出行時(shí)間及概率Table 1 Travel time and probabilities of paths

3.1 選擇概率及流量的計(jì)算

依據(jù)本文之前提出的多路徑分配模型，結(jié)合算例的具體數(shù)據(jù)，可以得到實(shí)施擁擠收費(fèi)前后各條路徑的前景值.具體如表2、表3所示.

表2 各路徑的前景值（擁擠收費(fèi)前）Table 2 Prospects of paths（before congestion pricing）

表3 各路徑的前景值（收費(fèi)：4元）Table 3 Prospects of paths（charging 4 RMB）

假設(shè)感知前景值（PV1，PV2，PV3）服從多維正態(tài)分布，各條路徑的感知方差均為2，路徑1和路徑2的相關(guān)系數(shù)為0.5，故兩者的協(xié)方差為1.路徑3與其余路徑不相關(guān).即

由此可推導(dǎo)出Probit模型，應(yīng)用蒙特卡羅模擬法，隨機(jī)產(chǎn)生1000000組隨機(jī)數(shù)，通過(guò)計(jì)算可得實(shí)施擁擠收費(fèi)前后，各條路徑的選擇概率和其上的流量，如表4及圖2所示.

表4 各路徑的選擇概率Table 4 Choice probabilities of paths

圖2 收費(fèi)前后各路段上的流量（單位：PCU／h）Fig.2 Volumes of links before and after congestion pricing（unit：PCU／h）

3.2 參數(shù)值θ的討論

現(xiàn)在討論參數(shù)θ的變化對(duì)各路段選擇概率的影響.圖3、圖4顯示了實(shí)施擁擠收費(fèi)前后，θ從0變化到3時(shí)，各路徑的選擇概率.

圖3 擁擠收費(fèi)前，各路徑選擇概率隨θ值的變化Fig.3 Choice probabilities’change with θ before congestion pricing

圖4 收費(fèi)4元時(shí)，各路徑選擇概率隨θ值的變化Fig.4 Choice probabilities’change with θ when charging 4 RMB

3.3 收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)的討論

表4顯示，擁擠收費(fèi)對(duì)出行者的出行選擇存在影響.現(xiàn)在討論不同收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)對(duì)路網(wǎng)流量的影響程度.在θ＝1.5時(shí)，不同收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)與各路徑的選擇概率如圖5（收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)從0元變化至6元）所示.

3.4 結(jié)果分析

由表3、表4可知，擁擠收費(fèi)能夠影響出行者的出行路徑選擇.在實(shí)施收費(fèi)之前，各條路徑的前景值分別為－0.2602、0.5463、0.8475，路徑 3 的前景值最大；而實(shí)施擁擠收費(fèi)之后，路徑3的前景值發(fā)生了變化，在收費(fèi)4元的情況下減少為－0.2727，此時(shí)前景值最大的路徑為路徑2.

圖5 不同收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)下各路徑的選擇概率（θ＝1.5）Fig.5 Choice probabilities under different charging standards（θ＝1.5）

參數(shù)θ是前景值的度量，反映的是出行者對(duì)待可選路徑的認(rèn)知程度.若θ＝0，表明出行者對(duì)各條路徑的認(rèn)知沒有差別，路徑的選擇只與路網(wǎng)本身的特性有關(guān).由圖3、圖4可知，當(dāng)θ＝0時(shí)，無(wú)論是否收費(fèi)，各條路徑的選擇概率均在0.3～0.4的較小范圍之內(nèi).隨著θ不斷增大，前景值最大的路徑開始顯示其優(yōu)勢(shì)，θ值越大，其優(yōu)勢(shì)越明顯.當(dāng)θ趨于無(wú)窮大時(shí)，此概率論模型就轉(zhuǎn)換為決定論模型.因此，θ在此模型中是一個(gè)關(guān)鍵的參數(shù)，不同的θ值會(huì)得到不同的分配結(jié)果，在實(shí)際應(yīng)用中需要經(jīng)過(guò)調(diào)查分析得到.

從圖5可知，擁擠收費(fèi)不僅能夠引起路網(wǎng)上流量的重新分配，且在不同的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)下流量的分配不相同.圖5中有兩個(gè)交點(diǎn)，分別為（1.1850，0.4551）和（4.7730，0.1554）.路徑1的選擇概率始終在0.2以下，可以認(rèn)為路徑1不是主要路徑.路徑2和路徑3的選擇概率對(duì)路網(wǎng)上的流量分配影響較大.因此，交點(diǎn)（1.1850，0.4551）是一個(gè)近似最優(yōu)點(diǎn)，即收費(fèi)1.19元時(shí)，路徑1的選擇概率為8.98%，路徑2和路徑3的選擇概率均為45.51%.此時(shí)各路段上的流量分別為：X1＝90（PCU／h），X2＝455（PCU／h），X3＝545（PCU／h），X4＝455（PCU／h）.

4 研究結(jié)論

多路徑交通分配模型由于計(jì)算簡(jiǎn)單、實(shí)用等優(yōu)點(diǎn)而被廣為采用.本文基于前景理論和Probit模型，討論了原始多路徑分配模型中的缺點(diǎn)，提出了一個(gè)改進(jìn)模型，并分析了擁擠收費(fèi)政策對(duì)路網(wǎng)流量的影響.下一步的研究可以從以下幾個(gè)方面出發(fā)：①將該模型應(yīng)用于更加復(fù)雜的路網(wǎng)，以分析參數(shù)θ的特性，進(jìn)一步驗(yàn)證模型的適用性；②該模型可以作為平衡模型的基礎(chǔ)，討論基于該模型的平衡問(wèn)題；③將該模型應(yīng)用于城市實(shí)際路網(wǎng)，以確定合適的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)，為制定合理的擁擠收費(fèi)政策提供依據(jù).

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