面板數據的自適應Lasso分位回歸方法研究

李子強，田茂再，羅幼喜

（1．湖北工業(yè)大學 理學院，湖北 武漢 430068；2．中國人民大學a．應用統計研究中心；b．統計學院，北京 100872）

面板數據的自適應Lasso分位回歸方法研究

李子強1，田茂再2a，2b，羅幼喜1

（1．湖北工業(yè)大學 理學院，湖北 武漢 430068；2．中國人民大學a．應用統計研究中心；b．統計學院，北京 100872）

如何在對參數進行估計的同時自動選擇重要解釋變量，一直是面板數據分位回歸模型中討論的熱點問題之一。通過構造一種含多重隨機效應的貝葉斯分層分位回歸模型，在假定固定效應系數先驗服從一種新的條件Laplace分布的基礎上，給出了模型參數估計的Gibbs抽樣算法?？紤]到不同重要程度的解釋變量權重系數壓縮程度應該不同，所構造的先驗信息具有自適應性的特點，能夠準確地對模型中重要解釋變量進行自動選取，且設計的切片Gibbs抽樣算法能夠快速有效地解決模型中各個參數的后驗均值估計問題。模擬結果顯示，新方法在參數估計精確度和變量選擇準確度上均優(yōu)于現有文獻的常用方法。通過對中國各地區(qū)多個宏觀經濟指標的面板數據進行建模分析，演示了新方法估計參數與挑選變量的能力。

面板數據；自適應Lasso；分位回歸；切片Gibbs抽樣

一、引 言

面板數據模型是當前學術界討論最多的模型之一。傳統的面板數據模型實際上是一種條件均值模型，即討論在給定解釋變量的條件下響應變量均值變化規(guī)律。這種模型的一個固有缺陷是只描述了響應變量的均值信息，其它信息則都忽略了。然而，數據的信息應該是全方位的，這種只對均值建模的方法有待改進。Koenker等提出的分位回歸模型是對均值回歸模型的一種有效改進，該模型可以在給定解釋變量后對響應變量的任意分位點處進行建模，從而可以從多個層次刻畫數據的分布信息［1］。同時，分位回歸的參數估計是通過極小化加權殘差絕對值之和得到，比傳統均值回歸模型下二次損失函數獲得的最小二乘估計更為穩(wěn)?。?］。

對于簡單的線性模型，與分位回歸方法相對應的參數點估計、區(qū)間估計、模型檢驗及預測已經有很多成熟的研究結果，但有關面板數據模型的分位回歸方法研究文獻還不多見。Koenker對固定效應的面板數據模型采用帶Lasso懲罰的分位回歸方法，通過對個體固定效應實施L1范數懲罰，該方法能夠在各種偏態(tài)及厚尾分布下得到明顯優(yōu)于均值回歸的估計，然而懲罰參數如何確定是該方法的一個難點［3］；羅幼喜等也提出了3種新的固定效應面板數據分位回歸方法，模擬顯示，這些新方法在誤差非正態(tài)分布情況下所得估計優(yōu)于傳統的最小二乘估計和極大似然估計，但新方法對解釋變量在時間上進行了差分運算，當解釋變量中包含有不隨時間變化的協變量時，這些方法則無法使用［4］；Tian等對含隨機效應的面板數據模型提出了一種分層分位回歸法，并利用EQ算法給出模型未知參數的估計，但該算法只針對誤差呈正態(tài)分布而設計，限制了其應用范圍［5］。以上文獻均是直接從損失函數的角度考慮分位回歸模型的建立及求解；Liu等利用非對稱拉普拉斯分布與分位回歸檢驗損失函數之間的關系，從分布的角度建立了含隨機效應面板數據的條件分位回歸模型，通過蒙特卡羅EM算法解決似然函數高維積分問題［6］；Luo等則在似然函數的基礎上考慮加入參數先驗信息，從貝葉斯的角度解決面板數據的分位回歸問題，模擬顯示，貝葉斯分位回歸法能有效地處理模型中隨機效應參數［7］；朱慧明等也考慮過將貝葉斯分位回歸法應用于自回歸模型，模擬和實證顯示該方法能有效地揭示滯后變量對響應變量的位置、尺度和形狀的影響［8］。

然而，上述方法均不能對模型中自變量進行選擇，但在實際的經濟問題中，人們在建立模型之前經常會面臨較多解釋變量，且對哪個解釋變量最終應該留在模型中沒有太多信息。如果將一些不重要的噪聲變量包含在模型之中，不僅會影響其它重要解釋變量估計的準確性，也會使模型可解釋性和預測準確性降低。Park等在研究完全貝葉斯分層模型時提出了一種新的貝葉斯Lasso方法，通過假定回歸系數有條件Laplace先驗信息給出了參數估計的Gibbs抽樣算法，這一工作使得一些正則化的懲罰方法都能夠納入到貝葉斯的框架中來，通過特殊的先驗信息對回歸系數進行壓縮，該方法能夠在估計參數的同時對模型中自變量進行選擇［9－10］。Alhamzawi等將貝葉斯 Lasso方法引入到面板數據分位回歸模型中來，使得在估計分位回歸系數的同時能夠對模型中重要解釋變量進行自動選擇［11－12］。但是，上述研究中均假設回歸系數先驗分布所依賴的條件參數對所有解釋變量都是相同的，也即對所有分量壓縮程度一樣，正如Zou所指出，這樣得到的回歸系數估計將不是無偏估計［13］。為了改進這一缺陷，本文擬構造一種自適應的貝葉斯Lasso分位回歸方法，即假定回歸系數的每個分量先驗分布都依賴不同的條件參數，從而對不同的解釋變量施加不同的懲罰權重，這不僅能夠改進回歸系數估計偏差，而且能夠自動壓縮模型中非重要解釋變量回歸系數為0，達到變量選擇的目的。雖然面臨需要估計更多參數的困境，但本文通過對Laplace分布的分解和引進輔助變量構造的切片Gibbsl抽樣算法能夠快速有效地解決這一問題［14］。

二、模型及方法

（一）面板數據的貝葉斯分位回歸模型

定義1 考慮含多重隨機效應的面板數據模型，定義給定τ時的條件分位回歸函數如下：

（二）非對稱Laplace分布分解與自適應先驗信息的選取

顯然，給定適當的先驗信息后，上述模型（4）即可以通過一般的 MCMC方法進行求解。然而，考慮到非對稱Laplace分布沒有共軛先驗，這將為MCMC算法的估計帶來極大的計算負擔，為此給出非對稱Laplace分布的一個重要分解：

利用引理1，ALD分布可以表示為正態(tài)和指數兩個常見分布的混合，這為后面建立未知參數的Gibbs抽樣算法帶來了極大方便。關于先驗信息，選取的方法很多，其中共軛先驗信息選取法由于其計算推導簡潔應用最為廣泛。對于隨機效應通常假定αi｜φ～N（0，φ），φ～IG（k0，w0）；對于尺度參數σ～IG（c0，d0），其 中 IG（a，b）表 示 參 數 為 a，b 的 逆Gamma分布。

對于參數β，如果按照通常共軛先驗信息的選取方法則為正態(tài)分布，但這一先驗分布無法起到變量選擇的作用。Alhamzawi等將Laplace先驗引入到貝葉斯分位回歸模型中來，使得在估計分位回歸系數的同時能夠對模型中重要解釋變量進行自動選擇，改進了正態(tài)分布先驗的缺陷。需要指出的是，雖然他們提出的先驗能夠對解釋變量系數進行壓縮起到變量選擇的作用，但其所依賴的條件參數λ對β的所有分量都是相同的，也即對所有分量壓縮程度一樣，這顯然會限制了β變化的靈活性，與實際中不同的解釋變量應該有不同的權重也不符。為了改進這一缺陷，本文在其基礎上提出一種自適應的β先驗信息分布假設：

從而可以獲得與自適應Lasso懲罰相對應的貝葉斯自適應Lasso分位回歸方法。另外值得一提的是，式（6）中先驗條件依賴于σ也很重要，正如Park等所指出，它能夠保證后驗密度是單峰的。如果沒有條件依賴于σ，則后驗密度可能不再是單峰的，缺少單峰性質不僅會使得后面的Gibbs抽樣算法收斂速度變慢，而且所得估計結果意義不大［9］。

（三）參數估計的切片Gibbs抽樣算法構造

上述提出的自適應β先驗雖然具有自動的對模型中解釋變量進行選擇且考慮到了不同的解釋變量應該對應不同的權重兩大優(yōu)點，但同時也帶來了兩個難題：一是條件Laplace分布不是共軛先驗，從而其后驗密度的推導及計算均較為復雜；二是每個解釋變量都引進了不同的壓縮參數，待估計的未知參數增多，從而加大了計算量。下面將通過引進輔助變量構造一種易于實施的切片Gibbs抽樣算法來解決推導及計算上帶來的困難［14］。

從式（10）可以看到，通過引入輔助變量S，將（β，S）的聯合先驗變?yōu)榱苏龖B(tài)與指數分布的混合，假定η2l～IG（a0，b0），則構造了一種易于實施的切片Gibbs抽樣算法，該算法中所有未知參數均來自常見分布，從而可利用專門的Gibbs抽樣軟件WinBUGS來實現后驗樣本的抽取，而且速度快、操作方便，很容易從抽取的后驗樣本獲得各待估參數的點估計和區(qū)間估計以及響應變量預測值。WinBUGS還提供了各種診斷和監(jiān)視抽取樣本是否收斂的圖形和方法。

（四）切片Gibbs抽樣算法中各參數條件后驗密度的推導

實事上，與李翰芳等提出的貝葉斯Lasso方法相比，此處切片Gibbs抽樣算法中條件后驗密度首先發(fā)生改變的是參數η2l、sl，l＝1，2，…，k，模型的似然函數可重寫為：

9．用每次上步生成的數據值代入下一步生成新的數據，重復2～8步直至收斂。

三、蒙特卡羅模擬

Luo等在假設固定效應系數先驗為正態(tài)分布的情況下對貝葉斯分位回歸估計（BQR）、混合數據普通最小二乘估計（LS）、考慮固定效應的最小二乘估計（LSFE）、限制極大似然估計（REML）、混合數據的分位回歸估計（QR）、個體效應懲罰的分位回歸估計（PQR）進行了比較，結果表明BQR方法均優(yōu)于其它方法，特別是當誤差分布為非正態(tài)分布時，分位回歸估計明顯優(yōu)于傳統的均值估計［3］。李翰芳等在BQR的基礎上改進固定效應系數先驗分布假設，提出了與Lasso方法等價的貝葉斯Lasso分位回歸估計（BLQR），使得在建立面板數據分位回歸模型的同時能夠對模型中解釋變量進行自動選擇，通過蒙特卡羅模擬比較發(fā)現，BLQR較BQR有更強的排除無關解釋變量的能力［12］?？紤]到BLQR方法對所有解釋變量的壓縮權重均相同的缺陷，本文提出了一種貝葉斯自適應Lasso分位回歸法（BALQR）進行改進，即對不同的解釋變量實施不同的壓縮權重。下面將通過蒙特卡羅模擬來比較BQR、BLQR以及本文提出的BALQR在固定效應系數估計、隨機效應方差分量估計及排除模型中無關解釋變量的能力。另外，比Luo等的研究更進一步的是，前兩者均只考慮了含單個隨機截距的面板數據模型，本文則將其推廣至含多重隨機效應的面板數據模型［12］。

下面利用如下含多重隨機效應的面板數據模型生成數據：

取β0＝0，N＝30，T＝10。對于模型中固定效應部分，首先利用標準正態(tài)分布隨機生成8個解釋變量，X′it＝ （Xit1，Xit2，…，Xit8），且任意兩個解釋變量Xl與Xk之間的相關系數為ρ｜l－k｜，設ρ＝0．5。對于解釋變量的系數，分別取兩組值進行模擬：（1）β＝（β1，β2，…，β8）′＝ （2，4，6，8，0，0，0，0）′； （2）β＝（β1，β2，…，β8）′＝ （5，5，5，5，0，0，0，0）′，其中兩組中均只有前4個解釋變量與響應變量相關，后4個解釋變量與響應變量無關，以便測試BALQR法變量選擇的能力。另外，第（1）組中所有相關解釋變量權重系數均不同，而第（2）組中所有相關解釋變量權重系數均相同，以便比較權重系數對BLQR與BALQR估計的影響。對于模型中隨機效應部分，取Z′it＝ （Xit1，Xit2，Xit3，Xit4）′，αi～ N4（0，φ2I4），φ＝2，即每個與響應變量相關的解釋變量都受到了一個個體隨機效應的干擾；對于模型中特異誤差εit，考慮到其來自正態(tài)分布N（0，22），每個模擬重復500次。

在模擬過程中，BQR法中取β有弱先驗信息βi～ N（0，106），i＝0，1，…，8，另外，3種方法中其它參數也均假定有弱先驗信息：σ～IG（10－6，10－6），φ～ IG（10－6，10－6），η2～ IG（10－6，10－6），η2l～IG（10－6，10－6），l＝1，2，…，k。3種方法的 Gibbs抽樣均迭代10 000次，舍棄前面5 000個點，取后面的5 000個點用于計算各參數的估計值。

首先從表1中4個相關解釋變量在模型中權重系數均不相同的情況來看，顯然無論是在中位點處還是極端分位點處，本文提出的BALQR法MSE值均是最小的，也即其整體估計效果最優(yōu)；從對取值不為0的4個權重系數估計準確性來看，BALQR和BQR法相當，且偏差及標準差都明顯小于BLQR法，這是因為BLQR法和普通的Lasso方法一樣，對模型中所有解釋變量的壓縮程度都是一樣的，而本模擬中各個相關解釋變量在模型中權重系數均不相同，這種采取同樣策略的壓縮顯然會給估計帶來較大的偏差。而本文提出的具有自適應性的BALQR法則克服了該缺點，對每個權重系數都引進一個單獨可以靈活變動的壓縮參數，從而使得估計精確度大大提高；從對4個無關解釋變量的選擇來看，BLQR和BALQR明顯優(yōu)于BQR法，兩方法對無關解釋變量的權重系數估計都與0非常接近，也即這兩種方法都具有變量選擇的功能，從而驗證了Laplace先驗比正態(tài)先驗有更高的概率使得變量落在0周圍的性質；從對隨機效應方差分量φ的估計來看，3種方法估計精度幾乎相當，即他們在處理隨機效應干擾方面的能力一致，這也是因為理論上3種方法對于隨機效應的先驗假設均是一致的。另外，從中位點和極端分位點的估計對比來看，3種方法在中位點處的估計精度較極端分位點要高。

表1 3種方法在相關解釋變量系數不等時的估計結果比較表

從表中4個相關解釋變量在模型中權重系數都相同的情況來看，BLQR法在兩個分位點處對固定效應系數總體估計精度均是最高的，BALQR法次之，BQR法最差。這一點其實不難理解，因為BLQR法將所有解釋變量都同等對待，而本模擬中真實參數的設置即所有相關解釋變量權重系數相同，這正好滿足其理論假設，從而獲得比較優(yōu)良的估計。雖然本文提出的BLAQR法在這種情況下精度遜于BLQR法，但不難看到它們之間的差距并不明顯，且BLAQR與BLQR法一樣，在對無關“噪聲”解釋變量的排除能力上都優(yōu)于BQR法。

表2 3種方法在相關解釋變量系數相等時的估計結果比較表

總結以上模擬分析結果可知：1．3種貝葉斯分位回歸法均能夠有效處理面板數據模型中的多重隨機效應，即能夠有效解決個體樣本之間相關對模型估計帶來的影響這一問題，并且對解釋變量間存在的相關性并不敏感；2．本文提出的BALQR法與李翰芳等提出的BLQR法一樣，不僅能有效地處理模型中隨機效應帶來的影響，而且能夠在估計固定效應系數的同時對模型中解釋變量進行自動選擇，即通過對非重要解釋變量系數實施更大程度的壓縮，使之與0較為接近，從而排除其對建模時帶來的不利影響和干擾，也正是由于這一點，使得BLQR法和BALQR法能夠在模型的整體估計效果上明顯優(yōu)于BQR法；3．相比BLQR法，本文提出的BALQR法能夠對模型中不同的解釋變量實施不同的懲罰權重系數，從而獲得更為精確的估計，即使對于具有相同重要程度的解釋變量，其也能夠獲得與BLQR法相當的估計結果。另外，由于本文構造的一種易于實施的切片Gibbs抽樣算法可在專門的抽樣軟件WinBUGS中實現，所以雖然待估參數較BQR法和BLQR法多，但在計算時間消耗上并無明顯差別。

四、真實數據分析

為了便于與李翰芳等研究結果比較，下面以1998—2009年中國各個省市地區(qū)的宏觀經濟指標面板數據為例，利用本文提出的貝葉斯自適應Lasso分位回歸方法對近些年來各宏觀解釋指標與GDP關系進行建模分析，探討各指標對GDP的貢獻程度。根據GDP的主要內在和外在影響因素，并考慮到中國目前的經濟結構，初步選取了以下8個宏觀解釋指標：總固定資產投資額 （Finvest）、城鎮(zhèn)居民全年平均消費性支出（Consume）、進出口總額（Imexport）、財 政 支 出 （Finac）、外 商 直 接 投 資（FDI）、就業(yè)總人數 （Employ）、R＆D 經費支出（R＆D）、能源消耗 （Energy）。數據來源于《中國統計年鑒 （1999—2010）》，其中由于西藏缺少數據較多故刪去。為了降低各時間序列的不穩(wěn)定性并使模型各解釋變量系數之間有可比性，分別對GDP和所有宏觀指標取對數后并標準化，為方便起見，經變換后各指標的記號不變。

李翰芳等研究發(fā)現，如果直接將所有數據混合建立簡單的線性回歸模型，雖然可以得到較高的模型擬合優(yōu)度，但有眾多解釋變量系數為負無法通過顯著性檢驗，進一步的研究還發(fā)現，各個宏觀經濟變量之間的相關性比較強，存在著嚴重的共線性，因而通常的最小二乘估計已經失效。李翰芳等考慮了帶個體隨機效應的面板數據模型并利用貝葉斯Lasso分位回歸法來解決解釋變量之間的多重共線性問題［12］?？紤]到中國各地區(qū)經濟發(fā)展極不平衡，各個指標均存在較大的地區(qū)效應，建立如下更一般的多重隨機效應面板數據模型：

該模型是一個既含隨機截距也含隨機斜率的面板數據模型，假設隨機效應向量α＝ （αi0，αi1，…，αi8）′～ N9（0，φ2I9）。下面利用本文提出的貝葉斯自適應分位回歸法對上述模型進行估計。取τ＝0．1，0．5，0．9分別計算3個分位點處的估計結果，其中各個參數先驗與蒙特卡羅模擬中一樣，均取弱先驗信息，Gibbs抽樣共迭代40 000次，舍棄前面的20 000個點，取后面的20 000個點用于計算各參數的估計值，估計結果如表3。

表3 貝葉斯自適應Lasso在3個分位點處的估計結果表

表3的結果表明，各個宏觀指標對GDP的貢獻度都不一樣，且在高、中、低分位點處也都不盡相同。首先與李翰芳等給出的中位點處后驗均值估計結果對比來看，雖然各個指標系數估計差別不大，但從第二部分的模擬分析來看，當各個解釋指標所占權重系數不同時，本文提出的自適應Lasso方法精度更高一些［12］。外商直接投資和R＆D經費支出對GDP貢獻度最小，其次是進出口總額，特別是在低分位點處，0均包含在這3個指標的95%置信區(qū)間內，即相比其它指標，這3個指標為非重要指標。

從權重系數較大的幾個指標來看，在低分位點τ＝0．1處，從大到小依次為就業(yè)總人數、能源消耗、財政支出、城鎮(zhèn)居民全年平均消費性支出、總固定資產投資額；在中位點τ＝0．5處，從大到小依次為就業(yè)總人數、能源消耗、城鎮(zhèn)居民全年平均消費性支出、財政支出、總固定資產投資額；在高分位點τ＝0．9處，從大到小依次為城鎮(zhèn)居民全年平均消費性支出、就業(yè)總人數、能源消耗、財政支出、總固定資產投資額。不難看到，就業(yè)總人數和能源消耗兩個指標無論在哪個分位點處權重系數都排在前3名之內，一方面說明擴大就業(yè)始終是拉動GDP增長的最關鍵因素，另一方面也能看出目前中國經濟增長對能源消耗的依賴度還很高。從各個分位點指標重要程度排名變化情況來看，城鎮(zhèn)居民全年平均消費性支出變化最大，從低分位點處的排名第4躍升致高分位點處的排名第1，充分說明了消費對拉動GDP高速增長的巨大潛力。

從各個指標在高中低3個分位點處的權重系數大小來看，隨著分位點增加，總固定資產投資額和能源消耗系數是逐漸變小的，而其它指標均是逐漸增大的，也即要使得GDP能夠長期持續(xù)增長，則需要降低其對固定資產投資額和能源消耗的依賴度，這也給當前經濟結構調整及轉型提供了重要的啟示。

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Study on Adaptive Lasso Quantile Regression for Panel Data Models

（1．School of Science，Hubei University of Technology，Wuhan 430068，China；a．Center for Applied Statistics；b．School of Statistics，2．Renmin University of China，Beijing 100872，China）

How to do parameter estimation and variable selection simultaneously is a hot issue in the study of quantile regression for panel data models．On the base of the assumption that the fixed effect coefficients are subject to a novel conditional Laplace prior，the paper constructs a hierarchical Bayesian quantile regression model and gives the Gibbs sample algorithm for the unknown parameter estimation．In consideration of different explain variables should have different shrinkage degree，the proposed prior has the property of adaptivity，which could select the important explain variables in the model automatically．Furthermore，the slice Gibbs sample algorithm that the paper proposed is able to estimate the posteriori mean estimation of unknown parameter quickly and efficiently．Monte Carlo simulation study indicates that the proposed method is obviously superior to the existing methods in literatures on the accuracy of parameter estimation and variable selection．Finally，the paper gives a research of modeling the panel data including several macroeconomic indicators of our country and demonstrates the new method＇s capability of estimating parameters and doing variable selection．

panel data；adaptive Lasso；quantile regression；slice Gibbs sampler

O212∶F064．1

A

1007－3116（2014）07－0003－08

2014－02－28

國家自然科學基金項目《基于當代分位回歸與鞍點逼近方法的復雜數據分析》（11271368）；教育部人文社會科學青年基金項目《面板數據的分位回歸方法及其變量選擇問題研究》（10XNL018）；湖北省教育廳人文社科項目《面板數據的分位回歸方法及其應用研究》（2012G078）；湖北工業(yè)大學博士科研啟動基金《高維復雜縱向數據的分位回歸建模研究》（BSQD13050）

李子強，男，湖北武穴人，副教授，研究方向：應用數理統計；

田茂再，男，湖南鳳凰人，理學博士，教授，博士生導師，研究方向：數理統計；

羅幼喜，男，湖北紅安人，經濟學博士，副教授，研究方向：數理統計及計量經濟建模。

（責任編輯：崔國平）