基于高階模多象限法的微小平移測量

劉尊龍，孫恒信，劉奎，郜江瑞

（山西大學(xué) 光電研究所量子光學(xué)與光量子器件國家重點實驗室，山西 太原 030006）

0 引言

精密測量技術(shù)是量子光學(xué)的重要應(yīng)用之一。其中激光微小平移測量在諸多領(lǐng)域都有著重要意義，例如，現(xiàn)代信息光學(xué)中光學(xué)圖像探測［1］、天文學(xué)中衛(wèi)星之間的位置穩(wěn)定［2］以及生物學(xué)中粒子運動追蹤［3］等。隨著科學(xué)的發(fā)展和認知的需求，對微小平移測量的精度（靈敏度）要求越來越高。通過產(chǎn)生空間非經(jīng)典光場降低量子噪聲［4－6］，可以提高靈敏度。然而，空間非經(jīng)典光場需要在苛刻的實驗條件下才能產(chǎn)生［7］，且易受傳播損耗的影響而導(dǎo)致其靈敏度降低，這就需要我們尋找其他有效光源代替空間非經(jīng)典光場。空間高階模激光具有更加復(fù)雜的橫向分布，包含更大的信息量，已經(jīng)被應(yīng)用于精密測量中［8－9］，因此，我們考慮將空間高階模激光用于微小平移測量來提高測量靈敏度。

目前普遍采用的空間微小平移測量裝置為平衡零拍系統(tǒng)［6，10－11］，但使用高階模激光作為信號光時，平衡零拍系統(tǒng)需要構(gòu)造復(fù)雜的本底光，不易實現(xiàn)。近年來半導(dǎo)體器件加工工藝取得了飛速發(fā)展，其中CCD探測器每個像素尺寸已經(jīng)可以達到微米量級，可以用于探測橫向分布更加復(fù)雜的光場，從而獲取更大的信息量，多象限探測法逐漸成為一種有效可行的測量手段。

本文給出了一種基于高階厄米高斯模的微小平移多象限探測方案，在量子噪聲不變的情況下，通過提高信號光模式階數(shù)可以大幅提高平移測量的信噪比，從而提高測量靈敏度，且實驗裝置更加簡便有效。

1 激光微小平移探測的極限

激光具有很好的空間指向性，可以用來加載微小平移信息，通過測量其空間橫向光子數(shù)分布，我們可以提取出平移信息。

對于一束厄米高斯TEMn0模激光，只考慮一維情況下，其橫向光子數(shù)分布滿足

TEMn0模經(jīng)過微小平移d后，其空間分布泰勒展開為：

由于量子噪聲的存在，在對激光進行測量時，空間橫向每一處對應(yīng)的光子數(shù)n（x）在時域上都是圍繞其均值ˉn（x）起伏的隨機量，我們只能得到關(guān)于平移量d的一個估計量＾d，而且＾d必定伴隨著量子噪聲起伏。信息理論里定義了估計量＾d的起伏量的下界，即克拉美－羅下界（Cramer-Rao bound）［12］，對于高階橫模相干光場，其估計量＾d的克拉美－羅下界為：

IF稱為Fisher信息，可以從量子噪聲中分辨出的最小可測量值為dmin＝1／，則探測靈敏度極限為

由此可見，F(xiàn)isher信息量越大，對平移量d可達到的探測精度越高。而Fisher信息量的大小與信號光橫向分布有密切關(guān)系。分別將（3）式和（4）式帶入（7）式，可以得到當(dāng)信號光為TEMn0模時（n＝0，1，…），測量靈敏度極限為

這一極限不依賴于測量方式，只與信號光的模式分布有關(guān)，而相比于TEM00模，高階模就具有更強的空間分布特性，測量靈敏度極限更大。

接下來我們考慮采用多象限探測法進行激光橫向微小平移測量，分別給出采用厄米高斯基模和高階模作為信號光情況下的測量靈敏度。

2 多象限法探測微小平移

2.1 理想模型

Fig.1 Experimental scheme of array detection for small displacement圖1 多象限法探測微小平移實驗方案

實驗方案如圖1所示，采用TEMn0模激光作為信號光（n＝0，1，…），信號光經(jīng)過平移調(diào)制后，橫向強度分布由多象限探測器每個象限測得，理想模型情況下，每個象限寬度都為無窮小，所有像素的測量信號分別取增益之后加和得到估計量S（d），S（d）可表示為以下積分形式

其中g(shù)（x）為對x處象限測得信號的增益，取適當(dāng)增益使S（d＝0）＝N∫g（x）｜un（x）｜2d x＝0，將（2）式帶入（9）式得，估計量S（d）為d的無偏估計量

定義探測模式w（x）＝g（x）un（x）／f，其中f2＝∫g2（x）｜un（x）｜2d x為歸一化系數(shù)。

對于相干光，S（d）的量子噪聲為探測模式對應(yīng)的量子噪聲即Δ2S＝Nf2［13］。

當(dāng)增益取為g（x）∝gopt（x）＝u′n（x）／un（x）時，探測模式w（x）與歸一化后的平移激發(fā)模式u′n（x）具有相同的空間分布，估計量S（d）的信噪比達到最大，為

2.2 實際模型

實際情況下，無窮小象限是不存在的，每個象限都為有限寬度的區(qū)域Di（i＝1，2，…）。通過理想模型，已經(jīng)得到最佳增益分布gopt（x），按照gopt（x）分布來控制每個象限區(qū)域Di的增益。估計量S（d）可表示為以下加和形式

每個象限D(zhuǎn)i的寬度大小l直接影響著耦合系數(shù)，而耦合系數(shù)決定了探測靈敏度。設(shè)每個象限寬度為l＝ω0／k（k＝1，2，…），k值的大小決定著探測器對光斑分割的象限數(shù)，k值越大，參與聯(lián)合測量的象限越多，可以獲得的信息量越多。

我們分別模擬了采用TEM00模、TEM10模和TEM20模作為信號光的微小平移測量。圖2分別給出了三種模式作為信號光進行微小平移測量時的信號光模式和激發(fā)模式橫向分布及對應(yīng)最佳增益分布，其中橫軸為歸一化坐標(biāo)x／ω0，縱軸為歸一化常數(shù)，實線為信號光模式分布，虛線為平移激發(fā)模式分布，點狀虛線為最佳增益分布。圖3為測量靈敏度隨k值變化的趨勢，其中縱軸為歸一化的測量靈敏度SAD，n0／SCRB，00。

Fig.3 Plots of normalized sensitivities with TEM00 mode，TEM10 mode and TEM20 mode as signal light，as functions of k圖3 采用TEM00模、TEM10模和TEM20模作為信號光的歸一化測量靈敏度隨k值變化

從圖3中可以看出，隨著k值逐漸增加，各階模對應(yīng)的測量靈敏度都逐漸增加，趨近各自的測量極限，而且使用高階模相干光作為信號光時，可以達到基模靈敏度極限的倍。

當(dāng)k取2時，相比TEM00模作為信號光，高階模測量精度就有顯著的提高，目前已經(jīng)量產(chǎn)的Hamamatsu G7150-16多象限探測器的每象限寬度為l＝80μm，假設(shè)信號光腰斑大小為ω0＝160μm，功率為P＝1 mW，波長為λ＝1μm，分辨率帶寬為RBW＝100 k Hz，采用TEM00模、TEM10模和TEM20模作為信號光最小可測量量分別可達0.37 nm、0.26 nm、0.23 nm，其中TEM10模和TEM20模作為信號光，比TEM00模測量靈敏度分別提高約42%和61%。

通過訂制具有更小象限寬度的多象限探測器，目前最小CCD可達微米量級，可以使k值取到更大。當(dāng)k取10時，各階模測量靈敏度接近靈敏度極限，TEM10模和TEM20模作為信號光測量靈敏度分別比基模提高約65%和110%，而采用空間非經(jīng)典光場作為信號光，想要達到同樣的測量精度，需要分別產(chǎn)生4.3 dB和6.4 dB的空間壓縮光［4，6］。此外，使用多象限探測器直接對高階模激光進行探測，相比于平衡零拍探測，避免了產(chǎn)生復(fù)雜的本底光，且不需要位相的鎖定。因此，高階模多象限探測法在提高測量精度的同時，極大地簡化了實驗裝置。

3 結(jié)論

相比于厄米高斯基模激光，采用高階模作為信號光進行微小平移測量可以提高信噪比，n階模測量靈敏度極限提高了倍。高階模橫向分布更加復(fù)雜，包含更多的信息量，針對這一特征，本文采用多象限探測法，即橫向分布的多個象限聯(lián)合測量，并且控制每個象限的增益使測量趨于最有效，數(shù)值模擬結(jié)果證明高階模作為信號光，測量靈敏度有顯著的提高。本文提出的高階模多象限探測法，為激光微小平移測量提供了直觀而又簡便有效的方案。

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