令人著迷的概率

許秋霞

同學(xué)們，學(xué)習(xí)了第8章《認(rèn)識概率》，你們對生活中的事件是不是有了新的認(rèn)識？我們可以將事件分為：必然事件、不可能事件和隨機(jī)事件，感受到隨機(jī)事件發(fā)生的可能性有大有小，并學(xué)會了判斷、比較一些事件發(fā)生可能性的大小. 特別是認(rèn)識了那位聰明的大臣，看他憑著自己的聰明才智，將“生”這個不可能事件變?yōu)楸厝皇录蠹矣袥]有對概率這門學(xué)問更感興趣了呢？今天再讓我?guī)瑢W(xué)們一起去看看歷史上最有名的概率問題之一——三門問題，其中的奧秘一定會讓你深深著迷！

三門問題（Monty Hall problem）亦稱為蒙提霍爾問題、蒙特霍問題或蒙提霍爾悖論，出自美國的電視游戲節(jié)目Lets Make a Deal. 問題名字來自該節(jié)目的主持人蒙提·霍爾（Monty Hall）. 游戲中參賽者會看見三扇關(guān)閉了的門，其中一扇的后面有一輛汽車，選中后面有車的那扇門可贏得該汽車，另外兩扇門后面則各藏有一只山羊. 當(dāng)參賽者選定了一扇門，但未去開啟它的時候，節(jié)目主持人開啟剩下兩扇門的其中一扇，露出其中一只山羊. 主持人然后會問參賽者要不要換另一扇仍然關(guān)上的門. 問題是：換另一扇門會否增加參賽者贏得汽車的概率？

對于“三門問題”，瑪麗蓮·沃斯·莎凡特（她是截至2008年吉尼斯世界紀(jì)錄所認(rèn)定擁有最高智商（IQ）的人）在她專欄的回答是：改選會更有優(yōu)勢！這個回答偏離了大多數(shù)人的想法，在美國引起了激烈的爭議：人們寄來了數(shù)千封抱怨信，很多寄信人是教師或?qū)W者. 一位來自佛羅里達(dá)大學(xué)的讀者寫道：“這個國家已經(jīng)有夠多的數(shù)學(xué)文盲了，我們不想再有個世界上智商最高的人來充數(shù)！真讓人羞愧！”美國陸軍研究所的埃弗雷特·哈曼寫道：“如果連博士都要出錯，我看這個國家馬上要陷入嚴(yán)重的麻煩了.”

但是莎凡特并沒有錯. 最后她用整整4個專欄、數(shù)百個新聞故事及在小學(xué)生課堂模擬的實(shí)驗(yàn)來說服她的讀者，她是正確的. “哦，那真是太有趣了. 實(shí)際上我十分享受這些討厭的來信，”她說，“這些家伙我真是愛死他們了！”聰明的同學(xué)，你知道為什么嗎？

這一問題的關(guān)鍵在于主持人，如果嚴(yán)格按照上述的條件，即主持人清楚地知道，哪扇門后是羊，因?yàn)樗倳粢簧群竺鏇]有獎品（汽車）的門. 游戲秀的調(diào)查數(shù)據(jù)顯示，那些改選的參賽選手贏的概率是那些沒有改選的人的兩倍，這證實(shí)了莎凡特在其第三篇專欄中的解釋：“當(dāng)你從三扇門中選了門1后，這扇門后面有獎的概率是，另兩扇門有獎的概率的和是. 但接下來主持人給了你一個線索：如果獎品在門2后，主持人將會打開門3；如果獎品在門3后，他會打開門2. 所以如果你改選的話，只要獎品在門2或門3后你就會贏，兩種情況你都會贏！但是如果你不改選，只有當(dāng)獎品在門1后你才會贏. 所以換門的話，贏得汽車的概率是，而不換門，贏得汽車的概率只有.”真是太神奇了！

下面再請同學(xué)開動腦筋，來幫幫這個問題中的看守吧.

亞當(dāng)、比爾和查爾斯被關(guān)在一個監(jiān)獄里，只有監(jiān)獄看守知道誰會被判死刑，另外兩位將會獲釋. 有的概率會被處死刑的亞當(dāng)，給他母親寫了一封信，想要讓可以獲釋的比爾或查爾斯幫忙代寄. 當(dāng)亞當(dāng)問看守他應(yīng)當(dāng)把他的信交給比爾還是查爾斯時，這位富有同情心的看守很為難. 他認(rèn)為如果他把將要獲釋的人的名字告訴亞當(dāng)，那么亞當(dāng)就會有的概率被判死刑，因?yàn)槭Ｏ碌娜撕蛠啴?dāng)這兩人中一定有一個人會被處死. 如果他隱瞞這信息，亞當(dāng)被處死的概率是. 你同意看守的這個結(jié)論嗎？

我們直覺認(rèn)為亞當(dāng)會死的概率是，那是因?yàn)楸O(jiān)獄里有3個人，會死1個. 現(xiàn)在看守說出一個名字后，我們旁觀的人知道是2個里面死1個，亞當(dāng)在內(nèi)，則亞當(dāng)會死的概率上升到. 這么說來，亞當(dāng)會死的概率的確上升了！

正確的答案是：看守不用擔(dān)心，因?yàn)榧热粊啴?dāng)知道其他兩人中必有一人會獲釋，那么亞當(dāng)自己被處死的概率怎么可能會因?yàn)榭词馗嬖V他其他兩人中被獲釋者的姓名后而改變呢？即使把獲釋人的姓名告訴亞當(dāng)，亞當(dāng)被處死的概率仍然是，沒有改變. 但是，剩下的那位沒被點(diǎn)名的人就有的概率被處死（被處死的可能性升高了）.

這兩個小故事中的概率問題是不是很有趣呢？數(shù)學(xué)中還有很多這樣有趣的故事等待你去探索，去思考，相信你會在數(shù)學(xué)的故事王國中越來越聰明！

（作者單位：江蘇省常州市第二十四中學(xué)）endprint