選舉中的數(shù)學(xué)

謝麗

選舉，與我們的生活息息相關(guān)，“初選、復(fù)選、海選、大選”，這些詞充斥在我們的社會(huì)生活中. 大到政治選舉，如人民代表大會(huì)選舉、總統(tǒng)選舉、奧運(yùn)會(huì)主辦城市推選，小到班級(jí)干部的選舉，每個(gè)人都或多或少參與過選舉或被選舉. 用數(shù)學(xué)眼光看“選舉”，你對(duì)“選舉”的認(rèn)識(shí)有多少呢？

一、 選舉方法與策略選舉

就我們常識(shí)范圍而言，選舉方法可以列出下面幾種：

第一法：多數(shù)原則. 以獲最多票的議案作為表決結(jié)果， 要注意的是， 其實(shí)支持該議案的投票人（下稱贏家）未必是最大多數(shù). （此法由于民意不濃， 現(xiàn)在已經(jīng)基本不用）.

第二法：大多數(shù)原則. 以獲半數(shù)以上（常稱簡單多數(shù)）票數(shù)的議案作為表決結(jié)果.

第三法：逐輪表決. 在大多數(shù)原則下， 將所有議案兩兩進(jìn)行表決，能在捉對(duì)表決中每次都勝出的議案才作為表決結(jié)果（其時(shí)贏家稱之為鷹派贏家）.

第四法：記分法. 選舉人以遞降方式給諸議案打分并累計(jì)積分，以各議案累積分多少排出次序，獲最高分的議案為表決結(jié)果.

任何選舉結(jié)果的公平性首先表現(xiàn)在： 不管采用的是什么選舉方法，選舉結(jié)果在某種程度上至少代表了相對(duì)多數(shù)選舉人的意志. 對(duì)一個(gè)同時(shí)是數(shù)學(xué)家的社會(huì)學(xué)家來說，他就要進(jìn)一步問：多數(shù)是不是意味著絕大多數(shù)？有沒有一個(gè)使全社會(huì)都滿意的選舉辦法？

在正常情況下，上述任何一種表決方式都可以得出令人滿意的選舉結(jié)果. 但是， 使選舉理論變得復(fù)雜起來的原因，是由于策略表決的出現(xiàn). 所謂策略表決，意思是某些選舉人為了集團(tuán)利益或別的原因，在選法中故意不按照自己的偏愛和意向次序進(jìn)行投票. 在我們?nèi)粘Ｉ罾?，通常被認(rèn)為是投機(jī)表決而不足為訓(xùn)，但在外交、軍事或合資企業(yè)里， 則是一種合法的選擇.

二、 選舉結(jié)果與選舉規(guī)則

一個(gè)重要的理論是：在競選者實(shí)力接近的時(shí)候（各方支持者數(shù)量差不多），選舉結(jié)果只是對(duì)選舉規(guī)則的反映，而不一定是對(duì)選民意見的反映. 什么叫對(duì)選舉規(guī)則的反映？這結(jié)論聽起來怎么有點(diǎn)違背常理. 要說清楚這個(gè)問題，我們先來看一個(gè)例子.

例如：假設(shè)有三個(gè)候選人A，B，C. 11 個(gè)人來投票，每個(gè)投票人列出他們對(duì)這三個(gè)人的支持程度，也就是給這三個(gè)人排一個(gè)從支持到不支持的序. 結(jié)果如下：

3人：A>B>C

2人：A>C>B

2人：B>C>A

4人：C>B>A

如果選舉規(guī)則是每人只選一個(gè)人，根據(jù)上面列出的表我們可以看出A會(huì)贏. 只選一個(gè)人的結(jié)果是A>C>B（得票依次是5，4，2）. 如果選舉規(guī)則是每人可以選兩人，然后再從前兩名中挑出得票最多的（相當(dāng)于初選加復(fù)選），我們可以看到其結(jié)果是B>C>A（得票依次是9，8，5）. 這個(gè)例子說明，同樣的選民，同樣的意向，因?yàn)檫x舉規(guī)則的不同可以得出完全相反的結(jié)論.

還有一些地方（比如歐洲一些地方的選舉）對(duì)意向采用Borda加權(quán)（起始于1770年）. 對(duì)每個(gè)意向表，第一名得兩分，第二名得一分. 最后把每個(gè)人的得分加起來看誰的分多誰當(dāng)選. 如果對(duì)上面的意向表采用這個(gè)Borda 加權(quán)，我們得出另一個(gè)不同的結(jié)果C>B>A（依次得分是12，11，10）. 如果用另外的加權(quán)方法，我們還可以得出別的不同結(jié)果. 同樣的意向表，不同的加權(quán)，到底會(huì)產(chǎn)生多少個(gè)不同的結(jié)果？有定理說：對(duì)N個(gè)候選人，存在一個(gè)意向表使得不同的加權(quán)會(huì)產(chǎn)生（N-1）·（N-1）！（“！”讀作“階乘”）個(gè)不同的結(jié)果. 顯然，對(duì)加權(quán)的限制是前面的權(quán)要大于或等于后面的權(quán)，另外還要求最后一名的權(quán)是0. 在這種條件下，如果有10個(gè)候選人（比如美國的總統(tǒng)初選），同樣的意向表可以產(chǎn)生超過三百萬種不同的結(jié)果.

有人說數(shù)學(xué)上證明的存在例子都是人為造出來的特殊情況，實(shí)際選舉出現(xiàn)這種特例的機(jī)會(huì)是不多的. 對(duì)這些懷疑者正好有另一個(gè)定理等在那里回答. 該定理說：如果有三個(gè)候選人，他們的支持度差不多（沒有人有特別大的優(yōu)勢(shì)），則有大于三分之二的可能性（實(shí)際數(shù)是69%）選舉規(guī)則會(huì)改變選舉結(jié)果. 三分之二可不是一個(gè)小數(shù)，比一半大多了. 也就是說當(dāng)各方實(shí)力接近的時(shí)候，選舉規(guī)則會(huì)改變選舉結(jié)果的時(shí)候比不會(huì)改變結(jié)果的時(shí)候多一倍. 以美國2008年的大選為例，如果把全體美國人的意向列一個(gè)意向表，我們幾乎可以肯定不同的規(guī)則會(huì)產(chǎn)生不同的結(jié)果. 也就是說對(duì)這個(gè)意向表不同的加權(quán)可以產(chǎn)生希拉里贏，或者奧巴馬贏，或者麥凱恩贏.

三、 數(shù)學(xué)之眼看美國總統(tǒng)選舉

美國總統(tǒng)大選日那天，愿意投票的美國人將把選票投給自己喜歡的總統(tǒng)候選人，這一投票過程稱為普選. 然而，很可能會(huì)出現(xiàn)這種可能：某位候選人在普選中獲勝，但卻把總統(tǒng)的位置輸給了對(duì)手. 這是怎么回事呢？

原來美國總統(tǒng)大選制度有點(diǎn)特別，最后決定大選勝負(fù)的不是選民票而是選舉人票. 美國各州選舉人票的數(shù)量，與該州國會(huì)席位數(shù)相等. 某位總統(tǒng)候選人在哪個(gè)州贏得多數(shù)選民票，即贏得這個(gè)州的全部選舉人票. 這種制度的一個(gè)可能結(jié)果，就是贏得少數(shù)選民票的總統(tǒng)候選人反而取得最后的勝利.

例如，甲、乙兩人競選總統(tǒng)，假設(shè)只有大小兩個(gè)州，大州有100張選民票，10張選舉人票；小州有10張選民票，1張選舉人票. 兩位候選人贏得選民票的情況如下：甲在大州得51張，在小州得0張，共51張；乙在大州得49張，在小州得10張，共59張. 顯然，乙贏得的選民票比甲多. 再看選舉人票. 由于甲在大州贏得多數(shù)選民票，因此他贏得大州的全部選舉人票，即甲得10張選舉人票；而乙贏得小州的全部選民票，即乙得1張選舉人票. 甲贏得的選舉人票比乙多，最后結(jié)果是甲贏得大選.

這種情況在美國歷史上曾經(jīng)出現(xiàn)過兩次.

四、 一個(gè)不可能性定理

有關(guān)選舉理論最重要的一項(xiàng)研究，是1972年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)得主，史坦福大學(xué)教授阿羅（J-K.Arow）在1951年發(fā)表的一條定理，它正好回答了我們的問題.

J-K.Arow不可能性定理：絕對(duì)公平的選舉系統(tǒng)是不存在的.

他的證明用到了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)中的公理方法（常稱ZFC）， 這是一個(gè)十分困難的數(shù)學(xué)分支，已經(jīng)完全超出我們的范圍. 但是，用不多的數(shù)學(xué)卻可以證明，在一定條件下，對(duì)于每一張意向偏愛表，總可以找到一個(gè)記分法， 讓一個(gè)指定的候選人當(dāng)選.

（作者單位：江蘇省金壇市華羅庚實(shí)驗(yàn)學(xué)校）endprint