淺談經(jīng)濟(jì)研究中的數(shù)學(xué)模型

●楊鴻雁

純粹的量的關(guān)系和形式是數(shù)學(xué)研究的主要對象，將具體形象的實(shí)際內(nèi)容舍棄，只保留一般的數(shù)量關(guān)系，關(guān)注其抽象的共性，是數(shù)學(xué)研究的特征；反之，經(jīng)濟(jì)學(xué)及其他學(xué)科最為感興趣的是自己所抽象的公式（數(shù)學(xué)模型）能否說明某一現(xiàn)象、解決相應(yīng)的問題以及其使用的約束條件如何，這樣矛盾自然也同時存在兩者之間。然而在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中用數(shù)學(xué)方法能夠很好說明某些現(xiàn)象或概括某些問題卻是不爭的事實(shí)，因此在經(jīng)濟(jì)學(xué)中使用數(shù)學(xué)的關(guān)鍵問題僅僅在于其實(shí)踐性或適用性方面①。建立數(shù)學(xué)模型能夠研究變量之間的關(guān)系，探究事務(wù)變化的規(guī)律，用可控變量計(jì)算出必要的結(jié)論，進(jìn)而總結(jié)出理論假說，這便是數(shù)學(xué)模式在經(jīng)濟(jì)研究領(lǐng)域中的運(yùn)用。如今經(jīng)濟(jì)學(xué)已經(jīng)成為了一門高度數(shù)學(xué)化的社會科學(xué)類學(xué)科，數(shù)學(xué)成為經(jīng)濟(jì)模型建立和推導(dǎo)的主要工具，很多數(shù)學(xué)的重大研究已經(jīng)運(yùn)用于經(jīng)濟(jì)學(xué)理論中?，F(xiàn)在這兩者矛盾爭論的焦點(diǎn)不再是經(jīng)濟(jì)學(xué)需不需要使用數(shù)學(xué)方法，而是怎樣在經(jīng)濟(jì)研究中使用數(shù)學(xué)方法的問題。雖然現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)學(xué)在研究經(jīng)濟(jì)問題方面已經(jīng)獲得了較好的成效，但是對于經(jīng)濟(jì)學(xué)而言某些數(shù)學(xué)模式是否能夠運(yùn)用其中，或者如何更好地運(yùn)用其研究經(jīng)濟(jì)問題仍需要進(jìn)一步探究。

一、數(shù)學(xué)模型的基本內(nèi)涵

數(shù)學(xué)模型是采用有關(guān)數(shù)學(xué)思想，對數(shù)學(xué)研究中的各種問題的一種整體概述和表述。其一般是為了解決數(shù)學(xué)問題，對某個特定對象提出必要的條件和假設(shè)，使用數(shù)學(xué)圖形、數(shù)學(xué)關(guān)系式、圖表等數(shù)學(xué)專業(yè)術(shù)語以及合理的數(shù)學(xué)方法和手段獲取的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。這種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的形式豐富多彩，其能夠是一種算法語言，可以是一個數(shù)學(xué)圖表，也可以是幾種結(jié)構(gòu)的混合。將數(shù)學(xué)領(lǐng)域的具體問題抽象和簡化為數(shù)學(xué)模型即是數(shù)學(xué)建模，其包含提出問題、簡化問題、模型建立、模型驗(yàn)證、模型修改、模型使用等多方面內(nèi)容②。

在經(jīng)濟(jì)研究中引進(jìn)數(shù)學(xué)工具進(jìn)行解析，把復(fù)雜的經(jīng)濟(jì)問題用精練的數(shù)學(xué)語言予以表達(dá)，從而把經(jīng)濟(jì)中相互影響的因素建立起具有邏輯性的相互聯(lián)系，然后通過計(jì)算找出其內(nèi)在的規(guī)律性及其具體數(shù)量，這樣的數(shù)學(xué)表達(dá)式（函數(shù)式）就稱為經(jīng)濟(jì)模型，或經(jīng)濟(jì)的數(shù)學(xué)模型。

二、數(shù)學(xué)經(jīng)濟(jì)建模及其重要性

數(shù)學(xué)經(jīng)濟(jì)建模是對客觀經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象進(jìn)行總體概述，并采用模型方式體現(xiàn)各種經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象中各個要素間的相互數(shù)量關(guān)系，是經(jīng)濟(jì)研究中比較重要的方法。其本質(zhì)就是把錯綜復(fù)雜的實(shí)際經(jīng)濟(jì)問題用數(shù)字、字母和其他數(shù)學(xué)符號形成的不等式、或等式以及圖像、圖表、框圖等數(shù)學(xué)語言簡化、抽象為合理的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的過程。應(yīng)用數(shù)學(xué)去解決各類實(shí)際經(jīng)濟(jì)問題時，建立數(shù)學(xué)經(jīng)濟(jì)模型是十分關(guān)鍵的一步，同時也是十分困難的一步。無論是建立數(shù)學(xué)經(jīng)濟(jì)模型，還是運(yùn)用模型對有關(guān)經(jīng)濟(jì)問題進(jìn)行定量研究分析，都需要豐富的數(shù)學(xué)知識，比如數(shù)學(xué)中的線性代數(shù)、數(shù)學(xué)分析、常微分方程、概率論、數(shù)理統(tǒng)計(jì)、模糊數(shù)學(xué)等知識就必不可少。然而縱觀現(xiàn)代發(fā)展史得知，經(jīng)濟(jì)發(fā)展的速度與數(shù)學(xué)經(jīng)濟(jì)建模具有緊密的聯(lián)系。在經(jīng)濟(jì)決策定量化、科學(xué)化呼聲越來越高漲的今天，數(shù)學(xué)經(jīng)濟(jì)建模已經(jīng)廣泛運(yùn)用于各個經(jīng)濟(jì)活動之中。比如，漢森、?？怂箖晌唤?jīng)濟(jì)學(xué)家用IS—LM模型對凱恩斯的有效需求理論進(jìn)行了較為完善的闡述，不僅如此，凱恩斯主義的經(jīng)濟(jì)政策即財政政策和貨幣政策的分析，也是圈繞IS—LM模型而展開的。因此，IS—LM模型是凱恩斯主義宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)的核心，是數(shù)學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)有機(jī)結(jié)合的經(jīng)典之作。再比如，在實(shí)際生產(chǎn)、營銷中，生產(chǎn)商可以按照客戶提出的產(chǎn)品質(zhì)量、數(shù)量、交貨期、交付地點(diǎn)、交付方式等需求，運(yùn)用快速報價系統(tǒng)（按照生產(chǎn)商各種資源、生產(chǎn)成本、產(chǎn)品生產(chǎn)流程以及客戶要求等數(shù)據(jù)建立數(shù)學(xué)經(jīng)濟(jì)模型）與客戶進(jìn)行直接交流和溝通。

三、構(gòu)建經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型的方法和步驟

數(shù)學(xué)模型廣泛運(yùn)用在經(jīng)濟(jì)研究領(lǐng)域中，包括政策評價、經(jīng)濟(jì)預(yù)測、結(jié)構(gòu)分析等多方面。經(jīng)濟(jì)政策評價包括理論分析和實(shí)踐分析兩個方面。理論分析包括研究分析、評價政策的效果，并對不合理的部分進(jìn)行修改補(bǔ)充，以更加符合經(jīng)濟(jì)規(guī)律的要求。實(shí)踐分析主要是分析政策所產(chǎn)生的政治的、經(jīng)濟(jì)的、社會的實(shí)際效果，并對原政策方案進(jìn)行檢驗(yàn)、修改、完善。在進(jìn)行政策目標(biāo)評價時，通過對相互矛盾的目標(biāo)進(jìn)行綜合分析，制定出這些目標(biāo)在一定條件下能相互協(xié)調(diào)的宏觀經(jīng)濟(jì)政策和微觀經(jīng)濟(jì)政策，其使用的研究分析方法有IS—LM模型、脈沖響應(yīng)函數(shù)、方差分解等；經(jīng)濟(jì)預(yù)測是在對一定時期的客觀經(jīng)濟(jì)活動過程進(jìn)行深入調(diào)查的基礎(chǔ)上，運(yùn)用各種科學(xué)的方法，對掌握的經(jīng)濟(jì)信息加以分析研究后，并評估和預(yù)測未來經(jīng)濟(jì)活動發(fā)展?fàn)顩r及變化趨勢，其使用的研究分析方法有時間數(shù)列法、指標(biāo)分析法、因素分析法等；結(jié)構(gòu)分析是經(jīng)濟(jì)研究的重要內(nèi)容，它是對經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象中各種變量之間的關(guān)系進(jìn)行全面研究，是當(dāng)一個變量或幾個變量出現(xiàn)變化時，是否會對其他變量以及經(jīng)濟(jì)體系產(chǎn)生影響所進(jìn)行研究分析。其使用的研究分析方法有乘數(shù)分析、彈性分析以及比較靜力分析等。

一般而言，針對經(jīng)濟(jì)研究問題，建立一個科學(xué)合理的數(shù)學(xué)模型主要包括以下步驟：(1)全方位了解各種實(shí)際問題和與問題相關(guān)的其他各種知識；(2)按照研究的目標(biāo)和任務(wù)，針對研究的現(xiàn)象進(jìn)行全方位、多層次的調(diào)查研究，盡可能獲得更多的數(shù)據(jù)信息，并對各項(xiàng)數(shù)據(jù)進(jìn)行正確分組；(3)把研究的實(shí)際問題進(jìn)行抽象、簡化，確定模型中各種影響因素，并分析出重要因素，使用參數(shù)和數(shù)量來表達(dá)這些因素。采用數(shù)學(xué)知識來描繪問題中變量參數(shù)之間的聯(lián)系，初步形成數(shù)學(xué)關(guān)系式③；(4)進(jìn)一步簡化、合并數(shù)學(xué)關(guān)系，最后構(gòu)建成數(shù)學(xué)模型；(5)運(yùn)用總結(jié)分析得出的數(shù)據(jù)，使用有關(guān)數(shù)學(xué)方式計(jì)算出所建立的模型中參數(shù)的估計(jì)值，進(jìn)而明確模型；(6)偏差分析所確定的模型闡述，將模型結(jié)論與實(shí)際測量數(shù)據(jù)進(jìn)行對比分析，以驗(yàn)證模型是否跟實(shí)際問題相符合。如果相差甚遠(yuǎn)，就必須進(jìn)一步調(diào)整修改模型，在按照以上程序再進(jìn)行一次，直到構(gòu)建完成的模型符合實(shí)際問題。

四、數(shù)學(xué)模型在經(jīng)濟(jì)研究中的應(yīng)用舉例

本文以彈性分析和線性規(guī)劃為例，體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模在經(jīng)濟(jì)研究過程中的重大作用。

案例1：彈性分析模型。彈性是一個數(shù)學(xué)概念，為相對變化率，即是相互依存的一個變量對另外一個變量變化所表現(xiàn)出來的反應(yīng)程度。

彈性的數(shù)學(xué)含義是自變量變化1%所引起因變量變化的百分?jǐn)?shù)。由比例學(xué)分析得知，彈性是一種不借助其他任何單位的計(jì)量方法，即是無量綱的。把彈性理論用于經(jīng)濟(jì)研究領(lǐng)域，能夠?yàn)榻?jīng)濟(jì)研究提供有效的方法。需求價格彈性就是數(shù)學(xué)彈性分析模型運(yùn)用于經(jīng)濟(jì)研究中具體體現(xiàn)。

比如：假定某產(chǎn)品的需求函數(shù)為Q=3000e-0.02p，問價格為100時的需求彈性，分析其經(jīng)濟(jì)內(nèi)涵。

經(jīng)濟(jì)含義為：當(dāng)價格是100元時，如果價格提升1%，則需求量將會降低2%。進(jìn)一步講，因彈性系數(shù)大于1，即需求量的變化率大于價格的變化率，故需求量對于價格的變化率是比較敏感的，也稱需求富有彈性或高彈性。

案例2：0-1線性規(guī)劃模型。它是為解決實(shí)際優(yōu)化問題的所謂分派一類問題而產(chǎn)生的，下面舉例說明其數(shù)學(xué)模型是如何建立的。

某企業(yè)計(jì)劃招收m個崗位，人力資源管理部門需要從n個應(yīng)聘者中招收m個工作人員（n≥m）。企業(yè)規(guī)定每個崗位只需要一名工作人員，工作人員只需要專職做一件工作，通過測試，第i個工作人員做j件工作的效率為Cij，問應(yīng)該招收哪些人員，怎樣分配工作才能獲得最佳的效益。

解答：設(shè)xij=1代表第i個應(yīng)聘人員只做第j件工作，xij=0代表第 i個應(yīng)聘人員不做第 j件工作（i=1，2，3.....；j=1，2，3，.....)，然后其線性規(guī)劃模型為：

上述模型中，由于決策變量取值只是0或者1，因此該模型為0—1規(guī)劃，是整數(shù)規(guī)劃的特例。

此外，數(shù)學(xué)模型運(yùn)用到經(jīng)濟(jì)研究過程中的案例較多，比如運(yùn)用概率分布構(gòu)建預(yù)期收益模型、運(yùn)用微分方程構(gòu)建經(jīng)濟(jì)增長模型、運(yùn)用微積分構(gòu)建最優(yōu)化價格模型、利用期望值法解決a風(fēng)險型決策問題、運(yùn)用Shapley值法建立收益合理分配模型等。

隨著經(jīng)濟(jì)研究越來越深入，采用數(shù)學(xué)工具來分析和解釋經(jīng)濟(jì)問題已經(jīng)成為了經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域研究最重要的方法。尤其是最近幾年來，計(jì)算機(jī)技術(shù)發(fā)展尤為迅速，開發(fā)了很多數(shù)學(xué)運(yùn)用軟件，利用數(shù)學(xué)模型來解決復(fù)雜的經(jīng)濟(jì)問題變得尤為高效，同時也提高了分析和解決經(jīng)濟(jì)問題的準(zhǔn)確性和真實(shí)性，為社會經(jīng)濟(jì)的發(fā)展做出了較大的貢獻(xiàn)。

注釋：

①張麗莉.關(guān)于跨學(xué)科研究方法的啟示——數(shù)學(xué)模型在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用[J].信息系統(tǒng)工程.2012，11(02)：100-102

②劉旭東.引領(lǐng)探究過程 建構(gòu)策略模型——淺談數(shù)學(xué)建模思想在“倒推”教學(xué)中的應(yīng)用[J].課程教育研究，2014，1（03）：45-46

③蘭亮.一類灰色平衡數(shù)學(xué)模型的研究及其在陜西經(jīng)濟(jì)協(xié)調(diào)發(fā)展研究中的應(yīng)用[D].西安建筑科技大學(xué)，2008