指數(shù)母函數(shù)在數(shù)學(xué)期望計(jì)算中的應(yīng)用

王豐效

(喀什師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，新疆 喀什 844000)

隨機(jī)變量的分布函數(shù)全面反映了隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，特征函數(shù)和母函數(shù)也是描述隨機(jī)變量概率分布的有力工具.隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是反映隨機(jī)變量取值平均水平的一個重要數(shù)字特征，方差是反映隨機(jī)變量取值的分散程度的數(shù)字特征.許多文獻(xiàn)都討論了數(shù)學(xué)期望和方差的計(jì)算問題［1-4］.文獻(xiàn)［5］引入了描述隨機(jī)變量分布的新函數(shù)，并稱之為指數(shù)母函數(shù)，討論了指數(shù)母函數(shù)的性質(zhì)，并給出了利用指數(shù)母函數(shù)計(jì)算隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望和方差的方法.本文在文獻(xiàn)［5］的基礎(chǔ)上進(jìn)一步討論利用指數(shù)母函數(shù)計(jì)算數(shù)學(xué)期望和方差的方法.

1 指數(shù)母函數(shù)及其性質(zhì)

定義1［1］設(shè)X為隨機(jī)變量，如果隨機(jī)變量X的函數(shù)期望g(t)=E(etX)存在，則稱g(t)為隨機(jī)變量X的指數(shù)母函數(shù).

由定義1可知，隨機(jī)變量的指數(shù)母函數(shù)具有下列性質(zhì):

1)g(0)=1．

2)如果隨機(jī)變量 X與 Y相互獨(dú)立，則gX+Y(t)=gX(t)gY(t)，即獨(dú)立隨機(jī)變量和的指數(shù)母函數(shù)等于各個隨機(jī)變量指數(shù)母函數(shù)的乘積.

3)如果隨機(jī)變量X的k階原點(diǎn)矩為νk，則有 νk=g(k)(0)，k=1，2，… .

4)如果隨機(jī)變量X的指數(shù)母函數(shù)為g(t)，則E(X)= ν1=g'(0)D(X)=g″(0)-(g'(0))2．為了計(jì)算方便，令h(t)=lng(t)，則有:

定理1 隨機(jī)變量X與aX(a≠0)的指數(shù)母函數(shù)滿足下列關(guān)系

gaX(t)=gX(at)

定理2 如果隨機(jī)變量X1，X2，…，Xn相互獨(dú)立同分布，且X1的指數(shù)母函數(shù)為g1(t)，則X1+X2+… +Xn的指數(shù)母函數(shù)為:

g(t)=(g1(t))n

定理3 如果隨機(jī)變量X1，X2，…，Xn相互獨(dú)立，則

D(X1+…+Xn)=D(X1)+…+D(Xn)

證明 設(shè)隨機(jī)變量Xi的指數(shù)母函數(shù)為gi(t)(i=1，2，…，n)，令X=X1+X2+ … +Xn，其指數(shù)母函數(shù)為g(t)，由于隨機(jī)變量X1，X2，…，Xn相互獨(dú)立，所以

因此

上式中令t=0可得:

上述定理及其證明實(shí)際上是給出隨機(jī)變量方差性質(zhì)的另外一種證明方法.

下面給出幾個常用分布的指數(shù)母函數(shù):

(1)二項(xiàng)分布g(t)=(pet+q)n;

(2)泊松分布 g(t)=eλ(et-1);

定理4 (正態(tài)分布的可加性)設(shè)X1，X2，…，Xn是相互獨(dú)立的服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，即Xi～ N(μi，σ2i)，i=1，2，…，n，則Sn=X1+X2+

證明 由于隨機(jī)變量Xi的指數(shù)母函數(shù)為

從而隨機(jī)變量Sn的指數(shù)母函數(shù)為

進(jìn)一步可得:

因此

定理5 利用指數(shù)母函數(shù)說明了獨(dú)立正態(tài)變量的和是正態(tài)分布，即獨(dú)立正態(tài)隨機(jī)變量具有可加性.

2 隨機(jī)變量期望和方差計(jì)算

下面利用指數(shù)母函數(shù)的數(shù)學(xué)期望和方差計(jì)算公式(1)，給出幾個隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望和方差計(jì)算的實(shí)例.

例1 設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，…，Xn相互獨(dú)立同分布，且 P(X1=k)=pqk-1(k=1，2，…;p+q=1;0＜p＜1)．求Sn=X1+X2+… +Xn的數(shù)學(xué)期望和方差.

解 由例1可知隨機(jī)變量Xi的指數(shù)母函數(shù)量Sn的指數(shù)母函數(shù)為:

故

h(t)=lng(t)=n(lnp+t+ln(1-qet))

因此

例2 流水作業(yè)線上生產(chǎn)出的每個產(chǎn)品為不合格品的概率為p，當(dāng)生產(chǎn)出k個不合格品時即停工檢修一次.求兩次檢修之間產(chǎn)品數(shù)的數(shù)學(xué)期望和方差.

解 設(shè)第i-1個不合格品出現(xiàn)后到第i個不合格品出現(xiàn)時的產(chǎn)品數(shù)為Xi，i=1，2，…，k.又假設(shè)兩次檢修之間產(chǎn)品數(shù)為X，則X1，X2，…，Xn相互獨(dú)立，且Xi的分布列為:

P(Xi=j)=pqj-1，j=1，2，…，p+q=1因而Xi的指數(shù)母函數(shù)為:

從而隨機(jī)變量X的指數(shù)母函數(shù)為:

故h(t)=lng(t)=n(lnp+t+ln(1-qet))

因此

［1］魏宗舒.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程［M］.第2版.北京：高等教育出版社，2008.

［2］周概容.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)［M］.北京：高等教育出版社，1985.

［3］劉成.隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的解法新探［J］.赤峰學(xué)院學(xué)報(bào)，2009，25(3)：6-8.

［4］張福閣，杜志濤.一個隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的計(jì)算［J］.高師理科學(xué)刊，2005，8(3)：12-13.

［5］王豐效.描述隨機(jī)變量分布的新函數(shù)［J］.沈陽師范大學(xué)學(xué)報(bào)，1996，14(4)：8-10.

［6］李春麗，何曉霞.一類隨機(jī)變量函數(shù)數(shù)學(xué)期望的求法及其應(yīng)用［J］.高師理科學(xué)刊，2013，33(2)：44-46.

［7］鄧春亮.一個離散型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的計(jì)算［J］.廣西科學(xué)，2012，19(3)：234-235.