機翼邊界層的橫流穩(wěn)定性分析和轉(zhuǎn)捩預(yù)測

黃章峰，逯學志，于高通

（1．天津大學力學系，天津 300072；2．空氣動力學國家重點實驗室，四川 綿陽 621000）

機翼邊界層的橫流穩(wěn)定性分析和轉(zhuǎn)捩預(yù)測

黃章峰1，2，逯學志1，于高通1

（1．天津大學力學系，天津 300072；2．空氣動力學國家重點實驗室，四川 綿陽 621000）

通過求解經(jīng)典O-S方程（LST）、擴展的O-S方程（EOS）和線性拋物化穩(wěn)定性方程（LPSE），對展向無限長、后掠角25°、迎角0°、來流Mach數(shù)0．8、單位Reynolds數(shù)6．79×106／m的機翼邊界層進行了穩(wěn)定性分析，結(jié)合eN方法進行了轉(zhuǎn)捩預(yù)測。研究發(fā)現(xiàn)無限長后掠機翼在（x，ω）平面上的中性曲線沒有下支，在（x，β）平面上的中性曲線呈反拇指的形狀，橫流不穩(wěn)定性在機翼前緣占主導(dǎo)作用。當外界擾動進入邊界層后，幅值將被直接放大，對于頻率相同的擾動，首先是展向波數(shù)β大的增長起來，演化到一定位置開始衰減，然后是展向波數(shù)β小的逐漸增長起來，并且增長的指數(shù)N逐步超過波數(shù)大的擾動。轉(zhuǎn)捩在機翼前緣完成，引起轉(zhuǎn)捩的擾動波的展向波長約為2mm。

流動穩(wěn)定性分析；轉(zhuǎn)捩預(yù)測；橫流不穩(wěn)定性；后掠機翼；拋物化穩(wěn)定性方程

0 引 言

機翼是飛機的重要部件之一，其最主要作用是產(chǎn)生升力，同時也產(chǎn)生一部分阻力。氣流在機翼表面的流動狀態(tài)是層流還是湍流直接決定了摩擦阻力的大小。研究結(jié)果表明層流翼型的阻力比湍流翼型的阻力可以減少一半以上。若大型運輸機翼能大部分保持層流，則可節(jié)省25%的燃料，具有很高的經(jīng)濟價值［1］。深入理解后掠機翼的轉(zhuǎn)捩機理、預(yù)測轉(zhuǎn)捩位置對氣動力計算和翼型優(yōu)化設(shè)計是非常必要的，對機翼的氣動減阻有著重要的經(jīng)濟價值。

后掠機翼的邊界層是典型的三維邊界層，其主要特點是在邊界層外緣勢流流速的橫向有壓力梯度。因此，邊界層內(nèi)的橫向速度不為零，稱為橫流。橫流的速度剖面存在拐點，因此流動是不穩(wěn)定的，即所謂橫流不穩(wěn)定性。橫流不穩(wěn)定性的本質(zhì)和T-S波不同，T-S波的產(chǎn)生依靠粘性。除了不穩(wěn)定行進波外，橫流不穩(wěn)定性還可能產(chǎn)生不穩(wěn)定的定常渦。通常在背景擾動較小時，定常渦起主導(dǎo)作用，在背景擾動較大時，行進波在起主導(dǎo)作用。

早在十幾年前，機翼橫流不穩(wěn)定性和轉(zhuǎn)捩問題就是國外研究的熱點，如Malik［2-3］、Saric［4］、Haynes［5］等人的工作。近五年，除了橫流不穩(wěn)定性機理的研究外，添加粗糙度或吹吸的人工方法對橫流和轉(zhuǎn)捩位置進行控制是熱點，如Mack［6］、Guha［7］等研究了橫流不穩(wěn)定性與壓縮性、Couette不穩(wěn)定性的關(guān)系，Chernoray［8］采用實驗的方法、Li［9］采用拋物化穩(wěn)定性方程（PSE）、Nishino［10］和Rizzetta［11］采用直接數(shù)值模擬（DNS）方法研究了粗糙度對橫流不穩(wěn)定性的影響和轉(zhuǎn)捩位置的控制。

近五年國內(nèi)大部分的研究工作是橫流不穩(wěn)定性機理和轉(zhuǎn)捩預(yù)測，如楊永等人［12-13］在采用升華法測量轉(zhuǎn)捩位置的基礎(chǔ)上，結(jié)合線性穩(wěn)定性理論（LST）做了一系列的轉(zhuǎn)捩控制實驗，王運濤［14］、錢煒祺［15］、陳奕［16］采用不同的湍流模式研究了翼型轉(zhuǎn)捩的特點和轉(zhuǎn)捩位置的預(yù)測，張坤［17］、左歲寒［18］通過線性穩(wěn)定性分析（LST）、線性拋物化穩(wěn)定性方程（LPSE）研究了橫流不穩(wěn)定性，徐國亮［19］采用非線性拋物化穩(wěn)定性方程（NPSE）研究了曲率對機翼邊界層二次失穩(wěn)的影響。

轉(zhuǎn)捩預(yù)測eN方法的理論基礎(chǔ)是線性穩(wěn)定性理論。線性穩(wěn)定性分析方法可以分為兩類，一類是求解經(jīng)典的O-S方程，即線性穩(wěn)定性分析（LST），歸結(jié)為特征值問題，另一類是求解線性拋物化穩(wěn)定性方程（LPSE），歸結(jié)為初值問題。

借鑒LPSE方法，本文對LST進行了改進，提出用擴展的O-S方程（EOS）來進行穩(wěn)定性分析的方法。該方法仍然是求解特征值問題，部分考慮了邊界層內(nèi)非平行流等因素對擾動幅值演化的影響。然后結(jié)合LST、EOS、LPSE和eN方法研究展向無限長的后掠機翼穩(wěn)定性特性、擾動演化規(guī)律及轉(zhuǎn)捩機理，對轉(zhuǎn)捩位置進行預(yù)測。

1 數(shù)值方法

1.1 基本流場

采用CFD軟件計算后掠翼的三維流場，其中x方向為機翼弦長方向，z方向為機翼展向方向，遠離機身為正。收斂后，取展向均勻區(qū)域的流場截面，重新劃分并加密網(wǎng)格，其中流向方向沿機翼剖面的弧線方向，采用變間距網(wǎng)格，機翼兩頭密中間?。环ㄏ蚍较虻木W(wǎng)格全部垂直于機翼壁面，y的大小定義為坐標點到壁面的距離。采用直接數(shù)值模擬（DNS）的方法計算收斂后得到后掠翼的基本流場。

1.2 經(jīng)典的O-S方程（LST）

在正交曲線坐標系下，考慮流向曲率drx和展向曲率drz，將N-S方程寫成擾動形式，并進行線化就得到了經(jīng)典的O-S方程。采用2點4階的Malik差分法，將O-S方程離散后得到特征關(guān)系式：

1.3 擴展的O-S方程（EOS）

考慮，且基本流是x的函數(shù)將NS方程寫成擾動形式，并進行線化就得到了擴展的O-S方程，離散后得到特征關(guān)系式：

1.4 線性拋物化穩(wěn)定性方程（LPSE）

無論是求解經(jīng)典的O-S方程還是擴展的O-S方程，都是采用某個x位置的基本流求解當?shù)氐奶卣髦郸?，β，ω和特征函?shù)φ，并對特征函數(shù)φ進行歸一化，并沒有考慮擾動幅值A(chǔ)本身的演化。將N-S方程拋物化和線化就得到線性拋物化穩(wěn)定性方程：

1.5 穩(wěn)定性分析及轉(zhuǎn)捩預(yù)測

在得到基本流的基礎(chǔ)上，通過求解經(jīng)典的O-S方程（LST）、擴展的O-S方程（EOS）或線性拋物化方程（LPSE），就可以得到某個擾動波的特征值α，β，ω和特征函數(shù)φ，進行穩(wěn)定性分析，進而進行轉(zhuǎn)捩預(yù)測。轉(zhuǎn)捩預(yù)測方法常用的是eN方法，其基本概念是：若在邊界層內(nèi)存在各種頻率的小擾動，這些擾動向下游傳播過程中，當其進入各個擾動相應(yīng)的不穩(wěn)定區(qū)域時，擾動的幅值會被逐步放大，將各個頻率的擾動從其幅值開始放大的位置起，沿傳播路徑累計其幅值的放大倍數(shù)en，取對數(shù)后為n值。在所有擾動中，若有某一擾動的幅值放大倍數(shù)的對數(shù)最先達到預(yù)設(shè)值N時，則可判定轉(zhuǎn)捩發(fā)生。該方法的理論基礎(chǔ)是線性穩(wěn)定性理論，而作為轉(zhuǎn)捩判定的域值N，則是由大量的實驗和計算數(shù)據(jù)相結(jié)合給出。

在本問題中，擾動演化是空間模式，因此ω為實數(shù)。展向為無限長，流場在展向均勻，僅在流向變化，因此擾動僅在流向有變化，故β為也實數(shù)，而α＝αr+iαi為復(fù)數(shù)。給定β和ω，通過LST、EOS或LPSE方法就可以得到不同流向位置下的αi，積分得到eN方法中的n值：

其中x0為擾動開始增長的位置或參考位置，積分到該擾動開始衰減，即-αi＜0。改變β和ω，求出n（β，ω，x）的包絡(luò)值，得到轉(zhuǎn)捩位置的N值：

1.6 物理模型

選用NACA0012翼型，弦長1m，厚度0．12m，后掠角25°，迎角0°。取高空10000m處無量綱參數(shù)，溫度223．3K，密度0．4134kg／m3，粘性系數(shù)1．4579× 10-5Pa·s，來流Mach數(shù)0．8，單位Reynolds數(shù)6．79 ×106／m，無量綱長度1mm，無量綱Reynolds數(shù)6790。下文除非特殊說明，均為無量綱量。

2 結(jié)果分析

2.1 網(wǎng)格及基本流場

用有限長度機翼的流場代替無限長機翼的流場。計算發(fā)現(xiàn)展向前緣的影響長度大約是弦長的2倍，后緣影響的長度大約是弦長的0．5倍，本文選取展向長度為弦長的4倍。圖1（a）給出了CFD整體網(wǎng)格示意圖，在32位系統(tǒng)中網(wǎng)格達到最大值70萬，在64位系統(tǒng)中網(wǎng)格為250萬。取出機翼展向均勻區(qū)域的流場截面，重新劃分并加密網(wǎng)格。圖1（b）給出了加密后局部網(wǎng)格示意圖。在流向，靠近機翼頭部的間距Δx＜0．1，在機翼中部的間距Δx＜1；在法向，1個邊界層內(nèi)有100個網(wǎng)格點，壁面處網(wǎng)格間距Δy＜0．008，確保網(wǎng)格滿足穩(wěn)定性分析的需要。

圖1 計算網(wǎng)格Fig.1 Computational grid

圖2（a-c）給出了機翼頭部不同x位置基本流的速度剖面u、v、w沿y方向的分布，其中u和w是平行于當?shù)乇诿嫜亓飨蚝驼瓜虻乃俣确至浚瑅是垂直于當?shù)乇诿嫜胤ㄏ虻乃俣确至??？梢钥闯鲈趛＞1以上的速度u和w的剖面接近于常數(shù)。在機翼頭部出現(xiàn)了加速效應(yīng)，邊界層外的速度u隨著x的增大而增大，而速度w在邊界層外接近于常數(shù)，即來流速度在展向的分量。法向速度分量v要比流向速度u小2個量級，滿足局部平行流假設(shè)的要求。圖2（d）給出了邊界層名義、排移和動量厚度沿流向的分布曲線。在x＝100處的邊界層名義厚度約為0．4mm，排移厚度約為0．2mm。機翼前部分的邊界層名義厚度是毫米量級。

圖2 基本流的速度剖面和邊界層厚度Fig.2 Pr of ile of mean flow and boundary layer thickness

2.2 特征值和特征函數(shù)

表1給出了采用LST、EOS、LPSE三種方法計算出來的不同流向位置的特征值。可以看出EOS計算出的幅值增長率-αi略大于LST的計算結(jié)果，而LPSE的結(jié)果比LST的結(jié)果要大30%左右，表明對無限長后掠翼而言，除了擾動波特征值-αi引起的幅值增長外，還需要考慮幅值本身的增長。

表1 擾動波（β＝2.0，ω＝0.05）的增長率Table 1 Growth rate of the wave（β＝2.0，ω＝0.05）

圖3（a）給出了擾動波（β＝2．0，ω＝0．05）在x＝150．7處的特征函數(shù)沿法向的分布。速度｜u｜的最大值遠離壁面，在邊界層排移厚度外，屬于第一模態(tài)的不穩(wěn)定波。通過LST和EOS計算得到的特征函數(shù)符合的很好。圖3（b）給出了該擾動波的幅值增長曲線，同樣可以看出LPSE的結(jié)果要比EOS和LST的結(jié)果大很多，LST和EOS的幅值最大增長值n在5左右，而LPSE的結(jié)果達到了8左右。說明非平行性效應(yīng)在機翼頭部必須考慮。

圖3 擾動波（β＝2.0，ω＝0.05）的特征函數(shù)和幅值演化曲線Fig.3 Eigen-function and growth curve of the wave（β＝2.0，ω＝0.05）

2.3 中性曲線和最大增長率

圖4（a）給出了LST得到的不同β的（x，ω）平面上的中性曲線，即在該線上αi＝0。本文中取x0＝25作為穩(wěn)定性分析的開始位置。對于平板邊界層，中性曲線有上下兩支，并且存在一最小的位置xcr，在該位置上下兩支重合，形成一個類似于大拇指的外形，也稱為拇指曲線。在中性曲線內(nèi)，αi＜0，擾動波是增長的，在中性曲線外，αi＞0，擾動波是衰減的。不同于平板邊界層，有后掠角的機翼邊界層不一定存在下支中性曲線。

從圖4（a）可以看出，當β＝4．0時，中性曲線呈半開放式，即在中性曲線的左邊，αi＜0，擾動波都是增長的，而在中性曲線的右邊，αi＞0，擾動是衰減的。隨著β的減小，中性曲線出現(xiàn)左半支，在左半支和右半支之間擾動波是增長的，之外是衰減的，但是仍然沒有下支。不同的β，在一定的x范圍內(nèi)，出現(xiàn)了ω＝0的擾動波是增長的，即出現(xiàn)不穩(wěn)定的駐波。從圖4（a）可以看出，當β＝4，x＜150，而當β＝2．5、2．0和1時，在x＜300的位置都出現(xiàn)了增長的駐波，是典型的橫流不穩(wěn)定性問題。

圖4（b）給出了不同ω的（x，β）平面上的中性曲線。不同的ω，存在上、下兩支中性曲線，但是兩支曲線在右邊重合封閉，而向左邊是開口的，形成一個反拇指的形狀。而且在頻率ω從0到0．10的范圍內(nèi)，在x＜200位置的中性曲線非常接近，表明在這個范圍內(nèi)的擾動都是增長的。外界擾動進入邊界層后將直接被放大。

圖4 中性曲線Fig.4 Neutral curve

圖5（a）和（b）分別給出了不同β的最大增長率-αi和相應(yīng)的ω。從圖5（a）可看出，當β＝4時，越靠近前緣最大增長率-αi越大，最大能到0．085，相應(yīng)的ω也越大，超過了0．20，但是增長的范圍較小，在x＜150以內(nèi)。當β＝2．5、2和1時，最大增長率小于0．04，但是增長的范圍很寬，從x＝50到x＝400，而且當x＞150后最大增長率曲線重合的很好，不同的展向波數(shù)β在該范圍內(nèi)的最大增長率相同。從圖5（b）可以看出最不穩(wěn)定的擾動波的頻率在ω＝0．05附近。

圖5 最大增長率和相應(yīng)的頻率Fig.5 Maxinum growth rate and its corresponding frequence

2.4 擾動波的幅值演化曲線

圖6（a）給出了LST計算得到的不同擾動的幅值演化曲線，可以看出，當擾動頻率相同時，首先是展向波數(shù)β大的擾動波先增長起來，隨著往下游的演化，到一定位置又開始衰減，展向波數(shù)β小的波也逐漸增長起來，并且增長的指數(shù)n逐步超過波數(shù)大的擾動。由于中性曲線向左是開口的，這些擾動在開始積分的起點位置x0＝25處都是不穩(wěn)定的，因此所有擾動從積分起點就開始增長。EOS和LPSE的計算結(jié)果與LST的一致，僅僅是擾動曲線幅值n的大小不同。圖6（b）給出了LPSE的計算結(jié)果，趨勢與LST相同，不同的是增長幅度n值要大。

2.5 轉(zhuǎn)捩預(yù)測

給定擾動的展向波數(shù)β和頻率ω就能得到一條幅值演化曲線，這些幅值演化曲線的包絡(luò)線就是轉(zhuǎn)捩預(yù)測eN方法中N值曲線。從圖4可以看出幅值演化曲線能達到最大值的擾動波的展向波數(shù)范圍為0．5到8，頻率范圍為0到0．5。本文中取波數(shù)間隔為0．1，頻率間隔為0．05，計算了全部擾動波的幅值演化曲線，在每個位置上取全部擾動波中最大的n值，作為該處的包絡(luò)值N。

圖6 幅值增長曲線Fig.6 Growth curve

圖7給出了基于LST、EOS、LPSE三種方法得到了包絡(luò)曲線，其中線條表示所有擾動波的包絡(luò)線，而符號表示駐波的包絡(luò)線?？梢钥闯霾捎肔ST方法預(yù)測的N值相對EOS和LPSE的值偏小，最大值小于5，EOS的結(jié)果略大于LST的結(jié)果，最大值接近5，而LPSE的結(jié)果比LST和EOS均要大，最大值接近9。

圖7 轉(zhuǎn)捩預(yù)測方法eN中的N值Fig.7 N-factor in eNmethod

在后掠機翼中存在橫流不穩(wěn)定性，其擾動波的波矢方向跟主速度矢量方向垂直，而且擾動頻率很小，接近于0，常以駐波的形式出現(xiàn)。對比所有擾動波的包絡(luò)線和駐波的包絡(luò)線，可以看出，橫流不穩(wěn)定波的預(yù)測N值略小，表明橫流不穩(wěn)定性占主導(dǎo)作用。

采用LPSE的方法預(yù)測的轉(zhuǎn)捩N值達到了9，表明轉(zhuǎn)捩位置在機翼的前緣。實際的轉(zhuǎn)捩位置跟感受性問題有關(guān)，取決于外界擾動進行邊界層后的擾動展向波數(shù)、頻率和幅值大小。不同的x位置，對應(yīng)的N值不同，相應(yīng)的最不穩(wěn)定波的展向波數(shù)和頻率也不同。研究結(jié)果表明，如果擾動波的無量綱的幅值達到20%就發(fā)生轉(zhuǎn)捩了［20］。表2給出了x＝50、100和200位置處發(fā)生轉(zhuǎn)捩時的N值及其可能引發(fā)轉(zhuǎn)捩的擾動波的展向波數(shù)β、頻率ω和在x0＝25處的擾動幅值u0。

表2 在x處發(fā)生轉(zhuǎn)捩時（u＝0.2U∞）的N值，以及引起轉(zhuǎn)捩發(fā)生的擾動波的波數(shù)β、頻率ω和在x0＝25處的幅值u0（m／s）Table 2 N-factor at the transition location x where u＝0.2U∞，and the wave numberβ，frequencyωand the amplitude u0（m／s）at x0＝25 of the inducing wave

以LST的計算結(jié)果為例，如果展向波數(shù)為4，頻率為0．15的擾動波進入了x0＝25處的幅值為7．93m／s，那么該擾動傳播到達x＝50位置時的幅值將被放大e1．8＝6倍，即48．8m／s，達到了來流速度U∞＝240m／s的20%，可以認為轉(zhuǎn)捩發(fā)生了。而EOS和LPSE的計算結(jié)果表明在x0＝25處的幅值分別為5．88m／s和2．16m／s就能在x＝50處引發(fā)轉(zhuǎn)捩。而若轉(zhuǎn)捩在x＝200處發(fā)生，LST、EOS、LPSE三種方法計算出擾動在x0＝25的幅值僅為0．65m／s、0．36m／s和0．04m／s。

從表2還可以看出，雖然三種穩(wěn)定性分析方法獲得的N值不完全相同，但預(yù)測的最可能引發(fā)轉(zhuǎn)捩的擾動波的展向波數(shù)在3．0到3．5之間，頻率在0．035到0．060之間，相應(yīng)的展向波長為約為2mm。

3 結(jié) 論

本文在采用CFD和DNS相結(jié)合的方法計算得到無限長后掠翼基本流的基礎(chǔ)上，通過求解經(jīng)典的O-S方程（LST）、擴展的O-S方程（EOS）和線性拋物化穩(wěn)定性方程（LPSE）進行穩(wěn)定分析和轉(zhuǎn)捩預(yù)測，得到以下結(jié)論：

（1）后掠翼在（x，ω）平面上的中性曲線沒有下支，在（x，β）平面上的中性曲線呈反拇指的形狀，橫流不穩(wěn)定性在機翼前緣占主導(dǎo)作用。

（2）當外界擾動進入邊界層后，幅值將被直接放大，首先是展向波數(shù)β大的擾動波增長起來，然后是波數(shù)β小的波逐漸增長起來，并且增長的指數(shù)N逐步超過波數(shù)大的擾動。

（3）轉(zhuǎn)捩在機翼前緣完成，引起轉(zhuǎn)捩的擾動波的展向波長約為2mm。

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Cross-flow instability analysis and transition prediction of airfoil boundary layer

HUANG Zhangfeng1，2，LU Xuezhi1，YU Gaotong1
（1．Department of Mechanics，Tianjin University，Tianjin 300072，China；2．State Key Laboratory of Aerodynamics，Mianyang Sichuan 621000，China）

Cross-flow instability analysis and transition prediction have been done on a 25°swept，0°attacked airfoil with Mach number 0．8，unit Reynolds number 6．79×106／m by solving the classic O-S equation（LST），extended O-S equation（EOS）and linear parabolic stable equation（LPSE）together with theeNmethod．Results show that the lower branch of the neutral curve in（x，ω）plane does not exist and the shape of the neutral curve in（x，β）plane appears as an anti-thumb．The cross-flow instability plays a key role in the leading edge．As disturbances enter the boundary layer，their amplitude will be enlarged directly．For the same frequence，the disturbances with big wave numberβwill grow firstly and propogate to a certain place where they begin to decay，then the disturbances with small wave numberβincreased gradually and their increasing factorNwill exceed that with big wave number finally．Transition occurs in the leading edge of the airfoil and the wave lengh of the inducing wave is about 2mm．

instability analysis；transition prediction；cross-flow instability；swept airfoil；parabolic stable equation

V211.1+9；O357.4+1

A doi:10.7638／kqdlxxb-2012.0062

0258-1825（2014）01-0014-07

2012-08-20；

2012-11-15

空氣動力學國家重點實驗室開放課題資助（SKLA201101，SKLA201201）

黃章峰（1977-），男，湖南宜章人，副教授，研究方向：流動穩(wěn)定性、轉(zhuǎn)捩及湍流、直接數(shù)值模擬．E-mail：hzf＠tju．edu．cn

黃章峰，逯學志，于高通．機翼邊界層的橫流穩(wěn)定性分析和轉(zhuǎn)捩預(yù)測［J］．空氣動力學學報，2014，32（1）：14-20．

10．7638／kqdlxxb-2012．0062．HUANG Z F，LU X Z，YU G T．Cross-flow instability analysis and transition prediction of airfoil boundary layer［J］．ACTA Aerodynamica Sinica，2014，32（1）：14-20．