預(yù)應(yīng)力梁橫向振動(dòng)分析的模態(tài)攝動(dòng)方法

摘要：本文重點(diǎn)闡述了當(dāng)前形式下預(yù)應(yīng)力梁的分析方式，并針對(duì)橫向振動(dòng)提出了模態(tài)攝動(dòng)方法，根據(jù)預(yù)應(yīng)力梁橫向振動(dòng)方程分析預(yù)加力對(duì)預(yù)應(yīng)力梁影響的三種可能性方程，最終設(shè)定算例，將三種方程帶入其中，分析不同偏心距帶來的影響，最終確立依靠模態(tài)攝動(dòng)方式，總結(jié)出偏心距較大預(yù)應(yīng)力對(duì)梁的自振特性有較大的影響這一思想。

關(guān)鍵詞：預(yù)應(yīng)力;B-E;模態(tài)攝動(dòng);偏心距

1.引言

預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)主要能夠解決建筑中不同受力方向力的構(gòu)造需求，通過改變預(yù)應(yīng)力，能有直接影響建筑構(gòu)造的動(dòng)力以及靜力。因此預(yù)應(yīng)力得到了廣泛的研究，但是預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)應(yīng)用范圍廣，預(yù)加力對(duì)預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)產(chǎn)生不同方向的影響，尤其是橫向振動(dòng)這一方面，二者之間有著復(fù)雜的關(guān)系，因此研究內(nèi)容有限。本文從建立預(yù)應(yīng)力梁振動(dòng)方程入手。以預(yù)應(yīng)力簡支梁為例，以文獻(xiàn)計(jì)算方程、Bernoulli-Euler"梁（簡稱"B-E"梁，即：軸心均勻梁）方程、模態(tài)攝動(dòng)方程為主要分析手法，進(jìn)一步的做了對(duì)比研究，希望通過本文的分析，大家能對(duì)模態(tài)攝動(dòng)方程有一個(gè)系統(tǒng)的了解。

2預(yù)應(yīng)力梁橫向振動(dòng)方程

2.1橫向振動(dòng)方程

本文以簡支梁為主要分析對(duì)象，通過圖1我們可以看出，將一對(duì)預(yù)加力作用在鋼筋混凝土預(yù)應(yīng)力簡支梁錨固點(diǎn)的兩端，我們?cè)O(shè)由于壓力所造成的偏心距為，設(shè)兩端軸壓力為，當(dāng)受到壓力時(shí)，除了外，此時(shí)還應(yīng)當(dāng)有第三力存在，即為附加力偶，將這個(gè)力偶的初始值設(shè)為M="。綜上所述，參考這些設(shè)定值可以做出如下判斷：當(dāng)梁受到震動(dòng)從而產(chǎn)生變形時(shí)梁的兩端預(yù)加力一定會(huì)發(fā)生變化。通過此可設(shè)方程

（1）

在自由振動(dòng)條件下，預(yù)應(yīng)力梁的橫向彎曲振動(dòng)微分方程為：

=0（2）

式中"EI（x）為梁的抗彎剛度，m"為梁的單位長度質(zhì)量，y"為振動(dòng)位移。把式（1）代入式（2）得

=0（3）

若假定所考慮的是均勻梁，梁的截面抗彎剛度和單位梁長的質(zhì)量"都為常數(shù)，同時(shí)和也為常數(shù)，而和為坐標(biāo)的函數(shù)。一般認(rèn)為遠(yuǎn)小于，因此遠(yuǎn)小于，可以忽略不計(jì)。這樣可成立等式為

（4）

2.2預(yù)加力對(duì)預(yù)應(yīng)力梁影響的三種可能性方程

根據(jù)上述方程推導(dǎo)可得知"是隨振動(dòng)位移的變化而變化的預(yù)加力改變量，它對(duì)梁振動(dòng)的影響表現(xiàn)在式（4）中的最后一項(xiàng)，減小了梁截面上的剪力，這一剪力的大小還與偏心距成比例。為使方程可解，需建立起與間的聯(lián)系。這一關(guān)系較為復(fù)雜，本文假定與梁的振動(dòng)位移成正比：

根據(jù)上述方程推導(dǎo)Bernoulli-Euler"梁自由振動(dòng)方程、文獻(xiàn)[2、3]振動(dòng)方程、以及本文模態(tài)攝動(dòng)方程，從而分析預(yù)加力對(duì)預(yù)應(yīng)力梁的動(dòng)力特性有一定的影響：

（1）由于預(yù)加力的作用，使梁的橫向振動(dòng)比"Bernoulli-Euler"梁（簡稱"B-E"梁）要復(fù)雜得多。即使是均勻梁，其橫向振動(dòng)方程也成為變系數(shù)的復(fù)雜微分方程，求解難度增加。眾所周知，均勻等截面的"B-E"梁的橫向自由振動(dòng)方程為

（2）文獻(xiàn)[2，3]是預(yù)加力對(duì)梁的動(dòng)力影響分析的方程總結(jié)（具體方程詳見文獻(xiàn)[2，3]頁數(shù)），通過其中的方程公式推導(dǎo)梁中點(diǎn)振動(dòng)位移"y與成正比，得出適用于本文預(yù)應(yīng)力梁橫向振動(dòng)的推導(dǎo)方程

（3）本文擦用模態(tài)攝動(dòng)的方式進(jìn)行方程解析，所謂模態(tài)攝動(dòng)就是在：B-E"梁的基礎(chǔ)上進(jìn)行新的參數(shù)修改，由于推導(dǎo)篇幅有限不能進(jìn)行復(fù)雜的推導(dǎo)演繹，遂列舉其最終的模態(tài)攝動(dòng)法求解方程組.

3.通過橫向振動(dòng)方程進(jìn)行算例結(jié)果分析

將上文中預(yù)加力對(duì)預(yù)應(yīng)力梁影響的三種可能性方程以實(shí)際算例計(jì)算進(jìn)行分析，分析對(duì)象為建筑工地最長間的簡支梁數(shù)據(jù)，即：高為h=600mm寬為b=300mm的簡支梁，在此設(shè)預(yù)加力、偏心距為e、梁長"L取兩組不同的偏心距數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比分析，即：e=50mm，"e/h=0.083時(shí)數(shù)據(jù)與e=200mm，"e/h=0.3333時(shí)數(shù)據(jù)。在此算例中采用"3"種不同方法計(jì)算預(yù)應(yīng)力簡支梁的自振頻率。這"3"種方法分別是：（1）""不考慮預(yù)應(yīng)力影響，即按"B-E"梁計(jì)算（誤差1的表述方式）;（2）""文獻(xiàn)[2，3]方法（誤差2的表述方式）;（3）""本文建議的模態(tài)攝動(dòng)法（誤差3的表述方式）

表"1a"""不同偏心距"e"對(duì)梁自振頻率的影響（e=50mm，"e/h=0.083）

計(jì)算方法

本文

59.89

241.72

544.21

967.50

誤差1/%

1.95

0.27

0.067

0.015

誤差2/%

0.91

0.015

-0.049

-0.050

誤差3/%

-1.02

-0.26

-0.12

-0.07

表"1b"""不同偏心距"e"對(duì)梁自振頻率的影響（e=200mm，"e/h=0.3333）

計(jì)算方法

本文

63.5363.53

250.98

556.89

982.57

誤差1/%

19.55

3.06

0.77

0.18

誤差2/%

-4.86

-3.68

-2.32

-1.58

誤差3/%

-20.42

-6.54

-3.07

-1.76

從表中的數(shù)據(jù)可看出：預(yù)加力偏心距的大小對(duì)梁的各階自振頻率的影響較大，偏心距越大，按"B-E"梁計(jì)算產(chǎn)生的誤差也越大，按照模態(tài)攝動(dòng)計(jì)算所產(chǎn)生的誤差越小。因此模態(tài)攝動(dòng)計(jì)算有助于在偏心距不固定的狀態(tài)下對(duì)預(yù)應(yīng)力梁橫向振動(dòng)進(jìn)行分析。

結(jié)束語：

模態(tài)攝動(dòng)分析方式并不適合分析所有領(lǐng)域的預(yù)應(yīng)力梁橫向振動(dòng)，比如在B-E并不確定為軸心均勻梁的情況下，或者偏心距固定的預(yù)應(yīng)力梁，因此在對(duì)比分析時(shí)應(yīng)進(jìn)行梁的判定，當(dāng)然本文還存在許多不足之處，沒有對(duì)三種公式進(jìn)行細(xì)致的推導(dǎo)、沒有對(duì)不同預(yù)加力對(duì)梁的自振影響進(jìn)行分析，希望業(yè)界各位同仁能夠一同努力，對(duì)此問題進(jìn)行逐一探討分析。

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