新課改背景下中學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)

【摘 要】隨著我國(guó)基礎(chǔ)教育課程改革的不斷深入，我們廣大的教育工作者面臨著實(shí)踐更多新的教育理念和教育模式。作為一種新的認(rèn)知理論，誕生于20世紀(jì)的建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論對(duì)我國(guó)新課程改革產(chǎn)生了積極的影響。學(xué)生“學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變”是本次課程改革的顯著特征。教育部于2003年4月制定了《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》，第一次對(duì)關(guān)于在普通高中開(kāi)展數(shù)學(xué)建模教學(xué)和相關(guān)活動(dòng)做出了詳細(xì)的規(guī)定，這充分說(shuō)明數(shù)學(xué)建模的腳步已經(jīng)邁入了中學(xué)課堂的門檻。

【關(guān)鍵詞】新課改 數(shù)學(xué)模型 中學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)

【中圖分類號(hào)】G632 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】1674-4810（2014）02-0118-03

一 中學(xué)數(shù)學(xué)建模概述

1.數(shù)學(xué)模型的定義及分類

根據(jù)全國(guó)科學(xué)技術(shù)名詞審定委員會(huì)的審定公布，我們把數(shù)學(xué)模型定義為：數(shù)學(xué)模型是把對(duì)研究對(duì)象觀察到的一系列結(jié)果和實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，總結(jié)成一套能反映其內(nèi)部因素?cái)?shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)公式、邏輯準(zhǔn)則和相關(guān)算法。這些公式、準(zhǔn)則和算法是拿來(lái)描述和研究客觀現(xiàn)象的規(guī)律。

我們根據(jù)不同的分類方式，把數(shù)學(xué)模型分成很多種，常見(jiàn)的一些種類有：（1）數(shù)學(xué)模型根據(jù)模型應(yīng)用的領(lǐng)域不同，可以劃分為人口模型、交通模型、污染模型等。（2）數(shù)學(xué)模型根據(jù)建立模型的數(shù)學(xué)方法不同，可以劃分為數(shù)學(xué)模型、幾何模型、微分方程模型等。目前，我國(guó)大多數(shù)的教學(xué)用書中提到的數(shù)學(xué)建模的分類編排都是按照上面的標(biāo)準(zhǔn)來(lái)進(jìn)行的。（3）數(shù)學(xué)模型根據(jù)表現(xiàn)特性的不同，考慮到數(shù)學(xué)模型中是否受到隨機(jī)變量的影響，把數(shù)學(xué)模型分為確定性模型和隨機(jī)性模型。進(jìn)入21世紀(jì)以后，由于數(shù)學(xué)研究和數(shù)學(xué)模型在廣度和深度的不斷發(fā)展，近幾年來(lái)還出現(xiàn)了突變性模型和模糊性模型、靜態(tài)模型和動(dòng)態(tài)模型、線性模型及非線性模型等。（4）根據(jù)數(shù)學(xué)模型建模目的的不同，分為描述模型、預(yù)報(bào)模型、優(yōu)化模型、控制模型等。

2.中學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)概述

數(shù)學(xué)建模教學(xué)主要是針對(duì)過(guò)去中學(xué)數(shù)學(xué)教育內(nèi)容過(guò)于抽象化，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和學(xué)生實(shí)際日常生活的聯(lián)系不緊密問(wèn)題而提出的。數(shù)學(xué)建模要求學(xué)生對(duì)日常生活和社會(huì)中遇到的實(shí)際問(wèn)題先進(jìn)行抽象化，然后建立數(shù)學(xué)模型，最后求解得出最優(yōu)模型。即建模、解模的過(guò)程，如圖1所示。

圖1

二 中學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)

1.建模問(wèn)題的合理性

考慮到中學(xué)階段學(xué)生的知識(shí)水平有限和中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)大綱規(guī)定，我們把中學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)的主要內(nèi)容進(jìn)行恰當(dāng)?shù)恼{(diào)整。首先，應(yīng)當(dāng)適當(dāng)縮小中學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)的選題范圍，通常我們考慮的是函數(shù)（構(gòu)建函數(shù)關(guān)系）、不等式組、數(shù)列、幾何和求最值等幾個(gè)方面。其次，在教學(xué)方法上也力求通過(guò)計(jì)算機(jī)技術(shù)輔助教學(xué)，增強(qiáng)其新穎性和趣味性。

2.中學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)常用的方法

第一，理論分析法。這是一種在中學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)中經(jīng)常用到的方法。它具體是指：（1）對(duì)所要建立模型的問(wèn)題各種變量與常量進(jìn)行分析和界定范圍；（2）運(yùn)用我們已經(jīng)公認(rèn)的，如數(shù)學(xué)、物理等學(xué)科中被普遍證明的原理、定理和推論，建立合理的數(shù)學(xué)模型；（3）利用數(shù)學(xué)理論推導(dǎo)問(wèn)題的解決方法。

第二，模擬法。這是一種在現(xiàn)實(shí)中通過(guò)對(duì)模擬的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行反復(fù)試驗(yàn)，從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的。構(gòu)建模擬的數(shù)學(xué)模型，就是要運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)找到一種結(jié)構(gòu)和性質(zhì)與建模問(wèn)題主要結(jié)構(gòu)和性質(zhì)相同的模型。如報(bào)童賣報(bào)問(wèn)題就可以用隨機(jī)模擬思想解決。

第三，函數(shù)擬合法。這是一種在處理離散型數(shù)據(jù)時(shí)使用最多的方法。（1）我們依據(jù)題目所給出的初始數(shù)據(jù)，在直角坐標(biāo)系上描出相對(duì)應(yīng)的各個(gè)點(diǎn)；（2）依據(jù)各個(gè)點(diǎn)的分布情況，用圓滑的曲線描繪出大致圖形；（3）根據(jù)圖像大致擬合成相應(yīng)的直線或圓錐曲線，并通過(guò)相應(yīng)的關(guān)鍵點(diǎn)求解出此圖像的函數(shù)關(guān)系式，這就是所要建立起來(lái)的數(shù)學(xué)模型。如我們通過(guò)一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)擬合某個(gè)工廠產(chǎn)量、某件產(chǎn)品的銷量、人口增長(zhǎng)率等，解決日常生產(chǎn)生活中的問(wèn)題。

三 中學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)的教學(xué)方式

1.立足教材基本知識(shí)點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生的趣味

由于我國(guó)的數(shù)學(xué)教材普遍存在知識(shí)理論性強(qiáng)，但缺乏在實(shí)際生活中的可運(yùn)用性。很多學(xué)生甚至家長(zhǎng)認(rèn)為只要不是想成為數(shù)學(xué)家，離開(kāi)校園工作后，數(shù)學(xué)僅僅拿來(lái)會(huì)上街買菜算賬就夠了。于是，大多數(shù)學(xué)生都是為了成績(jī)而學(xué)數(shù)學(xué)，根本不知道數(shù)學(xué)可以提高自己日后的管理能力和問(wèn)題的解決能力。

在提倡素質(zhì)教育的今天，我們可以通過(guò)多種方式提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的興趣。如改變?cè)O(shè)問(wèn)方式、變換題設(shè)條件，把教材中出現(xiàn)的應(yīng)用問(wèn)題拓寬成新的數(shù)學(xué)建模應(yīng)用問(wèn)題。對(duì)于教材中的一些純理論數(shù)學(xué)問(wèn)題，我們可以從科學(xué)性、現(xiàn)實(shí)性、新穎性、趣味性、可行性等原則出發(fā)，編制出一套有一定實(shí)際背景或應(yīng)用價(jià)值的數(shù)學(xué)建模問(wèn)題。按照以上的方式組織教學(xué)活動(dòng)，能大大地培養(yǎng)起學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用能力。

如在講授高中數(shù)學(xué)必修5第一章等比數(shù)列，等比數(shù)列求和公式及應(yīng)用這一節(jié)課時(shí)，教師向?qū)W生講述這樣一個(gè)實(shí)例。

教師：傳說(shuō)在古代印度有這樣一個(gè)國(guó)王很喜歡下象棋。某天，一位棋藝很高超的棋手和國(guó)王對(duì)弈，國(guó)王得意洋洋地說(shuō)：“如果你贏了我，你的任何要求我都會(huì)滿足?！苯?jīng)過(guò)一番搏殺，國(guó)王輸了。棋手慢慢地說(shuō)道：“陛下只需要派人用麥粒填滿象棋棋盤上的空格，第1格1粒，第2格2粒……以后每格是前一格粒數(shù)的2倍?！眹?guó)王笑著說(shuō)道：“這個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)太容易辦到了。”于是，他立即命令下面的官員辦理。過(guò)了數(shù)天，官員慌張地報(bào)告國(guó)王：“大事不好了，如果這樣下去，印度近幾十年生產(chǎn)的所有麥子加起來(lái)都還不夠?！?/p>

學(xué)生個(gè)個(gè)都露出了詫異的表情。通過(guò)這個(gè)例子，極大地調(diào)動(dòng)了學(xué)生探究問(wèn)題的積極性，紛紛在課堂上討論起來(lái)。老師抓住時(shí)機(jī)引導(dǎo)學(xué)生求1+2+4+…+271，即和學(xué)生一起推導(dǎo)出等比數(shù)列求和公式。學(xué)生計(jì)算出麥子的總粒數(shù)為272-1粒，這的確是一個(gè)相當(dāng)大的數(shù)。

數(shù)學(xué)應(yīng)該是有趣的，也應(yīng)該是有用的，最后也必然是能有效解決實(shí)際問(wèn)題的。

2.立足生活問(wèn)題，強(qiáng)化學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)

“學(xué)以致用”，應(yīng)用問(wèn)題來(lái)源于日常生活中大大小小的事情，通過(guò)建立中學(xué)數(shù)學(xué)模型，我們可以解決現(xiàn)實(shí)生活中的很多問(wèn)題。如解決上班族合理負(fù)擔(dān)出租車資、十字路口紅綠燈的設(shè)計(jì)、蟻?zhàn)遄》繂?wèn)題、鉛球投擲等問(wèn)題。

如在木料加工廠，師傅們要把一根直徑為200mm的圓木加工成矩形截面的柱子，請(qǐng)問(wèn)怎樣鋸才能使廢棄的木料最少？

思路分析：這是一個(gè)簡(jiǎn)單的

生活實(shí)際問(wèn)題，要從數(shù)學(xué)理論上

來(lái)解決。首先要把這個(gè)問(wèn)題抽象

成一個(gè)純幾何問(wèn)題。問(wèn)題的核心

就是要使廢棄的木料最少。轉(zhuǎn)化

成數(shù)學(xué)語(yǔ)言就是使柱子的截面積

最大。這其實(shí)就是一個(gè)求最大值

問(wèn)題。所以，問(wèn)題就可抽象為求內(nèi)接于直徑為d的已知圓O的最大矩形面積（如圖2所示）。

考察圓木的橫截面可建立模型：設(shè)圓的直徑為d，這個(gè)圓的內(nèi)接矩形的面積為S，其中一條邊AB的長(zhǎng)為x，而另一

條邊長(zhǎng)為y，且y= ，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求x為何值時(shí)，S

值最大。利用重要不等式或一元二次函數(shù)求得，當(dāng)x= 時(shí)，

即d=100 ，廢料最少。

通過(guò)上面的例題，說(shuō)明我們緊密聯(lián)系教材內(nèi)容，可以引導(dǎo)學(xué)生思考日常生活中的數(shù)學(xué)問(wèn)題。在課堂教學(xué)中，這種方式不僅能加深基本知識(shí)的理解和運(yùn)用，同時(shí)還會(huì)增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的信心，讓中學(xué)生獲得必要的解決問(wèn)題的能力。

3.立足社會(huì)熱點(diǎn)問(wèn)題，介紹建模方法

隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，中學(xué)數(shù)學(xué)建模問(wèn)題可以把國(guó)家發(fā)生的大事和熱點(diǎn)、市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中的利潤(rùn)和成本、個(gè)人的儲(chǔ)蓄和消費(fèi)、公司的投標(biāo)計(jì)劃等作為材料。我們可以對(duì)這些材料進(jìn)行篩選，找到與教材的合理切入點(diǎn)，把材料融入到課堂教學(xué)活動(dòng)中。生動(dòng)有趣的問(wèn)題不僅可以激發(fā)學(xué)生建立模型的靈感和樹(shù)立正確的價(jià)值觀，還可以為日后積極主動(dòng)地運(yùn)用數(shù)學(xué)建模思維提供能力上的準(zhǔn)備。

如1998年7月26日，廣州至重慶高速公路廣安段指揮中心接到電話預(yù)報(bào)，24小時(shí)后將有一場(chǎng)百年一遇的大暴雨。為了保證高速公路無(wú)險(xiǎn)情，指揮中心決定在23小時(shí)內(nèi)筑好一道防洪堤壩。這道堤壩可以用來(lái)防止正在施工的華鎣山隧道主體工程遭到山洪的損毀。經(jīng)過(guò)防洪專家估算，這道堤壩的建造任務(wù)除了需要現(xiàn)有人員全體參戰(zhàn)外，還要調(diào)來(lái)20輛大型翻斗車同時(shí)工作23小時(shí)。由于事出突然，只有一輛車可以立即投入使用，其余的翻斗車必須從重慶各地緊急調(diào)來(lái)。經(jīng)過(guò)協(xié)調(diào)，每20分鐘能有一輛翻斗車到達(dá)工地施工。已知指揮中心最多可以調(diào)來(lái)26輛翻斗車到工地，請(qǐng)問(wèn)23小時(shí)內(nèi)能不能完成建好防洪堤壩的任務(wù)？并說(shuō)明理由。

第一步：弄清題意。必須讀懂題意，知道整道題說(shuō)的是怎樣一個(gè)問(wèn)題。

第二步：聯(lián)系知識(shí)點(diǎn)。學(xué)生需要把問(wèn)題情景中的文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)的符號(hào)語(yǔ)言，然后用數(shù)學(xué)公式最好是函數(shù)表達(dá)式來(lái)確定數(shù)量關(guān)系。同時(shí)，還要根據(jù)這道題的題眼來(lái)明確所涉及的知識(shí)點(diǎn)。

第三步：建好數(shù)學(xué)模型。首先，在明確好了自變量和因變量的關(guān)系后，學(xué)生對(duì)已有的數(shù)學(xué)理論知識(shí)進(jìn)行分析和歸納，構(gòu)建起問(wèn)題相對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，從而完成生活實(shí)際問(wèn)題向數(shù)學(xué)關(guān)系表達(dá)式的轉(zhuǎn)化。其次，在答題過(guò)程中需要嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S過(guò)程和比較扎實(shí)的計(jì)算能力。這樣，才能又快又準(zhǔn)地解決問(wèn)題。

于是我們有了這樣的答題思路：首先，弄清題意。通過(guò)讀懂題意和深刻理解題意兩個(gè)方面，后者把“問(wèn)題情景”轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言。于是，學(xué)生找到目標(biāo)函數(shù)與約束條件的主要關(guān)系：翻斗車的工程量之和要大于或者等于要完成的工程總量20×23（車每小時(shí)）。其次，建立模型。把要完成防洪堤壩的主要關(guān)系模擬化、抽象成數(shù)學(xué)函數(shù)或不等式。即假設(shè)從第一輛翻斗車開(kāi)始施工算起，各輛翻斗車的工作時(shí)間分別為a1，a2，……a25，a26小時(shí)，由題意可得，這些數(shù)組成一個(gè)公差為d=-1/12（小時(shí)）的等差數(shù)列，且a≤23。最后，求解最優(yōu)值。把完成堤壩修筑任務(wù)轉(zhuǎn)化為一般的等差數(shù)列求和問(wèn)題，根據(jù)不等式來(lái)確定答案范圍。

本例題是我們?cè)诟咭幌聦W(xué)期學(xué)習(xí)了等差數(shù)列求和公式和不等式知識(shí)后，結(jié)合正在修建的廣渝高速公路重點(diǎn)工程和1998年的抗洪斗爭(zhēng)背景編寫的。這個(gè)例子不僅能使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)建構(gòu)思維，也讓學(xué)生受到德育的熏陶，展示了數(shù)學(xué)在中學(xué)生社會(huì)化方面的影響。

4.立足實(shí)踐，培養(yǎng)應(yīng)用意識(shí)和建模能力

如隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，某人也想提高自己的生活居住水平。日前，他想在廣安市城里購(gòu)買一套商品房，價(jià)格為38萬(wàn)元，首次付款10萬(wàn)元后，其余的款額20年按月分期付款，月利率為0.39%（公積金利率）。他希望到中國(guó)農(nóng)業(yè)銀行去了解一下，如果他辦理商業(yè)性個(gè)人住房貸款（月利率為0.62%），請(qǐng)你幫他算算每月應(yīng)付款多少元？用上面兩種方法算算20年總共還了多少錢？（方法省略）

中華文化博大精深，游戲中也有豐富的素材，如魔方、九連環(huán)、優(yōu)化骰子等，教師還可以結(jié)合教材內(nèi)容提出新的游戲規(guī)則，讓學(xué)生在做游戲的過(guò)程中學(xué)到知識(shí)、學(xué)會(huì)方法和理解數(shù)學(xué)思想，從中引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。由此可見(jiàn)，豐富的游戲?qū)η嗌倌陻?shù)學(xué)潛力的開(kāi)發(fā)影響很大。

進(jìn)入21世紀(jì)以后，新課改的一個(gè)重要目標(biāo)就是要在教學(xué)中不斷加強(qiáng)綜合性、應(yīng)用性內(nèi)容，重視聯(lián)系學(xué)生的生活實(shí)際和社會(huì)實(shí)踐，突出理論與知識(shí)相結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)心社會(huì)，關(guān)心未來(lái)。因此，在教學(xué)中重視和加強(qiáng)數(shù)學(xué)建模的教學(xué)和應(yīng)用尤為重要，是數(shù)學(xué)教學(xué)的突破口和出發(fā)點(diǎn)。

參考文獻(xiàn)

[1]中華人民共和國(guó)教育部.全日制義務(wù)教育.數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2001

[2]鄭潔.中學(xué)“數(shù)學(xué)建?！苯虒W(xué)實(shí)踐與研究[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)，2009（5）

[3]李文林.數(shù)學(xué)史教程[M].北京：高等教育出版社，2002

[4]鄭毓信、梁貫成.認(rèn)知科學(xué)建構(gòu)主義與數(shù)學(xué)教育：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理學(xué)的現(xiàn)代研究[M].上海：上海教育出版社，1998

[5]姜啟源等.數(shù)學(xué)建模（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003

[6]李大潛.中國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽[M].北京：高等教育出版社，2008

[7]柳海民.現(xiàn)代教育理論進(jìn)展[M].長(zhǎng)春：東北師范大學(xué)出版社，2001

[8]鄭毓信.構(gòu)建主義及其教學(xué)涵義[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2003（10）