關(guān)于極限的四則運算法則

【摘 要】學(xué)好極限的相關(guān)知識對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有著重要的意義，而極限四則運算法則作為極限相關(guān)知識中的重點，需要引起更多的重視。本文主要針對極限的四則運算法則進行了分析、研究與闡述。

【關(guān)鍵詞】極限 四則運算法則 研究

【中圖分類號】O13 【文獻標(biāo)識碼】A 【文章編號】1674-4810（2014）02-0040-02

一 引言

極限部分作為高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)部分，對今后的學(xué)習(xí)有重要的基礎(chǔ)意義，在高等數(shù)學(xué)中占有十分重要的地位，而極限的四則運算法則，作為極限部分的重點與難點，應(yīng)該給予更多的重視。本文將針對極限四則運算法則進行研究與分析。

二 極限的四則運算法則

極限的四則運算法則是在學(xué)習(xí)了極限概念和無窮小量與無窮大量之后的又一重要內(nèi)容，也是學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)和微分的重要基礎(chǔ)知識。

在進行極限的四則運算法則之前，需要對極限的概念、無窮小量和無窮大量的概念、無窮小量的運算性質(zhì)、無窮小量和無窮大量的關(guān)系等基本內(nèi)容都有初步學(xué)習(xí)和了解，而對于如何利用無窮小量的運算法則、無窮小量與無窮大量之間的關(guān)系求取函數(shù)的極限，以及利用觀察法求取數(shù)列的極限和簡單函數(shù)的極限，需要進行進一步的學(xué)習(xí)與掌握。

極限的四則運算公式表

公式

加減法 ， ，則

乘法 ， ，則

除法 ， ，且y≠0，B≠0，則

極限的四則運算法則是兩個函數(shù)的極限都存在，并且分母的極限還不等于0的情況下，當(dāng)這兩個條件都滿足的，那么兩個函數(shù)在和、差、積、商的極限和這兩個函數(shù)的極限的和、差、積、商都相等；對于一個常數(shù)與一個函數(shù)的乘積的極限的情況，其結(jié)果等于這個常數(shù)與這個函數(shù)的極限乘積；并且一個函數(shù)的乘方的極限和這個函數(shù)的極限乘方也是相等的。在解決具體問題時，需要根據(jù)實際情況進行運算和解答，重視實際應(yīng)用。

當(dāng)極限的函數(shù)是一個整式，可以直接運用極限的四則運算法則來進行計算。例如，當(dāng)x趨近于1時，分母的極限不是0，可以直接對法則進行運用和計算。

例： = =

三 極限的四則運算法則在進行函數(shù)極限求解時需要注意的事項

第一，對于分式來說，當(dāng)其分母的極限不等于0時，才能直接運用四則運算法則進行求解。

第二，避免一些常見的錯誤的認(rèn)識，例如對c/0=∞，（c為任意的常數(shù)），∞-∞=0，∞/∞=0等。

第三，對于無窮多個無窮小量來說，其和未必是無窮小量。

四 極限的四則運算法則的歸類

1.x→x0這種情況

第一，當(dāng)函數(shù)f（x）是一個整式，可以對極限的四則運算法則進行直接的運用和計算，或是直接對f（x0）進行求解。

第二，當(dāng)函數(shù)f（x）是一個分式，其分母的極限等于0，而要注意分子的極限并不等于0，那么便可以對極限的四則運算法則進行直接的運用并計算，或者求出f（x0）。

第三，在函數(shù)f（x）是個分式的情況下，當(dāng)分母的極限

為0時，那么分子的極限不等于0，可以先對lim =0

進行求解，再根據(jù)無窮小量和無窮大量這之間的關(guān)系來進行計算。

第四，當(dāng)f（x）是個分式，如果其分母的極限還有分子極限都等于0，先讓其分子和分母中的公因式進行約分，或者是讓含有根號的分子或分母有理化，再進行約分，然后利用極限的四則運算法則來進行計算，從而得到正確的結(jié)果。

2.x→∞的情形

在x→∞的情形下，函數(shù)的極限值主要是由分子、分母的最高次冪項的次數(shù)之間的關(guān)系來進行決定的，需要對分子分母的最高次冪項進行分析。

3.其他的情形

在進行求解的過程中有時用到有關(guān)無窮小量的運算性質(zhì)，對于代數(shù)和與乘積的極限而言，要注意其所強調(diào)的“有限個無窮小量”，但如果這個條件沒有辦法得到滿足，就不能用這個性質(zhì)來進行極限的求解。

五 運用極限四則運算法則求極限時常見的錯誤

在進行數(shù)列極限的計算中，對于四則運算法則的運用，需要注意一些問題：對數(shù)列極限的加、減和乘的運算法則能夠把有限個數(shù)列進行推廣，在這種情況下，不能對有限個數(shù)列的情況進行適用。在這個法則里還指出，“若兩個數(shù)列都有極限的存在”，這是對數(shù)列極限的四則運算法則運用的一個前提條件。在利用極限四則運算法則進行計算時，注重兩點，一是法則對于每個參與運算的函數(shù)的極限都必須是存在的；二是商的極限的運算法則有個很重要的前提，分母的極限不能為0。當(dāng)這兩個條件中任何一個條件不能滿足的時候，不能利用極限的四則運算法則進行計算。

六 結(jié)束語

總之，極限的四則運算法則作為極限內(nèi)容中的重點與難點，需要引起重視，在實際運用時，尤其要注意法則的使用條件，從而避免錯誤的出現(xiàn)。

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