學(xué)好向量的一二三

向量知識在許多國家的中學(xué)數(shù)學(xué)教材中，早就成了一個基本的教學(xué)內(nèi)容。在中國全面實(shí)施新課程后，向量雖然已進(jìn)入中學(xué)，但仍處于起步階段。向量知識、向量觀點(diǎn)在數(shù)學(xué)、物理等學(xué)科的很多分支有著廣泛的應(yīng)用，它具有代數(shù)形式和幾何形式的“雙重身份”，能融數(shù)形與一體，能與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的許多主干知識綜合，形成知識交匯點(diǎn)。本文就如何學(xué)好向量談幾點(diǎn)看法。

一 認(rèn)識向量，理解和掌握基礎(chǔ)概念

1.向量是什么？

向量是有大小有方向的量，它與數(shù)是不同的，不能比較大小；它與線段也不同，它是自由移動的。力是向量最常見的實(shí)例，大約公元前350年前，古希臘著名學(xué)者亞里士多德就知道了力可以表示成向量，兩個力的組合可用平行四邊形法則得到。

2.向量空間是什么？

僅僅知道向量是什么，形成不了什么有意義的問題。于是數(shù)學(xué)家給向量添加了加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算，有了這些運(yùn)算，向量之間相互運(yùn)算，從而形成一組向量，就有了向量空間，也稱為線性空間。向量的分解即向量的基本定理是解題時(shí)經(jīng)常用到的，該定理是說平面或空間中的任一向量都可以用一組基底唯一的表示出來。

3.引入數(shù)量積

在平面向量中，數(shù)量積是這樣定義的： ，其中θ為向量 ， 的夾角。它的坐標(biāo)表示為 ，其中 =（x1，y1）， =（x2，y2）。

數(shù)量積的引入是數(shù)與形結(jié)合的開始，也是向量與幾何、函數(shù)、復(fù)數(shù)、三角等數(shù)學(xué)知識相互融合的開始。引入了數(shù)量積的向量，就好像人類社會掌握了高科技，可以呼風(fēng)喚雨，上天入地。

二 研究向量，體會向量中的數(shù)學(xué)思想方法

要學(xué)好向量，除了要熟悉向量的定義、運(yùn)算、性質(zhì)外是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。題目考查的是向量的哪部分知識點(diǎn)，這道題與向量是否有聯(lián)系，怎樣把要求解的問題轉(zhuǎn)化成所學(xué)知識，這是我們在解題時(shí)要思考的。

1.數(shù)形結(jié)合的思想方法

由于向量本身是數(shù)與形的結(jié)合，所以在向量學(xué)習(xí)的整個過程中，都體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法。在解決問題時(shí)，逐步形成以數(shù)思形、以形助數(shù)的思維習(xí)慣，以加深理解知識要點(diǎn)，增強(qiáng)應(yīng)用意識。

2.化歸轉(zhuǎn)化的思想方法

化歸與轉(zhuǎn)化也就是把生題轉(zhuǎn)化為熟題，復(fù)雜問題化為簡單問題，較難問題化為較易問題。解題時(shí)的平行、垂直、夾角等關(guān)系都可以轉(zhuǎn)化為向量或向量坐標(biāo)的運(yùn)算；三角形形狀的判定也可以轉(zhuǎn)化為數(shù)量積；一些實(shí)際問題也可以化為向量問題。

3.分類討論的思想方法

向量有共線向量和不共線向量之分，共線向量又有同向向量與反向向量之分，向量 ， 夾角的不同，使得它們的數(shù)量積有正數(shù)、負(fù)數(shù)和零的區(qū)別。

例1，已知 ， 為單位向量，它們的夾角為120°，向量 與 共線，求 的最小值。

解法一：∵ 與 共線，∴存在實(shí)數(shù)λ使得 =λ（ + ）。

∴

λ2+λ+1。

∴當(dāng)λ= 時(shí)， ，∴ 。

解法二：作圖法。

如右圖所示，OACB為邊

長為1的菱形，D為OC中點(diǎn)。

為 ， 為 ， 為

，因?yàn)橄蛄?與 共線，所以向量 可以看成是以直線OC上任一點(diǎn)為起點(diǎn)，O為終點(diǎn)的向量，根據(jù)三角形法則， 即為起點(diǎn)在直線OC上，終點(diǎn)為A的向量。所以 模

長的最小值為向量 的模長 。

解題回顧：這道題是向量中求最值問題，解法一和解法二分別從代數(shù)和幾何兩個角度給出了解答。解法一中，把向量 用變量λ表示出來，從而使得 可以表示成關(guān)于λ的一個函數(shù)，問題就轉(zhuǎn)化為了求二次函數(shù)的最小值，體現(xiàn)了函數(shù)的思想。解法二中，把向量 處理成終點(diǎn)定起點(diǎn)動的一個向量，問題最后轉(zhuǎn)化為了求線外一點(diǎn)與直線上點(diǎn)的最短距離，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想。同時(shí)兩種解法都體現(xiàn)了化歸轉(zhuǎn)化的思想。

三 應(yīng)用向量，突出與其他數(shù)學(xué)知識的交匯

教材十分注重理論和實(shí)際的結(jié)合，更加注重應(yīng)用。在解決一個數(shù)學(xué)問題時(shí)，要用到向量的哪部分知識，這是我們要思考的。（1）利用公式 的結(jié)構(gòu)，如：試證cos（α-β）cosα cosβ+sinα sinβ。（2）利用 ≤ ，如：試證不等式（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d 2）。（3）利用 和 ，如：證明平面幾何中的線線平行，線線

垂直等。（4）利用 ，如：判斷三角形內(nèi)角為銳

角、直角或鈍角；求兩條直線所成的角等。

〔責(zé)任編輯：龐遠(yuǎn)燕〕