高中數(shù)學函數(shù)對稱性問題

【摘 要】新課標蘇教版高中數(shù)學書在介紹函數(shù)的性質(zhì)時，重點放在了函數(shù)的周期性、奇偶性以及單調(diào)性上，然而縱觀近幾年高考數(shù)學真題，在有關抽象函數(shù)的考題中，函數(shù)的對稱性對解題有很大幫助，可見高考中函數(shù)對稱性的重要。

【關鍵詞】高中數(shù)學 高考數(shù)學 常見函數(shù) 特殊函數(shù) 對稱性

【中圖分類號】G632 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674-4810（2014）26-0139-02

眾所周知，在高中數(shù)學的學習中，函數(shù)是重難點，且高考試題中有關函數(shù)性質(zhì)的試題所占比重很大。學生在根據(jù)課本學習了函數(shù)的定義、周期性、奇偶性及單調(diào)性后，能利用函數(shù)圖像解決問題，同時也能根據(jù)圖像直觀地對具有特殊性質(zhì)的函數(shù)進行認知，然而要提高學生綜合運用知識和解決難題的能力，還需對函數(shù)的對稱性進行總結(jié)歸納。本文重點介紹對稱性的概念、常見函數(shù)的對稱性和抽象函數(shù)的對稱性這三個方面。

一 函數(shù)的對稱性

函數(shù)的對稱性分為中心對稱和軸對稱。第一，中心對稱。將一個函數(shù)圖像繞某一點旋轉(zhuǎn)180°后，如果旋轉(zhuǎn)后的圖像與原圖像完全重合，則該函數(shù)圖像具有中心對稱的性質(zhì)，其中該點稱為該函數(shù)的對稱中心。一個函數(shù)圖像可以有多個對稱中心。第二，軸對稱。將一個函數(shù)圖像沿一條直線對折后，如果直線兩側(cè)的函數(shù)圖像完全重合，則該函數(shù)圖像具有軸對稱的性質(zhì)，其中該直線為該函數(shù)的對稱軸。一個函數(shù)圖像可以有多條對稱軸。

二 常見函數(shù)的對稱性

第一，常數(shù)函數(shù)。y=c（c∈R）。既是軸對稱又是中心對稱，與該直線垂直的直線均為其對稱軸，直線上所有點均為其對稱中心。

第二，一次函數(shù)。y=kx+b（k為一次項系數(shù)≠0，k≠0，b為常數(shù)）。既是中心對稱又是軸對稱，對稱中心為原點，對稱軸為與該直線相垂直的直線。

第三，反比例函數(shù)。y=k/x（k∈R且k≠0）。既是軸對稱又是中心對稱，對稱軸為y=x與y=-x，對稱中心為原點。

第四，二次函數(shù)。y=ax2+bx+c（a≠0）。是軸對稱，

不是中心對稱，對稱軸為x= 。

第五，指數(shù)函數(shù)。y=ax（a>0且a≠1）（x∈R）。既不是中心對稱也不是軸對稱。

第六，對數(shù)函數(shù)。y=logax（a>0，且a≠1）。既不是中心對稱也不是軸對稱。

第七，冪函數(shù)。y=xa（a為常數(shù)）。冪函數(shù)中非奇非偶函數(shù)不具有對稱性；冪函數(shù)中的奇函數(shù)中心對稱，對稱中心為原點；冪函數(shù)中的偶函數(shù)為軸對稱，對稱軸為x=0。

第八，正弦函數(shù)。y=a sin（ωx+φ）（ω≠0）。既是中

心對稱又是軸對稱，對稱中心為（ ），對稱軸為方程

ωx+φ=kπ+ 的解。

第九，正切函數(shù)。y=tanx。是中心對稱，不是軸對稱，

對稱中心為（ ，0）。

第十，三次函數(shù)。三次函數(shù)中的奇函數(shù)中心對稱，對稱中心為原點，其他三次函數(shù)的對稱性通過求導得極值點進行作圖判斷。

以上就是對常見函數(shù)的對稱性總結(jié)歸納，要理解掌握，不能死記硬背，這就需要學生結(jié)合實際的習題及函數(shù)圖像，自己體會，理解記憶，活學活用，在實踐中體會以上常見函數(shù)的對稱性特點，真正做到舉一反三，思維發(fā)散。

三 抽象函數(shù)的對稱性

常見函數(shù)的對稱性容易理解掌握，抽象函數(shù)種類眾多，但萬變不離其宗，以下是對抽象函數(shù)對稱性質(zhì)的總結(jié)歸納，并結(jié)合例題介紹抽象函數(shù)的對稱性。

性質(zhì)一：若函數(shù)y=f（x）的圖像關于直線x=a軸對稱，則其充要條件為f（a+x）=f（a-x），也即是f（x）=f（2a-x）。由此條性質(zhì)易得函數(shù)y=f（x）的圖像關于y軸對稱的充要條件是f（x）=f（-x）。

例1：函數(shù)f（x）滿足f（x）=f（3-x），則該函數(shù)滿足軸對稱，對稱軸為x=1.5。

性質(zhì)二：若函數(shù)y=f（x）的圖像關于點（a，b）中心對稱，則其充要條件為f（x）+f（2a-x）=2b，即f（a+x）+f（a-x）=2b。

例2：函數(shù)f（x）滿足f（5+x）+f（1-x）=4，則該函數(shù)呈中心對稱，對稱中心為（3，2）。

性質(zhì)三：（1）若函數(shù)y=f（x）圖像同時關于直線x=a和直線x=b（a≠b）成軸對稱，則y=f（x）是周期函數(shù)，其一個周期為2a-b。（2）若函數(shù)y=f（x）圖像同時關于點（a，c）和點（b，c）（其中a≠b）中心對稱，則y=f（x）是周期函數(shù)，其一個周期為2a-b。（3）若函數(shù)y=f（x）圖像既關于點（a，c）中心對稱又關于直線x=b軸對稱（a≠b），則y=f（x）是周期函數(shù)，其一個周期為4a-b。

例3：函數(shù)f（x）的一個對稱中心為（1，1），一條對稱軸為x=2，則其一個周期為2。

以上的性質(zhì)是函數(shù)圖像的自對稱性質(zhì)，有了以上的基本性質(zhì)做鋪墊，我們可以導出兩個函數(shù)之間存在的對稱性。下面介紹函數(shù)的互對稱。

性質(zhì)四：函數(shù)y=f（x）與y=2b-f（2a-x）的圖像關于點（a，b）成中心對稱。

性質(zhì)五：函數(shù)y=f（x）與a-x=f（a-y）的圖像關于直線x+y=a成軸對稱。

性質(zhì)六：函數(shù)y=f（x）與x-a=f（a+y）的圖像關于直線x-y=a成軸對稱。

例4：函數(shù)y=f（x）的圖像與x=f（y）的圖像成軸對稱，對稱軸為x=y，這種情況下也就是我們所說的兩個函數(shù)互為反函數(shù)。

上述結(jié)論，老師應帶領學生理解記憶，對于抽象函數(shù)的對稱性質(zhì)，老師也可引導學生自主推導，這樣才能加深理解，同時老師要花足夠的時間與學生共同探討推敲，使這些結(jié)論在高考中得到靈活運用。

〔責任編輯：龐遠燕〕