難以割舍的“三角函數(shù)線”

【摘要】對一道典型的三角函數(shù)練習(xí)題，應(yīng)用任意角三角函數(shù)的定義及三角函數(shù)線進行認真分析，反思教學(xué)，化抽象為直觀，化單純的數(shù)式理解為數(shù)形結(jié)合理解，就能輕松達到從整體上把握三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)的教學(xué)目的。

【關(guān)鍵詞】三角函數(shù)數(shù)形結(jié)合直觀性質(zhì)

【中圖分類號】G632 【文獻標(biāo)識碼】A 【文章編號】1674－4810（2014）15－0124－01

很多學(xué)生對如何學(xué)好三角函數(shù)普遍存在內(nèi)容抽象、不好理解的感覺，究其深層次的原因，是對任意角的三角函數(shù)的定義沒有學(xué)好。本文試圖從一道練習(xí)題，展示說明由三角函數(shù)的定義對如何理解好三角函數(shù)的性質(zhì)的重要性，反思教學(xué)，達到從整體上把握三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)的教學(xué)目的。

練習(xí)題：定義在R上的函數(shù)f（x），當(dāng)sinx≤cosx時，f（x）＝cosx；當(dāng)sinx＞cosx時，f（x）＝sinx給出以下結(jié)論：（1）f（x）是周期函數(shù)；（2）f（x）的最小值為－1；（3）當(dāng)且僅當(dāng)x＝2kπ（k∈Z）時，f（x）取最大值；（4）當(dāng)且僅當(dāng)

時，f（x）為減函數(shù)；（5）f（x）

的圖象上相鄰最低點的距離為2π。其中正確命題的序號是

（把你認為正確命題的序號都填上）。

做這類開放式的填空題，往往運用所學(xué)的知識點較多，學(xué)生很難正確完成，錯誤率較高。但仔細思考，本題仍然離不開研究三角函數(shù)的最常規(guī)的方法，即研究三角函數(shù)的圖象及其性質(zhì)，但是如何研究呢？在教學(xué)中，我不斷反思三角函數(shù)的定義及單位圓中三角函數(shù)線直觀表現(xiàn)三角函數(shù)中自變量與函數(shù)值之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)它可以化抽象為直觀、化單純的數(shù)式理解為數(shù)形結(jié)合理解，輕松就能達到從整體上把握三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)的教學(xué)目的。

下面就以三角函數(shù)的定義及三角函數(shù)線，來反思本題三角函數(shù)性質(zhì)的教學(xué)，如上圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，角x的頂點與原點重合，始邊與Ox正半軸重合，終邊與單位圓交于點P（或P'），過點P（或P'）作PM⊥x軸（P' M'⊥x軸），分別得到正弦線MP（M'P'），余弦線OM（OM'）本例是以sinx＞cosx或sinx≤cosx作為條件給出函數(shù)關(guān)系式，顯然當(dāng)

或 時，OM＝MP，OM'＝M'P'即sinx＝

cosx。所以，函數(shù)的解析式是當(dāng)

時，f（x）＝sinx，當(dāng)2kπ－ ≤x≤2kπ＋ （k∈Z）時，

f（x）＝cosx之間互換。當(dāng)角x的終邊繞原點從y＝x（x＞0）開始，按照逆時針方向旋轉(zhuǎn)到y(tǒng)＝x（x＜0），此時f（x）＝sinx，

正弦線MP按照 的規(guī)律周而復(fù)始變化著；

同時，當(dāng)終邊從y＝x（x＜0）開始，按照逆時針方向旋轉(zhuǎn)到y(tǒng)

＝x（x＞0）。此時f（x）＝cosx，余弦線OM按照

的規(guī)律周而復(fù)始變化著。

由正弦線、余弦線的上述變化規(guī)律，可得到函數(shù)的以下性質(zhì)：（1）周期性：自變量x每增加2π（角x的終邊旋轉(zhuǎn)一周），函數(shù)y＝f（x）從正弦函數(shù)到余弦函數(shù)之間互換，并重復(fù)出現(xiàn)，所以函數(shù)的周期為2π。（2）奇偶性：角x與角x對應(yīng)的函數(shù)線可能是正弦線與余弦線，不可能關(guān)于x軸對稱或重合，所以函數(shù)為非奇非偶函數(shù)。（3）單調(diào)性，見表1。（4）最大值、最小值，如表2。

表1

角x2kπ－ ≤

x≤2kπ

（k∈Z）2kπ≤x≤2kπ

＋ （k∈Z）

2kπ＋ ≤x≤

2kπ＋ （k∈Z）

2kπ＋ ≤x≤

2kπ＋ （k∈Z）

函數(shù)y＝cosxy＝cosxy＝sinxy＝sinx

函數(shù)線變化

單調(diào)性遞增遞減遞增遞減

表2

角xx＝2kπ

函數(shù)y＝cosxy＝sinxy＝sinx或y＝cosx

函數(shù)線變化11

最值最大值最大值最小值

總之，對于此類的三角函數(shù)題，教師若能緊緊抓住單位圓的三角函數(shù)線及定義，不斷反思教學(xué)，就不難準(zhǔn)確完成此類練習(xí)題，真正達到舉一反三、觸類旁通的教學(xué)效果。

〔責(zé)任編輯：李錦雯〕