二次函數(shù)在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

初中教材已經(jīng)很詳細(xì)地介紹了二次函數(shù)的相關(guān)知識，但是由于初中生的基礎(chǔ)薄弱，理解能力及接受能力有限，對二次函數(shù)這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)大多是機(jī)械的，難以有本質(zhì)上的理解。到了高中，二次函數(shù)是作為學(xué)習(xí)函數(shù)的媒介，并在高中數(shù)學(xué)中貫穿始終，其豐富的內(nèi)涵和外延引導(dǎo)著我們學(xué)習(xí)函數(shù)的所有性質(zhì)。不過，概括起來也就是以下幾點。

用集合語言表述函數(shù)的概念

自由落體運(yùn)動，用關(guān)系式來描述了運(yùn)動觀點（初中概念）。時間t為自變量，距離s為因變量，時間t在某個范圍內(nèi)變化，距離s也相應(yīng)地在某個范圍內(nèi)變化，距離s是時間t的函數(shù)。集合觀點（高中概念）：設(shè)非空數(shù)集A，對任意數(shù)x∈A，按照確定的法則f，都有唯一確定的數(shù)y與它對應(yīng)，則這種關(guān)系叫做集合A上的一個函數(shù)，記作y=f（x），x∈A，集合A叫做函數(shù)的定義域。應(yīng)用這些函數(shù)符號，可以解決如下問題。

例1.已知函數(shù)f（x）=x2，求f（x+1）。

分析：主要理解題目的意思為，自變量的取值為x+1時的函數(shù)值。

解：f（x+1）=（x+1）2=x2+2x+1

例2.已知f（x+1）=x2，求f（x）。

分析：這道題目可以理解為x+1對應(yīng)的函數(shù)值為x2，求x對應(yīng)的函數(shù)值。也就是說，這道題的本質(zhì)是求對應(yīng)法則。

解：方法一，換元法。

令t=x+1，則x=t-1。

f（t）=（t-1）2=t2-2t+1

所以f（x）=x2-2x+1

方法二，配湊法。

f（x+1）=[（x+1）-1]2=（x+1）2-2（x+1）+1

用x代替x+1

所以f（x）=x2-2x+1

學(xué)習(xí)函數(shù)的性質(zhì)

學(xué)生在初中通過二次函數(shù)的圖象學(xué)習(xí)了函數(shù)的最值、對稱性；在高中則有了嚴(yán)格的推理、論證，再結(jié)合圖象，充分認(rèn)識二次函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、最值。

例3.已知函數(shù)f（x）=x2+2x+3，求函數(shù)在下列給定區(qū)間上的最值：

①x∈[-6，-5]②x∈[-4，0]

③x∈[1，2]

分析：必須清楚函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性。

解：因為拋物線開口向上，對稱軸是x=-1。①函數(shù)在區(qū)間[-6，-5]上單調(diào)遞減，當(dāng)x=-6時，函數(shù)有最大值為f（-6）=27，當(dāng)x=-5時，函數(shù)有最小值為f（-5）=18。②函數(shù)在區(qū)間[-4，0]上先減后增，在對稱軸處取得最小值，最小值為f（-1）=2，由于-4離對稱軸較遠(yuǎn)，所以在x=-4處取得最大值，最大值為f（-4）=11。③函數(shù)在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞增，當(dāng)x=1時，函數(shù)有最小值f（1）=6，當(dāng)x=2時，函數(shù)有最大值f（2）=11。

二次函數(shù)的思維延伸

二次函數(shù)本身的性質(zhì)學(xué)習(xí)是相當(dāng)簡單的，因此，二次函數(shù)在高中最主要的是其思維的延伸。

例4.解下列方程。

②52x-6×5x+5=0

分析：這兩道題主要通過換元法變形為一元二次方程的問題，但需要注意還原時的自變量的取值范圍。

解：①令，則。整理，得t2+3t-4=0解得t=1或t=-4，即lgx=1或lgx=-4。所以x=10或x=10-4

②令t=5x，t>0。則t2-6t+5=0，解得t=5或t=1，即5x=5或5x=1。所以x=1或x=0

例5.求函數(shù)的值域。

分析：通過換元，可以轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題。

解：原函數(shù)變形為：。令，則，開口向上，對稱軸為

所以在對稱軸處取得最小值為，在t=8時，有最大值為57。

故原函數(shù)的值域為。

進(jìn)一步用二次函數(shù)解決實際問題

例6.某桶裝水經(jīng)營部每天的房租、人員工資等固定成本為400元，每桶水的進(jìn)價是4元。銷售單價與日均銷售量的關(guān)系如下表所示：

請根據(jù)以上數(shù)據(jù)做出分析，這個經(jīng)營部怎樣定價才能獲得最大利潤？

解：由表可知，銷售單價每增加1元，日均銷售量就減少50桶。

設(shè)在進(jìn)價基礎(chǔ)上增加x元后，日均銷售利潤為y元，而在此情況下的日均銷售量就為490-50（x-1）=540-50x（桶）

由于x>0，且540-50x>0，即0

開口向下，對稱軸為x=5.4，此時y有最大值。所以，只需將單價定為9.4元，就可獲得最大利潤。

解二次函數(shù)應(yīng)用題的步驟為：①設(shè)置未知數(shù)，明確自變量和因變量；②找到等量關(guān)系，列出函數(shù)表達(dá)式；③利用二次函數(shù)的知識，在自變量的范圍內(nèi)求解；④寫出實際結(jié)果。

在初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)，是一個從直觀到抽象，從形式到模式的過程。二次函數(shù)的知識很廣泛，有豐富的內(nèi)涵和外延，通過二次函數(shù)的學(xué)習(xí)可以建立起學(xué)習(xí)函數(shù)的一種模式和方法。

（作者單位：內(nèi)蒙古自治區(qū)阿拉善盟第一中學(xué)）