q-非廣延分布等離子體中的離子聲孤波?

藺福軍廖晶晶 朱 云

(1江西理工大學(xué)理學(xué)院贛州341000)

(2江西理工大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院贛州341000)

q-非廣延分布等離子體中的離子聲孤波?

藺福軍1?廖晶晶2朱 云1

(1江西理工大學(xué)理學(xué)院贛州341000)

(2江西理工大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院贛州341000)

從三維非廣延分布函數(shù)及流體動(dòng)力學(xué)方程組出發(fā),研究了非廣延分布等離子體中電子的非廣延性對(duì)離子聲孤波結(jié)構(gòu)和性質(zhì)的影響.通過理論解析獲得Sagdeev贗勢(shì)方程,從該方程出發(fā)研究了不同q所對(duì)應(yīng)離子聲孤波的振幅、寬度及電子數(shù)密度的空間分布.數(shù)值結(jié)果表明:離子聲孤波存在的可允許范圍由參量q決定,并且電子的非廣延效應(yīng)對(duì)離子聲孤波的空間特性及電子密度分布均有較大影響.

星際介質(zhì):運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué),等離子體,波

1 引言

離子聲孤波是等離子體中重要的非線性結(jié)構(gòu).1966年,Sagdeev[1]首次利用非線性理論研究了這類波的特性;隨后,Ikezi等[2]在雙等離子體裝置中通過觀測(cè)證實(shí)了離子聲孤波的存在.自此之后,人們從理論[3?5]、實(shí)驗(yàn)[6?9]和粒子模擬(PIC)[10?13]等多方面對(duì)離子聲孤波展開研究.Pakzad[4]通過理論解析研究了包括非熱離子、電子、質(zhì)子的等離子體中的離子聲孤波,結(jié)果表明,非熱電子對(duì)離子聲孤波存在的參量空間有較大修正;Nagasawa等[7]在雙等離子體裝置中完成了離子聲孤波反射與折射的實(shí)驗(yàn)觀測(cè); Sheridan等[11]模擬了大擾動(dòng)演化為離子聲孤波的過程,研究發(fā)現(xiàn)大振幅離聲波最終能夠衰減變?yōu)橐粋€(gè)離子聲孤波和一個(gè)離聲波.需要說明的是,早期對(duì)非線性離子聲孤波的研究大多是以麥克斯韋分布等離子體為對(duì)象.眾所周知,麥克斯韋分布對(duì)處理宏觀遍歷性平衡系統(tǒng)是普遍有效的,但在處理有長(zhǎng)程相互作用的等離子體系統(tǒng)及引力系統(tǒng)時(shí)失去優(yōu)勢(shì)[14?15].

為克服以上困難,Tsallis[14]將經(jīng)典統(tǒng)計(jì)熱力學(xué)中的熵推廣至非廣延空間并表達(dá)為Sq=kB(1?∑(q?1),其中pi是第i個(gè)微觀態(tài)出現(xiàn)的概率;kB是玻爾茲曼常數(shù);q是描述系統(tǒng)非廣延性質(zhì)的參量.對(duì)于微觀態(tài)幾率分別為A和B的兩個(gè)獨(dú)立非廣延系統(tǒng),它們的熵具有偽疊加性質(zhì),即Sq(A+B)=Sq(A)+Sq(B)+(1?q)Sq(A)Sq(B).基于此,Silva等[16]給出了q-非廣延速度分布函數(shù).人們利用非廣延統(tǒng)計(jì)理論已成功解釋了諸多天體現(xiàn)象,包括太陽(yáng)中微子[17]、星系本體速度分布[18]以及具有長(zhǎng)程相互作用和類不規(guī)則時(shí)空系統(tǒng)中的物理問題.近年來,非廣延分布電子等離子體中孤波問題受到廣泛關(guān)注.2011年,Pakzad[19]研究了弱相對(duì)論等離子體中非廣延電子對(duì)非線性離子聲孤波性質(zhì)及結(jié)構(gòu)的影響,結(jié)果表明,當(dāng)非廣延電子存在時(shí),等離子體中只可能形成壓縮性孤子,參量q對(duì)孤波結(jié)構(gòu)有顯著影響;2012年,Sahu[20]研究了包含非廣延電子與熱正電子的非磁化等離子體中離子聲孤波及哨聲波的非線性結(jié)構(gòu),結(jié)果顯示,非廣延電子對(duì)離子聲孤波和哨聲波的結(jié)構(gòu)及性質(zhì)均有影響;2013年,Shalini[21]研究了多溫非廣延分布電子對(duì)小振幅離子聲孤波傳播的影響,研究表明,電子的非廣延性、電子與離子的比值以及溫度比均顯著影響離子聲孤波結(jié)構(gòu)及特征;Pakzad等[22]研究了含有非廣延電子、熱正電子及高相對(duì)論離子的等離子體中小振幅離子聲孤波的傳播特性,結(jié)果表明,相對(duì)論離子及非廣延電子對(duì)離子聲孤波的振幅和寬度均有影響.眾多研究均已體現(xiàn)出非廣延分布等離子體與麥克斯韋分布等離子體性質(zhì)的差別.然而有部分研究處理過程有待商榷.Tribeche等[15]研究了雙成分非廣延分布電子等離子體中離子聲孤波的性質(zhì),結(jié)果顯示,離子聲孤波的振幅及性質(zhì)顯著依賴于非廣延參量q;Pakzad[23]探究了非廣延電子對(duì)電子聲孤波的影響,結(jié)果指出,非廣延電子修訂了電子聲孤波存在的馬赫數(shù)區(qū)間; Amour等[24]研究了非廣延電子的存在對(duì)電子聲孤波傳播特性的影響,再次強(qiáng)調(diào)了非廣延電子在電子聲孤波形成過程中的重要性.但他們的工作是從一維平衡非廣延分布函數(shù)及流體動(dòng)力學(xué)方程出發(fā)的,然而一維平衡分布的定義不甚明確.本文假設(shè)所有參量只依賴于坐標(biāo)x,將電子服從的三維非廣延分布函數(shù)依次對(duì)坐標(biāo)y和z積分,最終獲得邊緣分布函數(shù),即適合描述準(zhǔn)一維問題的分布函數(shù).在此基礎(chǔ)上重新考慮非廣延電子對(duì)離子聲孤波的影響,望對(duì)讀者有所幫助.

2 理論模型和基本方程

考慮雙成分(電子-離子)非廣延電子等離子體,其平衡態(tài)(?=0)滿足準(zhǔn)中性條件,即n0i=n0e=n0,下標(biāo)“0”表示未擾態(tài).眾所周知,等離子體系統(tǒng)中的非線性效應(yīng)使波形變陡,而線性色散效應(yīng)則阻礙這種波動(dòng)變陡,當(dāng)兩者可相比擬或在一特定方向上(縱向)能夠精確補(bǔ)償時(shí),便形成穩(wěn)定孤波.很顯然,若出現(xiàn)橫向運(yùn)動(dòng),則要求非線性效應(yīng)與線性色散需在各個(gè)方向彼此補(bǔ)償,這幾乎無(wú)法實(shí)現(xiàn).為研究離子聲孤波,本文假設(shè)所有場(chǎng)量均不依賴坐標(biāo)y和z,即A(x,y,z)=(n,v,?)=A(x).因此,描述空間離聲運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)控制方程可寫為:

其中,?=?(x)是由于擾動(dòng)速度vi引起電荷分離而產(chǎn)生的靜電勢(shì);ni和ne分別表示離子和電子的數(shù)密度,其他物理量具有通常物理意義.

為描述電子非廣延性的影響,文章從如下三維平衡非廣延分布函數(shù)出發(fā)[16]:

(4)式的歸一化條件為

其中,

或

在廣延極限下(q→1),分布函數(shù)(4)式能夠回到熟悉的麥克斯韋-玻爾茲曼速度分布

為給出非廣延區(qū)域的溫度定義,Chen等[25]計(jì)算了非廣延電子的平均動(dòng)能,其表達(dá)為

(11)式要求q＞3/5,其中Tqe=2Te/(5q?3)是非廣延電子系統(tǒng)有效溫度.

從方程(5)可得

這里,

是邊緣分布函數(shù),亦即,準(zhǔn)一維分布函數(shù).當(dāng)3/5＜q＜1時(shí),方程(13)可寫為:

方程(14)的積分結(jié)果為(詳見參考文獻(xiàn)[25]):

方程(15)已利用到積分公式[26]

其中,|argβ|＜π,p＞0,0＜Reμ＜pReν;B(···)是Beta函數(shù),可表達(dá)為Gamma函數(shù)的形式[26]

類似地,對(duì)q≥1,方程(13)為

將方程(15)代入(12)中,并對(duì)px積分可得當(dāng)時(shí),

對(duì)q≥1,方程(19)依然成立.很顯然,方程(19)與文獻(xiàn)[15]中的方程(8)不盡相同,這種指數(shù)上的差異很大程度上能夠影響函數(shù)的性質(zhì).產(chǎn)生這種差別的可能原因在于文獻(xiàn)[15]中獲得一維分布函數(shù)的過程中丟失了其他兩維的信息,應(yīng)該從三維分布函數(shù)出發(fā),通過對(duì)py和pz積分獲得準(zhǔn)一維分布函數(shù).

3 非線性分析與孤波解

引入無(wú)量綱參量:

λDe=[Te/(4πe2n0e)]1/2是徳拜長(zhǎng)度;Cs=(Te/mi)1/2是離子聲速;ωpi=(4πe2n0i/ mi)1/2是離子等離子體振動(dòng)頻率,方程(1)-(3)可改寫為如下無(wú)量綱形式:

為研究等離子體中離子聲孤波的傳播特性,在此引入新變量ξ=X?MT′(M=孤波速度/Cs),則考慮到邊界處方程(21)和(22)的積分結(jié)果分別為

和

聯(lián)立方程(24)和(25),容易得到

考慮到方程(19)、(20)及(26),泊松方程(23)變?yōu)?/p>

其中Sagdeev勢(shì)

方程(28)具有能量積分的形式,左邊第1項(xiàng)可看作為以速度dΦ/dξ運(yùn)動(dòng)的單位質(zhì)量準(zhǔn)粒子的動(dòng)能,第2項(xiàng)相當(dāng)于捕獲準(zhǔn)粒子的勢(shì)場(chǎng).方程(28)存在孤波解的條件為[1]:

(1)在Φ=0處,S(Φ)=S′(Φ)=0且S′′(Φ)＜0;

(2)存在非零解Φc滿足S(Φc)=0;

(3)在0＜Φ＜Φc區(qū)間,S(Φ)＜0.

利用以上條件,可求得孤波存在所要求馬赫數(shù)的范圍.條件(1)要求

圖1中,當(dāng)3/5＜q＜1時(shí),馬赫數(shù)的下限大于玻爾茲曼分布情況(q=1);當(dāng)q＞1時(shí),情況相反,這提供了亞聲速離子聲孤波存在的可能性.馬赫數(shù)的上限Mmax可由S(Φc)≥0確定,其中Φc=M2/2,此時(shí)離子數(shù)密度Ni是實(shí)數(shù),由此給出:

數(shù)值解析方程(31)可得到馬赫數(shù)的上限Mmax隨q參量的變化曲線,如圖2(a)(3/5＜q＜1)與圖2(b)(q＞1).從圖1及圖2看出,非廣延電子很大程度修正了離子聲孤波存在所要求的馬赫數(shù)范圍.值得說明的是,圖2(a)所示當(dāng)3/5＜q＜1時(shí)馬赫數(shù)的變化趨勢(shì)與Tribeche等[15]的結(jié)果完全不同.

圖1 電子非廣延參量3/5＜q＜8時(shí),馬赫數(shù)下限Mmin的變化Fig.1 The variation of lower limitMminof the allowable Mach numbers with the nonextensiveq-parameter for 3/5＜q＜8

圖2 3/5＜q＜1(a)和1＜q＜8(b)時(shí)馬赫數(shù)上限的變化曲線Fig.2The variation of upper limitMmaxof the allowable Mach numbers with the nonextensiveq-parameter.(a)3/5＜q＜1 and(b)1＜q＜8

接下來在小振幅極限下求解方程(28).首先以Φ為變量展開S(Φ)并保留至三次項(xiàng),則方程(29)可簡(jiǎn)化為:

其中,

考慮方程(32)和(33),方程(28)的解可表示為:

式中,ΦM=?C2/C3和Δ=(?2/C2)1/2分別代表孤波的振幅及寬度.顯然,在滿足方程(30)及(31)時(shí),孤波的寬度Δ隨q增大而變窄,振幅ΦM隨q的增加而變大.

4 數(shù)值計(jì)算及結(jié)果討論

接下來數(shù)值研究非廣延電子的存在對(duì)離子聲孤波的影響.初始值選取為[15]: Φ|ξ=0=0以及(dΦ/dξ)|ξ=0=10?10.圖3(a)描述了當(dāng)M=0.75,q分別取2.2(點(diǎn)線)、2.3(實(shí)線)和2.4(虛線)時(shí)靜電勢(shì)Φ的空間變化.此參數(shù)選取滿足方程(30)及(31),其對(duì)應(yīng)的Sagdeev勢(shì)S(Φ)由圖3(b)給出.由圖可知,電子非廣延特性對(duì)亞聲速離子聲孤波的性質(zhì)有顯著影響,伴隨著q參量的增加,孤波的振幅明顯增大,同時(shí)寬度變窄.換言之,當(dāng)電子分布逐漸偏離熱平衡狀態(tài)時(shí),將會(huì)形成明顯尖峰的離子聲孤波結(jié)構(gòu);當(dāng)M=1.2,q分別取0.89(點(diǎn)線)、0.90(實(shí)線)和0.91(虛線)時(shí)靜電勢(shì)Φ的空間變化及其對(duì)應(yīng)的Sagdeev勢(shì)S(Φ)分別由圖4(a)和4(b)給出,圖示表明,電子的非廣延性對(duì)超聲速離子聲孤波的影響同樣顯著.與圖3(b)比較,圖4(b)中超聲速離聲壓縮性孤波的振幅(由Sagdeev勢(shì)曲線的寬度決定)大于亞聲速情況,而孤波脈沖的傾斜程度(由Sagdeev勢(shì)曲線的勢(shì)阱深度決定)變小.圖5(a)(參數(shù)與圖3相同)和5(b)(參數(shù)與圖4相同)描述了不同非廣延參量q所對(duì)應(yīng)電子數(shù)密度Ne的空間分布情況.圖5表明,低q的電子絕大多數(shù)被排出至孤波區(qū)域之外,而高q電子聚集在狹小的空間區(qū)域.

圖3 當(dāng)M=0.75,q分別取2.2(點(diǎn)線)、2.3(實(shí)線)和2.4(虛線)時(shí)亞聲速孤波(a)及相應(yīng)S(Φ)(b)的空間變化Fig.3 The spatial variations of the subsonic ion-acoustic soliton(a)and the corresponding Sagdeev potentialS(?)(b)forq=2.2(dotted line),2.3(solid line),and 2.4(dashed line),respectively,withM=0.75

圖4 當(dāng)M=1.2,q分別取0.89(點(diǎn)線)、0.9(實(shí)線)和0.91(虛線)時(shí)超聲速孤波(a)及相應(yīng)S(Φ)(b)的空間變化Fig.4 The spatial variations of the supersonic ion-acoustic soliton(a)and the corresponding Sagdeev potentialS(?)(b)forq=0.89(dotted line),0.9(solid line),and 0.91(dashed line),respectively,withM=1.2

圖5 不同非廣延參量q所對(duì)應(yīng)電子數(shù)密度Ne的空間分布情況.(a)中參數(shù)與圖3相同,(b)與圖4相同F(xiàn)ig.5 Spatial pro fi le of the electron densityNefor di ff erent values of the nonextensiveq-parameter,(a) with the same parameters as Fig.3,and(b)with the same parameters as Fig.4

采用Sagdeev贗勢(shì)法重新研究了非廣延分布等離子體中離子聲孤波的特性.為研究孤子,文中假設(shè)所有的場(chǎng)量均不依賴于坐標(biāo)y和z,從三維q-非廣延分布函數(shù)出發(fā),獲得了電子數(shù)密度的具體表達(dá)式(19)式.利用流體動(dòng)力學(xué)模型,理論解析得到了“能量積分”方程(28)和Sagdeev勢(shì)S(Φ).數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明,電子非廣延性對(duì)離子聲孤波的性質(zhì)及存在區(qū)域有顯著影響.對(duì)不同q值,離子聲孤波存在所要求的馬赫數(shù)范圍Mmin＜M＜Mmax由圖1～2給出,其提供了亞聲速與超聲速孤波存在的可能性.研究結(jié)果顯示,非廣延電子對(duì)離子聲孤波的空間結(jié)構(gòu)有較大修正,隨著q值增加,孤波振幅明顯增大,同時(shí)寬度相應(yīng)變窄,出現(xiàn)高度非線性尖峰結(jié)構(gòu);另外,隨著電子非廣延參量q的增加,高q電子聚集在狹小的空間區(qū)域,形成強(qiáng)非線性結(jié)構(gòu).

致謝感謝南京師范大學(xué)博士生導(dǎo)師李曉卿教授在本論文完成過程中的指導(dǎo)和幫助;感謝匿名審稿人針對(duì)本論文不足之處提出的寶貴意見.

[1]Sagdeev R Z.RvPP,1966,4:23

[2]Ikezi H,Taylor R,Baker D.PhRvL,1970,25:11

[3]Abdelsalam U M,Moslem W M,Shukla P K.PhRvA,2008,372:4057

[4]Pakzad H R.PhLA,2009,373:847

[5]Rasheed A,Tsintsadze N L,Murtaza G.PhPl,2011,18:112701

[6]Lonngren K E,Chen C,Khazei M.PhLA,1981,85:33

[7]Nagasawa T,Nishida Y.PhRvL,1986,56:2688

[8]Yi S,Bai E W,Lonngren K E.PhPl,1997,4:2436

[9]Yi S,Lonngren K E.PhPl,1997,4:289

[10]Sheridan T E.PhLA,1997,235:253

[11]Sheridan T E,Yi S,Lonngren K E.PhPl,1998,5:3165

[12]Honzawa T.PhFl,1984,27:1013

[13]Choi C R,Ryu C M,Rha K C,et al.PhPl,2012,19:032105

[14]Tsallis C.JSP,1988,52:479

[15]Tribeche M,Djebarni L,Amour R.PhPl,2010,17:042114

[16]Silva Jr R,Plastino A R,Lima J A S.PhLA,1998,249:401

[17]Kaniadakis G,Lavagno A,Quarati P.PhLB,1996,369:308

[18]Lavagno A,Kaniadakis G,Rego-Monteiro M,et al.ApL&C,1998,35:449

[19]Pakzad H R.Ap&SS,2011,334:337

[20]Sahu B.Ap&SS,2012,338:251

[21]Shalini N S S.Ap&SS,2013,346:155

[22]Pakzad H R,Javidan K.InJPh,2013,87:705

[23]Pakzad H R.PhyS,2011,83:015505

[24]Amour R,Tribeche M,Shukla P K.Ap&SS,2012,338:287

[25]Chen X C,Li X Q.PhRvE,2012,86:068401

[26]Gradshteyn I S,Ryzhik I M.Table of Integrals,Series,and Products.5th edition.New York:Academic Press,1996:235

Ion-acoustic Solitary Waves in aq-nonextensive Plasma

LIN Fu-jun1LIAO Jing-jing2ZHU Yun1
(1 School of Science,Jiangxi University of Science and Technology,Ganzhou 341000)
(2 College of Applied Science,Jiangxi University of Science and Technology,Ganzhou 341000)

Based on the three-dimensional nonextensive distribution function and hydrodynamic equations,the e ff ects of nonextensive electron distribution on the structures and properties of ion-acoustic solitary waves have been studied.It is analytically derived an equation involving the Sagdeev-type pseudo-potential,which is used to study the amplitude and width of ion-acoustic solitary waves,and the spatial distribution of electron number density with di ff erent nonextensive parameterq.The numerical results suggest that the allowable domain where the ion-acoustic solitary waves may exist is determined byq,and the spatial pro fi le of the ion-acoustic solitary waves and electron density distribution are signi fi cantly a ff ected by the electron nonextensive e ff ects.

ISM:kinematics and dynamics,plasmas,wave

P142;

A

10.15940/j.cnki.0001-5245.2015.01.003

2014-07-06收到原稿,2014-08-05收到修改稿

?國(guó)家自然科學(xué)基金理論物理專項(xiàng)基金項(xiàng)目(11377153)、江西省教育廳科學(xué)技術(shù)基金項(xiàng)目(GJJ14464)、江西理工大學(xué)科研基金重點(diǎn)項(xiàng)目(NSFJ2014-K17)、江西理工大學(xué)博士啟動(dòng)基金項(xiàng)目(jxxjbs13024)、江西理工大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院科研基金項(xiàng)目(YJ2014-11)及江西理工大學(xué)科研基金一般項(xiàng)目(nsfj2014-g26)資助

?fujun012@yeah.net