導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)科中的應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)是數(shù)學(xué)分析的重要組成部分，它在經(jīng)濟(jì)、物理、幾何、微積分等學(xué)科中起著極其重要的作用。本文主要論述了導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)科中的廣泛應(yīng)用。

一、導(dǎo)數(shù)的定義

設(shè)函數(shù)y=（）在點(diǎn)的某領(lǐng)域內(nèi)有定義，若極限（1）存在，則稱函數(shù)f在點(diǎn)x0可導(dǎo)，并稱該極限為函數(shù)f在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f'（x0）。令x=x0 +€L唜，€L唝=f（x0+€L唜）-f（x0），則（1）式可改寫為： （2）。所以，導(dǎo)數(shù)是函數(shù)增量€L唝與自變量€L唜之比的極限。這個(gè)增量比稱為函數(shù)關(guān)于自變量的平均變化率（又稱差商），而導(dǎo)數(shù)f'（x0）則為f在x0處關(guān)于x的變化率。

若（1）或（2）式極限不存在，則稱f在點(diǎn)x0處不可導(dǎo)。

以下介紹導(dǎo)數(shù)的有關(guān)應(yīng)用：經(jīng)濟(jì)方面，物理方面，極限方面，函數(shù)方面，最優(yōu)化問題方面以及其它生活中的應(yīng)用實(shí)例方面來闡述導(dǎo)數(shù)的廣泛應(yīng)用：

二、導(dǎo)數(shù)概念在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用

將導(dǎo)數(shù)概念應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)學(xué)中，主要是指利用導(dǎo)數(shù)研究經(jīng)濟(jì)變量，如成本、收入、利潤、需求等函數(shù)的變化率，其一為瞬時(shí)變化率，在經(jīng)濟(jì)學(xué)中稱為“邊際”；其二為相對變化率，在經(jīng)濟(jì)學(xué)中稱為“彈性”。

（一）總成本函數(shù)與邊際成本

總成本是指生產(chǎn)一定數(shù)量的某種產(chǎn)品所需投入的總費(fèi)用，它是產(chǎn)量的函數(shù)，一般用C表示，設(shè)某產(chǎn)品產(chǎn)量為時(shí)所需的總成本為C=C（x），稱為總成本函數(shù)，簡稱為成本函數(shù)，它是由固定成本c0（與產(chǎn)量無關(guān)的資源投入，如廠房、設(shè)備、企業(yè)管理費(fèi)、廣告費(fèi)等）及可變成本c1（x）（與產(chǎn)量相關(guān)的資源投入，如原料、電力、人力等）兩部分組成，一般函數(shù)關(guān)系為C（x）=c0+c1（x），這是一個(gè)單調(diào)遞增函數(shù)。

若產(chǎn)量是連續(xù)變化的，且函數(shù)C（x）在點(diǎn)x處可導(dǎo)，則有。C'（x）為成本函數(shù)的瞬時(shí)變化率，稱為產(chǎn)量為x時(shí)的邊際成本，又記作MC。按導(dǎo)數(shù)定義，C'（x）近似表示在產(chǎn)量為x，產(chǎn)量的改變量€L唜的絕對值|€L唜|很小時(shí)，總成本變化的速度，即平均增加或減少一個(gè)單位產(chǎn)量時(shí)總成本改變量，而經(jīng)濟(jì)學(xué)家對邊際成本C'（x）的解釋是C'（x）表示當(dāng)產(chǎn)量為x時(shí)，再生產(chǎn)一個(gè)單位產(chǎn)品所需增加的成本的近似值。

（二）總成本函數(shù)與邊際收入

總成本函數(shù)是指生產(chǎn)者出售一定數(shù)量的產(chǎn)品后所得的全部收入，一般用R表示，它與銷售量及價(jià)格有關(guān)，其關(guān)系式為總收入=價(jià)格銷售量。

在一元函數(shù)中，可根據(jù)所討論的問題將總收入表示為銷售量的函數(shù)或表示為價(jià)格的函數(shù)。

現(xiàn)在設(shè)某種產(chǎn)品的銷售量為x時(shí)的總收入為R=R（x），稱R（x）為總收入函數(shù)，簡稱收入函數(shù)。類似與邊際成本的討論，若在R（x）點(diǎn)x處可導(dǎo)，就稱為銷售量為x時(shí)的邊際收入，又記作MR，其經(jīng)濟(jì)意義為：假設(shè)已經(jīng)銷售了x個(gè)單位產(chǎn)品，再多銷售一個(gè)單位產(chǎn)品時(shí)收入增加的近似值。

[例1]：設(shè)某種產(chǎn)品的需求量x是價(jià)格p（元/單位產(chǎn)品）的函數(shù)：x=20000-100p，求邊際收入函數(shù)MR（x）及需求量分別是9000，10000，11000個(gè)單位時(shí)間的邊際收入，并說明其經(jīng)濟(jì)意義。

解：總收入函數(shù)為R（x）=銷售量價(jià)格=需求量價(jià)格x=p

由已知20000-100p，將p=200-0.01x代入R（x）得

R（x）=200x-0.01x2，于是MR（x）=R'（x）=200-0.2x

（9000）=20（元） （10000）= 0（元） （11000）=-20（元）

其經(jīng)濟(jì)意義為：當(dāng)需求量為9000個(gè)單位時(shí)，如果需求量再增加1個(gè)單位，總收入大約增加20元；當(dāng)需求量為10000個(gè)單位時(shí)，如果需求量再增加1個(gè)單位，總收入大約不變；當(dāng)需求量為11000個(gè)單位時(shí)，如果需求量再增加1個(gè)單位，總收入大約減少20元，這說明總收入并不總是隨需求量（即銷售量）的增加而增加的。

（三）總利潤函數(shù)與邊際利潤

總利潤是指生產(chǎn)者將生產(chǎn)的產(chǎn)品售出后，扣除投入部分的費(fèi)用后所得的收入，一般用L表示，即L=總收入-總成本。如果我們假設(shè)銷售量=產(chǎn)量（即產(chǎn)銷平衡），設(shè)某種產(chǎn)品的產(chǎn)量為x時(shí)，總成本函數(shù)為C（x），總收入函數(shù)為R（x），則有L（x）= R（x）- C（x），稱L （x）為總利潤函數(shù)，簡稱為利潤函數(shù)。若L（x）在點(diǎn)x處可導(dǎo)，就稱為產(chǎn)量為x時(shí)的邊際利潤，又記作ML。其經(jīng)濟(jì)意義為：當(dāng)產(chǎn)量為時(shí)再多生產(chǎn)1個(gè)單位產(chǎn)品所增加的利潤的近似值。

[例2]：設(shè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品x個(gè)單位的成本函數(shù)為C（x）=1000+10x+0.01x2（單位：元）。如果每單位產(chǎn)品售價(jià)為30元，求邊際成本與在產(chǎn)銷平衡情況下的邊際利潤函數(shù)，并求產(chǎn)量為800個(gè)單位時(shí)的邊際利潤，并說明其經(jīng)濟(jì)意義。

解：當(dāng)產(chǎn)量為個(gè)單位時(shí)的總收入為R（x）=30x，邊際收入。由已知成本函數(shù)可得邊際成本為，從而產(chǎn)量為個(gè)單位時(shí)的邊際利潤為

當(dāng)x=800時(shí)，

結(jié)果表明，當(dāng)產(chǎn)量為800個(gè)單位時(shí)，再多生產(chǎn)1個(gè)單位產(chǎn)品，利潤大約可增加4元。

（四）彈性分析

導(dǎo)數(shù)討論的是函數(shù)在某點(diǎn)的變化率，關(guān)心的是自變量的微小改變所引起的函數(shù)改變量，但是在日常經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中，例如，在研究需求量與價(jià)格之間的關(guān)系時(shí)，關(guān)心較多的不是因價(jià)格p的改變所引起的需求量Q的改變量，而是價(jià)格的相對改變量所帶來的需求量的相對改變量，這樣便得到一種被稱為彈性的度量。下面先給出一般函數(shù)的彈性定義。

定義2.4：設(shè)函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0的某領(lǐng)域內(nèi)有定義，若對于x的改變量Dx，函數(shù)取得改變量€L唝=f（x0+€L唜）-f（x0），稱值為y=f（x）在點(diǎn)x0與點(diǎn)x0+€L唜之間的弧彈性。

弧彈性表示當(dāng)自變量由€L唜變到x0+€L唜時(shí)，自變量變化€L唜的1%所引起的函數(shù)值變化對于f（x0）的百分比，故稱為平均相對變化率。

定義2.5：如果函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，則稱極限值為y=f（x）在點(diǎn)x0處的點(diǎn)彈性，記作，即。

當(dāng)|€L唜|很小時(shí)，。

定義2.6：如果函數(shù)y=f（x）在某區(qū)間可導(dǎo)，則稱為y=f（x）在該區(qū)間內(nèi)的點(diǎn)彈性函數(shù)，簡稱彈性函數(shù)。

函數(shù)的彈性表示的是變量相對變量變化的反應(yīng)程度或靈敏度。在經(jīng)濟(jì)問題中，經(jīng)常需要在不同產(chǎn)品之間進(jìn)行比較，而這些產(chǎn)品使用的計(jì)量單位不同。由彈性定義可知，函數(shù)彈性是一個(gè)無量綱的常數(shù)，使用起來可以不受計(jì)量單位的限制，這使彈性概念在經(jīng)濟(jì)學(xué)中得到了廣泛的應(yīng)用。

（作者單位：湖北襄陽職業(yè)技術(shù)學(xué)院公共課部）